2.2 Onderlinge ligging >

Hoofdstukken > Ruimtelijke figuren in het plat

Bekijk de bewering: als twee lijnen snijdend of evenwijdig zijn, liggen ze in één vlak. Ben jij het daarmee eens?
Kun je de bewering ook omdraaien: als twee lijnen in één vlak liggen dan snijden ze elkaar of zijn ze evenwijdig?
Deze paragraaf gaat over dergelijke beweringen en is dus wat theoretisch van aard. Sommige beweringen zullen voor iedereen onmiddellijk duidelijk zijn, terwijl andere een uitgebreidere toelichting behoeven. Vaak is het goed een plaatje van de situatie te tekenen. Geef bij een foute bewering een voorbeeld.

We beginnen met enkele eenvoudige beweringen.

Als een lijn een vlak snijdt, gebeurt dat in een punt.
Als twee vlakken elkaar snijden, gebeurt dat volgens een lijn.
Als twee punten van een lijn in een vlak liggen, dan liggen alle punten van die lijn in dat vlak.

Ben jij het met deze beweringen eens?

$U$ , $V$ en $W$ zijn drie (verschillende) vlakken.

Als $U$ // $V$ en $V$ // $W$ , dan $U$ // $W$ .
Als $U$ en $V$ snijdend zijn en $V$ en $W$ snijdend zijn, dan zijn $U$ en $W$ snijdend.
Als $U$ en $V$ snijdend zijn en $V$ // $W$ , dan zijn $U$ en $W$ snijdend.

Ben jij het met deze beweringen eens?

$k$ , $l$ en $m$ zijn drie (verschillende) lijnen.

Als $k$ // $l$ en $l$ // $m$ , dan $k$ // $m$ .
Als $k$ en $l$ snijdend zijn en $l$ en $m$ snijdend zijn, dan zijn $k$ en $m$ snijdend.
Als $k$ en $l$ snijdend zijn en $l$ // $m$ , dan zijn $k$ en $m$ snijdend.

Ben jij het met deze beweringen eens?

$U$ , $V$ en $W$ zijn drie (verschillende) vlakken.

Als $U$ en $V$ snijdend zijn en $V$ en $W$ snijdend zijn, dan zijn $U$ en $W$ snijdend.
Als $U$ en $V$ snijdend zijn en $V$ // $W$ , dan zijn $U$ en $W$ snijdend.

Ben jij het met deze beweringen eens?

Teken een plaatje met drie vlakken, die één lijn gemeenschappelijk hebben.

Teken een plaatje met drie vlakken die één punt gemeenschappelijk hebben.

$U$ , $V$ en $W$ zijn drie vlakken.

In hoeveel stukken kunnen $U$ , $V$ en $W$ de ruimte verdelen?
Geef bij elk van de mogelijkheden aan hoeveel snijlijnen er zijn. (Er zijn vijf mogelijkheden; enkele daarvan heb je in voorgaande opgaven al bekeken.)

$U$ , $V$ en $W$ zijn drie vlakken.
$U$ en $V$ snijden elkaar; $k$ is hun snijlijn.
$V$ en $W$ snijden elkaar; $l$ is hun snijlijn.
$U$ en $W$ snijden elkaar; $m$ is hun snijlijn.

Als $k$ // $l$ , dan $k$ // $m$ en $l$ // $m$ .
Als $k$ en $l$ snijdend zijn, dan zijn $k$ en $m$ ook snijdend.
$k$ , $l$ en $m$ gaan door één punt of $k$ , $l$ en $m$ zijn evenwijdig

Ben jij het met deze beweringen eens?

$U$ , $V$ en $W$ zijn drie vlakken.
$U$ en $V$ snijden elkaar; $k$ is hun snijlijn.
$V$ en $W$ snijden elkaar; $l$ is hun snijlijn.

Als $U$ // $V$ , dan $k$ // $l$ .

Ben jij het met deze bewering eens?

Een rechthoekige plaat rust met de bovenste rand in zijn geheel tegen de muur en met de onderste rand in zijn geheel op de vloer.

Hoe weet je zeker dat de plint (dat is de snijlijn van vloer en muur) evenwijdig met de bovenste en onderste rand is?

