1

Een kubus van doorzichtig plastic staat op tafel. Hij staat half vol water. De waterspiegel is vierkant. M en N zijn middens van ribben. S ligt op de verticale ribbe linksachter. We draaien de kubus een beetje om de lijn M N , zo dat de waterspiegel behalve door M en N ook door S gaat.

a

Teken de waterspiegel in de kubus op het werkblad.
Welke vierhoekige vorm heeft de waterspiegel?

Als je de kubus verder om de lijn M N draait, blijft de waterspiegel niet vierhoekig.

b

Welke nieuwe vorm ontstaat?

We draaien de kubus nog verder totdat er weer een vierhoekige vorm ontstaat.

c

Wat voor vierhoek?

2

De regelmatige vierzijdige piramide T . A B C D ligt met grensvlak T A B op tafel. De waterspiegel gaat door P (en is dus evenwijdig met vlak T A B ).

Teken de waterspiegel op het werkblad.
Wat is de vorm van de waterspiegel?

3

Hoe ziet het zaagvlak eruit?

a

Als een bal wordt doorgezaagd.

b

Als een ronde paal wordt doorgezaagd.

c

Als een blok wordt doorgezaagd.

In de voorgaande drie opgaven hebben we doorsneden van ruimtelijke lichamen met een vlak bekeken.

4

De zijwanden van de dakkapel hiernaast zijn evenwijdig met de zijgevels van het huis. De tekening is nog niet af.

a

Maak de tekening af op het werkblad.

De voorkant van de dakkapel is 2 meter hoog en 3 meter breed. Het dak van de dakkapel heeft een helling van 30 ° . Het dak van het huis zelf helt onder een hoek van 45 ° .

b

Bereken de oppervlakte van het dak van de dakkapel in dm2 nauwkeurig.

c

Bereken de inhoud van de dakkapel in dm3 nauwkeurig.

5

Er wordt een dakkapel op een huis gezet. Zo'n dakkapel heeft de vorm van een "huisje", waar je een stuk van af moet halen. Zie de tekening hiernaast: het stuk achter het vlak door A , B en C moet weg.

a

Teken op het werkblad de doorsnede van "het huisje" met het vlak door A , B en C .

(hint)
De doorsnede snijdt de zijkanten van het huis evenwijdig met de lijn door C en het midden van A B .

De nok van het huisje ligt 3 m boven de bodem en de onderste dakrand 2 m. De nok is 2,25 m lang. Het huisje is 3 meter breed.

b

Teken de doorsnede op schaal 1 : 100 .

6

Verdeel kubus A B C D . E F G H in zes even dikke plakjes waarbij de doorsneden evenwijdig lopen aan vlak A C F .
Op sommige ribben zijn al verdeelpunten aangegeven.

7

A B C D E F is een regelmatig achtvlak (octaëder). P is het midden van ribbe B C en Q het midden van ribbe A D .

Verdeel het achtvlak in vier plakjes van gelijke dikte waarbij de doorsneden evenwijdig lopen aan vlak F P E Q .

8

Hetzelfde achtvlak als in de vorige opgave moet in vier plakjes van gelijke dikte verdeeld worden, waarbij doorsneden evenwijdig aan vlak A B F zijn.

Bij het tekenen van de doorsnede van een lichaam met een vlak V is het vaak handig om eerst de grondlijn te tekenen, dat is de snijlijn van V met het vlak waar het lichaam op staat.
In de volgende opgave zie je hoe dat gaat.

9

A B C D E . F G H I J is een vijfzijdig prisma (de opstaande ribben zijn evenwijdig). P is een punt op ribbe C H . We gaan de doorsnede van het prisma met vlak G J P tekenen, dat wil zeggen: we tekenen het snijlijnstuk van vlak G J P met elk grensvlak van het prisma.

a

Teken het snijlijnstuk met grensvlak B C H G .

b

Teken de snijpunten van de lijnen G P en J P met het grondvlak.
Teken nu de grondlijn.

c

Teken het snijpunt van de grondlijn met vlak D E J I .

Nu heb je twee punten van vlak G J P in vlak D E J I .
Dus kun je het snijlijnstuk van vlak G J P met het grensvlak D E J I tekenen.

d

Maak de doorsnede verder af.

10

T . A B C D is een piramide met een rechthoekig grondvlak. P ligt op ribbe B T , Q op ribbe A T en R op ribbe B C .

a

Teken de grondlijn van het vlak P Q R .

b

Teken de doorsnede van vlak P Q R met de piramide.

Het snijpunt van vlak P Q R met ribbe A D noemen we S .

c

Hoe weet je dat de lijnen P R en Q R elkaar snijden?

Het snijpunt van P R en Q S noemen we L .

d

Waarom weet je zeker dat lijn L T evenwijdig is aan het grondvlak?

11

Een rechte balk met vierkant grondvlak wordt in twee stukken gezaagd. Het (rechte) zaagvlak snijdt de vier opstaande ribben op de hoogten 1 (links voor), 2 , 3 en 4 .

a

Welke ribbe wordt dan op hoogte 4 gesneden?
Teken het zaagvlak op het werkblad.

De twee stukken hebben dezelfde inhoud.

b

Hoe hoog is de balk dus?

De twee stukken zijn congruent: ze hebben dezelfde vorm en zijn even groot.

c

Kun je het ene stuk zo draaien dat het precies op de plaats van het andere stuk past?

