1

a

Ja

b

De eerste bewering is juist; de tweede is onjuist, $U$ en $W$ kunnen evenwijdig zijn, bijvoorbeeld $U$ is het grondvlak van een kubus, $V$ een zijvlak en $W$ het bovenvlak; de derde is juist.

2

De eerste bewering is juist;
de tweede is onjuist: bijvoorbeeld in kubus $A B C D . E F G H$ zijn $A B$ en $A D$ snijdend, evenals $A D$ en $H D$ , maar $A B$ en $H D$ snijden elkaar niet;
de derde is onjuist: bijvoorbeeld in kubus $A B C D . E F G H$ zijn $A B$ en $A E$ snijdend en $A E$ en $C G$ zijn evenwijdig, maar $A B$ en $C G$ snijden elkaar niet.

3

De eerste bewering is onjuist. Neem bijvoorbeeld in kubus $A B C D . E F G H$ voor $U$ het vlak $A B C D$ , voor $V$ het vlak $A D H E$ en voor $W$ het vlak $E F G H$ .
De tweede bewering is juist.

4

a

Zie figuur 1 bij opgave 20.

b

Zie figuur 2 bij opgave 20.

5

In figuur 1: één snijlijn, de ruimte is verdeeld in zes stukken;
in figuur 2: drie snijlijnen, de ruimte is verdeeld in acht stukken;
in figuur 3: geen snijlijnen, de ruimte is verdeeld in vier stukken;
in figuur 4: drie snijlijnen, de ruimte is verdeeld in zeven stukken;
in figuur 5: twee snijlijnen, de ruimte is verdeeld in zes stukken.
De snijlijnen hebben steeds dezelfde kleur.

6

Ja, zie de mogelijkheden van de voorgaande opgave.

7

Ja

8

Bekijk de volgende drie vlakken: de muur, de vloer en de plaat; omdat de plaat rechthoekig is, zijn twee snijlijnen van deze drie vlakken evenwijdig, dus ook de derde (de plint). (Het is de eerste bewering van opgave 21.)

9

a

$S$ is het snijpunt van lijn $A C$ met het tafelblad en $T$ is het snijpunt van lijn $A B$ met het tafelblad. De mier loopt over lijn $S T$ .

opgave 24

b

De mier loopt over de snijlijn van vlak $A B C$ en het tafelblad, lijn $B C$ snijdt die snijlijn.

10

Nee, want twee snijdende lijnen of twee evenwijdige lijnen liggen in één vlak. Dan zouden de lijnen $A C$ en $B D$ ook in één vlak liggen, maar twee kruisende lijnen liggen niet in één vlak.

11

a

Snijden: $4$ , namelijk $A E$ , $A D$ , $B C$ en $B F$
evenwijdig: $3$ , namelijk $C D$ , $G H$ en $E F$ ;
kruisen: $4$ , namelijk $F G$ , $E H$ , $C G$ , $D H$ .

b

$C F$ , $F H$ en $C H$

12

$M N$ en $B D$ zijn evenwijdig,
$B M$ en $D N$ zijn snijdend,
$D M$ en $B N$ zijn snijdend,
$C M$ en $D N$ zijn kruisend.

13

a

Nee

b

Ze snijden elkaar.

c

$S$ is het snijpunt van de lijnen $O D$ en $B C$ . De snijlijn is lijn $S T$ . Zie onderdeel f.

d

Die wordt evenwijdig met de $y$ -as.

e

Ze snijden elkaar.

f

Het is de lijn $k$ door $T$ evenwijdig met de $x$ -as.

opgave 28

g

Het wordt de lijn door $T$ en $(4,0,0)$ .

14

Door drie punten gaat een vlak, een vierde punt hoeft niet in dit vlak te liggen.