Drievlakkenstelling 1
Drie vlakken snijden elkaar twee aan twee.
De drie snijlijnen gaan dan óf door één punt óf ze zijn evenwijdig.

Drievlakkenstelling 2
Twee evenwijdige vlakken worden gesneden door een derde.
De twee snijlijnen zijn dan evenwijdig.

Hieronder brengen we enkele bevindingen in beeld.

De onderlinge ligging van twee vlakken

- óf de vlakken zijn evenwijdig,
- óf de vlakken snijden elkaar volgens een lijn.
De onderlinge ligging van een lijn en een vlak

- óf de lijn en het vlak zijn evenwijdig,
- óf de lijn ligt in het vlak,
- óf de lijn en het vlak snijden elkaar in een punt.
De onderlinge ligging van twee lijnen

- óf de lijnen liggen in één vlak: ze zijn dan evenwijdig óf ze snijden elkaar,
- óf de lijnen liggen niet in één vlak: de lijnen kruisen elkaar dan.

Een staafjeskubus staat op tafel. $A$ , $B$ en $C$ zijn drie punten op ribben van de kubus. Een mier loopt in een rechte lijn over het tafelblad. Op zijn wandeling ziet hij op een gegeven plek $A$ en $B$ als één punt en wat verderop ziet hij ook $A$ en $C$ als één punt.

Teken de lijn waarover de mier loopt op het werkblad.

Leg uit dat het snijpunt van lijn $B C$ met de tafel ook op de lijn ligt waarover de mier loopt.

$A$ en $B$ zijn punten op lijn $l$ en $C$ en $D$ zijn punten op lijn $m$ .
De lijnen $l$ en $m$ kruisen elkaar.

Kunnen de lijnen $A C$ en $B D$ evenwijdig zijn?
Kunnen de lijnen $A C$ en $B D$ elkaar snijden?
Verklaar je antwoorden, gebruik de conclusies na opgave 23.

Hoeveel ribben van kubus $A B C D . E F G H$ snijden ribbe $A B$ , hoeveel zijn evenwijdig met $A B$ en hoeveel kruisen $A B$ ?

Welke zijvlaksdiagonalen in de kubus zijn evenwijdig met het vlak dat door de punten $B$ , $E$ en $D$ gaat?

Bij kubus $A B C D . E F G H$ is $M$ het midden van ribbe $E F$ en $N$ van ribbe $E H$ .

Wat is de onderlinge ligging van elk van de tweetallen lijnen: $M N$ en $B D$ , $B M$ en $D N$ , $D M$ en $B N$ , $C M$ en $D N$ ?

Opmerking:

Drie punten die niet op één lijn liggen, leggen een vlak vast.
Zo noemen we het vlak door de punten $M$ , $N$ en $B$ : vlak $M N B$ .
Dit vlak bestaat niet alleen uit de punten binnen driehoek $M N B$ , maar het is het onbegrensde vlak. Zo ligt bijvoorbeeld ook het $D$ in dat vlak, evenals het spiegelbeeld van $A$ in punt $F$ .

$O B C D . T$ is de piramide met $B (6,0,0)$ , $C (4,4,0)$ , $D (0,4,0)$ en $T (0,0,6)$ .

Heeft de piramide symmetrievlakken?

Wat is de onderlinge ligging van de vlakken $T O D$ en $T B C$ ?

We bekijken de snijlijn van de vlakken $T O D$ en $T B C$ .

Teken de snijlijn op het werkblad.

Wat gebeurt er met de snijlijn als we punt $B$ over de $x$ -as naar $(4,0,0)$ laten lopen?

Wat is de onderlinge ligging van de vlakken $T C D$ en $T O B$ ?

We bekijken de snijlijn van de vlakken $T C D$ en $T O B$ .

Teken de snijlijn op het werkblad.

Wat gebeurt er met de snijlijn als we punt $D$ over de $y$ -as oneindig ver naar rechts laten lopen?

$P$ , $Q$ en $R$ zijn drie punten. Hoeveel vlakken er door $P$ , $Q$ en $R$ gaan hangt af van de onderlinge ligging van deze drie punten.