12

Een kubus met ribbe 12 is gedeeltelijk gevuld met water. Hij wordt zo gehouden dat de waterspiegel door P , Q en een hoekpunt van de kubus gaat. P en Q liggen op ribben op hoogte 4 . De waterspiegel is vijfhoekig.

a

Teken de waterspiegel in de ruimtelijke figuur op het werkblad, en ook op ware grootte (één van de twee mogelijkheden).

b

Hoeveel water zit er in de kubus?

13

T . A B C D is een regelmatige vierzijdige piramide. P , Q , R , en S zijn middens van ribben.

a

Teken de doorsnede van vlak P Q R met de piramide.

b

Teken de doorsnede van vlak P Q S met de piramide

c

Bereken de verhouding van de stukken waarin ribbe T D door vlak P Q S verdeeld wordt.

14

Op het werkblad zijn drie kubussen getekend. Op elk van de kubussen zijn drie punten op ribben aangegeven.

Teken telkens de doorsnede van het vlak dat door deze drie punten gaat met de kubus.

15

Twee vierkante balken van 3 bij 3 bij 15 liggen op tafel. De balken liggen door elkaar heen. We bekijken vier manieren waarop dat kan. Hieronder staan de bovenaanzichten.

In figuur a snijden ze elkaar loodrecht.
In figuur b snijden elkaar onder een hoek van 60 ° .
In figuur c is één balk is 1 8 -slag om zijn lengte-as gedraaid.
In figuur d zijn beide balken zijn 1 8 -slag gedraaid om hun lengte-as.
In deze stand is de situatie op het werkblad getekend.

Hoe ziet de doorsnede van de balken eruit in elk van deze gevallen? De doorsnede is het gemeenschappelijk stuk, dus het stuk dat in beide balken zit.

16

A B C . D E F is een regelmatig driezijdig prisma. A B = 6 en E B = 12 . P , Q en R zijn middens van ribben. Vlak P Q R snijdt D F in S en lijn A B in T .

a

Teken S op het werkblad.

b

Teken op het werkblad de doorsnede van vlak P Q R met het prisma.

c

Bereken de lengte van F S en van A T .

d

Bereken de straal van de cilinder met zo groot mogelijke inhoud, die liggend (met de as evenwijdig aan vlak A B E D ) in het prisma past.

e

Bereken de straal van de cilinder met zo groot mogelijke inhoud, die staand (met de as loodrecht op vlak A B E D ) in het prisma past.

(hint)
Noem de straal van de cilinder r en druk de hoogte en daarna ook de inhoud van de cilinder in r uit.
17

We bekijken hetzelfde prisma als in de vorige opgave. Hierin ligt dezelfde cilinder als in onderdeel d. Z is het midden van ribbe F D . Lijnstuk B Z heeft behalve punt Z nog een punt met de cilindermantel gemeenschappelijk.

a

Teken dat punt op het werkblad.

b

Bereken exact welk deel van het lijnstuk B Z binnen de cilinder ligt.

18

Vijf kubussen zijn zo gegroepeerd dat ze een kruis vormen. A , B en C zijn hoekpunten.

Teken de doorsnede van het kruis met vlak A B C .

19

T . A B C D is een vierzijdige piramide. P ligt op ribbe T A , Q op ribbe T B en R op ribbe T C . Het tekenen van de doorsnede van vlak P Q R met de piramide komt neer op het zoeken van het snijpunt van vlak P Q R met ribbe T D . Dit snijpunt noemen we X . We zoeken dus het punt X op ribbe T D zó, dat lijn X Q lijn P R snijdt.

a

Bepaal X zonder iets buiten de piramide te tekenen.

b

Bepaal X met behulp van de grondlijn van vlak P Q R .

20

Een kubus heeft ribbe 1 .

Schets de doorsnede van de bol met straal 2 en met middelpunt het hoekpunt links-achter-onder met de voorkant, de bovenkant en de rechter zijkant van de kubus.
Beschrijf je tekening.

21

T . A B C D is een regelmatige piramide, P is een punt op ribbe T C .

Teken de doorsnede van het vlak door P en B , evenwijdig aan ribbe T A met de piramide.

(hint)
Teken het snijpunt van de lijn door P evenwijdig aan ribbe T A met het grondvlak.
22

Hieronder zie je de tekening van een vakantiehuis. De vier gevels hebben de vorm van een gelijkbenige driehoek. Het huis is 3 meter hoog, 6 meter lang en 6 meter breed.

a

Bereken de inhoud van het huis.

b

Teken de doorsnede van het huis op 2 meter hoogte op ware grootte.
Bereken de oppervlakte van de doorsnede.

c

Druk de oppervlakte van de doorsnede op hoogte h in h uit.

Een tongewelf (dat is een halve cilinder) is 6 meter breed en 10 meter lang.

d

Hoe breed is het tongewelf op 2 meter hoogte? En op h meter hoogte?

Als twee tongewelven elkaar loodrecht snijden krijgen we een kruisgewelf. We bekijken een kruisgewelf met een vierkant grondvlak van 6 bij 6 meter.

e

Welke vorm hebben de horizontale doorsneden van het kruisgewelf?

f

Hoe groot is de oppervlakte van de horizontale doorsnede op h meter hoogte?

g

Wat is de inhoud van het kruisgewelf?