15

a

Nee, stel dat het wel zo is. Noem de top $T$ .
De driehoeken $T A B$ en $T E F$ zijn dan gelijkvormig evenals de driehoeken $T B C$ en $T F G$ met dezelfde vergrotingsfactor. Die is in het eerste geval $\frac{70}{120}$ en in het tweede geval $\frac{40}{70}$ . Maar deze zijn niet gelijk.
Of: dan moeten de rechthoeken $A B C D$ en $E F G H$ gelijkvormig zijn (want de een krijg je uit de ander door een vermenigvuldiging vanuit $T$ ), maar ze zijn het niet, want de verhouding van de zijden is niet hetzelfde.

b

$A B$ en $B F$ snijden elkaar want ze liggen in één vlak en zijn niet evenwijdig;
$B F$ en $C G$ snijden elkaar want ze liggen in één vlak en zijn niet evenwijdig;
$A E$ en $C G$ kruisen elkaar, want als ze elkaar zouden snijden, zouden $A B C D$ en $E F G H$ evenwijdige diagonalen hebben en dat is niet zo want dan zou de verhouding van de zijden in de twee rechthoeken gelijk zijn.

c

$A C$ en $E G$ zijn kruisend, want als ze in één vlak zouden liggen, dan zouden ze evenwijdig zijn;
$A H$ en $B G$ snijden elkaar, want de punten $A$ , $B$ , $G$ en $H$ liggen in één vlak, want $A B$ en $G H$ zijn evenwijdig.

d

$A G$ en $B H$ snijden elkaar, want de punten $A$ , $B$ , $G$ en $H$ liggen in één vlak, want $A B$ en $G H$ zijn evenwijdig;
$A G$ en $C E$ kruisen elkaar, want anders liggen ze in één vlak en dan zijn $E G$ en $A C$ evenwijdig.

e

In de figuur links is zijkant $A D H E$ van de kast getekend (niet op schaal!).

$P$ is de projectie van $E$ op ribbe $A D$ . Dan volgt uit de stelling van Pythagoras dat $E P = \sqrt{10.800}$ .
In de figuur rechts is de doorsnede van de kast door $E$ en $F$ loodrecht op het grondvlak getekend (niet op schaal!). De projectie van $E$ op het grondvlak noemen we $Q$ . De stelling van Pythagoras geeft: de hoogte van de kast is $\sqrt{10.800 - 15^{2}} \approx 102,8$ cm.

16

a

$M$ is het midden van het bovenvlak van de kubus. Dan is $l$ de lijn door $A$ en $M$ .

b

$C E$ en $l$ liggen beide in vlak $A C G E$ (en zijn niet evenwijdig).

c

Noem het snijpunt $S$ en het midden van het bovenvlak van de kubus $M$ . Dan zijn de driehoeken $E M S$ en $C S A$ gelijkvormig met vergrotingsfactor
$\frac{A C}{E M} = 2$ , dus de hoogte van $S$ boven het grondvlak van de kubus is $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ .

17

a

Het midden van de kubus ligt op de lichaamsdiagonalen maar ook op lijn $M N$ , dus lijn $M N$ en lijn $A G$ snijden elkaar, liggen dus in één vlak.

b

Het snijpunt van $E D$ en $A M$ noemen we $T$ en het snijpunt van $F C$ en $G N$ noemen we $U$ . De snijlijn is lijn $U T$ .

c

$s$ ligt met lijn $C D$ in vlak $D E F C$ .

d

Dan zijn de driehoeken $E T A$ en $D T M$ gelijkvormig, dus
$T D = \frac{1}{3} E D$ .
Op eenzelfde manier vind je $U C = \frac{2}{3} F C$ , dus de driehoeken $S T D$ en $S U C$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $2$ , dus $S D = D C = 6$ .

18

a

$S$ is het snijpunt van de lijnen $C F$ en $B M$ .

opgave 33

b

De driehoeken $S F M$ en $S C B$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor
$\frac{B C}{M F} = 2$ , dus $S C = 12$ .

c

Noem het snijpunt $T$ , dan zijn de driehoeken $T N D$ en $T S F$ gelijkvormig en $D T : T F = D N : S F = 2 : 3$ .

19

a

Ja

b

Anders snijdt lijn $P Q$ vlak $U$ .

20

Ja

21

Als $A$ , $B$ en $C$ aan dezelfde kant van $U$ liggen wel, anders niet.

22

a

Ja

b

Als $k$ en $l$ evenwijdig zijn, hoeft de bewering niet waar te zijn. Neem bijvoorbeeld in kubus $A B C D . E F G H$ , $k$ de lijn door de middens van de ribben $E A$ , $H D$ , $l$ de lijn $E H$ en $U$ het grondvlak van de kubus.

23

$B E$ // $C H$ dus $B E$ //vlak $A H C$ ;
$B G$ // $A H$ , dus $B G$ //vlak $A H C$ ;
$B G$ en $B E$ snijden elkaar, dus vlak $B E G$ // vlak $A H C$ .