óf de punten liggen op één lijn, dan gaan er oneindig veel vlakken door $P$ , $Q$ en $R$ ;
óf de drie punten liggen niet op één lijn: dan gaat er één vlak door $P$ , $Q$ en $R$ .

Een kruk met drie poten staat vast op een vlakke vloer, een stoel op vier poten kan 'wiebelen'.

Verklaar dat.

Een bekend toestel bij turnen is de springkast. Het grondvlak $A B C D$ meet $70$ bij $150$ cm, de bovenkant $E F G H$ is $40$ bij $120$ cm.
Geef bij elk van je antwoorden een argument.

Is de kast een afgeknotte piramide?

Wat is de onderlinge ligging van de opstaande ribben $A B$ en $B F$ ? Van $B F$ en $C G$ ? En van $A E$ en $C G$ ?

Wat is de onderlinge ligging van de zijvlaksdiagonalen $A C$ en $E G$ ? En van $A H$ en $B G$ ?

Wat is de onderlinge ligging van de lichaamsdiagonalen $A G$ en $B H$ ? En van $A G$ en $C E$ ?

De schuin-oplopende randen (zoals $A E$ ) zijn $105$ cm lang.

Hoe hoog is de kast, in mm nauwkeurig?

$A B C D . E F G H$ is een kubus met ribbe $6$ , $l$ is de snijlijn van de vlakken $A C G E$ en $A F H$ .

Teken $l$ op het werkblad.

Ad weet niet zeker of de lijnen $l$ en $C E$ elkaar snijden.

Hoe kan Anneke hem overtuigen?

Bereken de hoogte van het snijpunt van de lijnen $l$ en $C E$ boven het grondvlak.

$A B C D . E F G H$ is een kubus met ribbe $6$ . $M$ en $N$ zijn middens van ribben.

Liggen $A$ , $M$ , $G$ en $N$ in één vlak? Hoe weet je dat zeker?

$s$ is de snijlijn van de vlakken $D E F C$ en $A M G N$ .

Teken $s$ op het werkblad.

Hoe weet je zeker dat $s$ lijn $C D$ snijdt?

Het snijpunt van lijn $C D$ en lijn $s$ noemen we $S$ .

Bereken de afstand van $S$ tot $D$ .

$A B C . D E F$ is een recht driezijdig prisma, dus de opstaande zijvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van het prisma is $6$ . $N$ ligt op ribbe $A D$ en $A N = 2$ . $M$ is het midden van ribbe $E F$ .

Er is een lijn door $N$ in vlak $A C F D$ die lijn $B M$ snijdt. Het snijpunt noemen we $S$ .

Teken lijn $N S$ op het werkblad.

Bereken de hoogte van $S$ boven het grondvlak van het prisma.

Lijn $S N$ snijdt $D F$ in twee stukken.

Bereken de verhouding van die stukken.

$U$ is een vlak en $P$ en $Q$ zijn twee punten aan dezelfde kant van $U$ , die even ver van $U$ afliggen.

ls de volgende bewering waar?

De lijn door $P$ en $Q$ is evenwijdig met $U$ .

Waarom is erbij vermeld dat de punten aan dezelfde kant van $U$ liggen?

$U$ is een vlak en $l$ is een lijn die in $U$ ligt. De lijn $k$ ligt niet in $U$ .

Als $k$ // $l$ dan $k$ // $U$ .

Is de bewering waar?

$U$ en $V$ zijn vlakken. In $U$ liggen drie punten $A$ , $B$ en $C$ die even ver van $V$ liggen.

Is $U$ evenwijdig met $V$ ?

$U$ en $V$ zijn twee vlakken, $k$ en $l$ zijn twee snijdende lijnen in $V$ .

Is de volgende bewering waar?

Als $k$ // $U$ en $l$ // $U$ dan $V$ // $U$ .

Waarom is erbij vermeld dat lijnen $k$ en $l$ elkaar snijden?

Hoe kun je met beweringen uit de opgaven 34 tot en met 37 inzien dat de vlakken $A H C$ en $B G E$ in kubus $A B C D . E F G H$ evenwijdig zijn?