1

a

$T$ ligt op de ribbe zó, dat de lijnen $M T$ en $S N$ evenwijdig zijn.
Een ruit.

opgave 60a

b

Een zeshoek.

c

Rechthoek namelijk het diagonaalvlak van de kubus door $M$ en $N$ .

2

$P Q$ is evenwijdig aan $A T$ , $Q R$ is evenwijdig aan $A B$ en $R S$ is evenwijdig aan $B T$ .
Een gelijkbenig trapezium.

opgave 61

3

a

Een cirkel.

b

Een rechthoek, een cirkel, een ellips.

c

Een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek, een zeshoek.

4

a

$P Q$ is evenwijdig aan $r$ ; $S Q$ is evenwijdig aan $T R$ .

b

Hiernaast is het zijaanzicht $A B C$ van de dakkapel getekend.
De lengte van lijnstuk $B D$ noemen we $x$ . Dan $C D = x + 2$ , want hoek $D A C$ is $45 °$ , maar ook $C D = x \sqrt{3}$ , want hoek $D B C$ is $30 °$ . Dus $x + 2 = x \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$ .
Een dakrand is $2 x$ , de andere $3$ , de oppervlakte van het dak is $6 x$ m², dus $1639$ dm².

c

De inhoud is $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x \sqrt{3} \cdot 3 = 3 x \sqrt{3}$ m³, dus $14.196$ dm³.

5

a

Teken het midden $M$ van $A B$ .
Teken $P$ en $Q$ aan de bovenkant van de zijwanden zó, dat $A P$ en $B Q$ evenwijdig met $M C$ zijn.
De doorsnede is vijfhoek $A B Q C P$ .

b

De snijpunten van de doorsnede met de 'dakranden' noemen we $P$ en $Q$ , het midden van $A B$ noemen we $M$ en het snijpunt van lijn $M C$ met lijn $P Q$ noemen we $R$ .
Dan $M C = \sqrt{{2,25}^{2} + 3^{2}} = 3,75$ . Verder: $M R : M C = 2 : 3$ , dus $A P = B Q = M R = \frac{2}{3} M C = 2,5$ .

6

De hoekpunten van de 'plakjes' zijn hoekpunten van de kubus of middens van ribben.

7

De hoekpunten van de 'plakjes' verdelen ribben van het achtvlak in vier of twee gelijke stukken.

8

De hoekpunten van de 'plakjes' verdelen ribben van het achtvlak in vier gelijke stukken.

9

a

Zie einde opgave.

b

Het snijpunt $Q$ van lijn $G P$ met het grondvlak is het snijpunt met lijn $B C$ . Het snijpunt $R$ van lijn $J P$ met het grondvlak is het snijpunt met lijn $C E$ . De grondlijn is lijn $Q R$ .

c

Het gevraagde punt $S$ is het snijpunt van de grondlijn met lijn $E D$ .

d

$T$ is het snijpunt van lijn $J S$ met ribbe $D I$ .
De doorsnede is vierhoek $P T J G$ .

10

a

Zie volgend onderdeel.
Het snijpunt van de lijnen $P Q$ en $A B$ is $E$ . De grondlijn is lijn $E R$ .

b

Het snijpunt van de grondlijn met ribbe $A D$ is $S$ . De doorsnede is vierhoek $P Q S R$ .

c

Ze liggen beide in vlak $P Q R$ .

d

De vlakken $A D T$ , $B C T$ en $A B C D$ hebben twee ( $A D$ en $B C$ ) en dus drie evenwijdige snijlijnen.

11

a

De ribbe rechts-achter.

b

$5$

c

Nee

12

a

Voor de tekening op ware grootte voeren we eerst wat berekeningen uit.

$H G : C T = G Q : Q C$ , dus $C T = 6$ ;
$Q C : S C = E P : E H = 2 : 3$ , dus $S C = 6$ .
Dus $U R = R S = S T = 6 \sqrt{2}$ en $H T = H U = \sqrt{18^{2} + 12^{2}} = 6 \sqrt{13}$ .
Nu kunnen we een tekening op ware grootte maken.

b

De inhoud van piramide $H . D T U =$
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot 12 = 648$ ;
de inhoud van piramide $P . A U R =$
${(\frac{1}{3})}^{3} \cdot 648 = 24$ .
Dus de waterhoeveelheid is $648 - 2 \cdot 24 = 600$ .

13

a

Zie volgend onderdeel.
De doorsnede is parallellogram $P U Q R$ , waarbij $U$ het midden van ribbe $B T$ is.

b

De doorsnede is gelijkbenig trapezium $P S Q V$ , waarbij $V$ het midden van ribbe $A T$ is.

opgave 72a

opgave 72b

c

Het snijpunt van vlak $P Q S$ met ribbe $T D$ noemen we $W$ , met ribbe $B C$ noemen we $Z$ en met ribbe $T D$ noemen we $W$ .
Lijn $Q Z$ is middenparallel in driehoek $A B C$ , dus $D V : V B = 3 : 1$ .
De lijnen $S Q$ , $T B$ , $V W$ en $P Z$ zijn evenwijdig. Dus $T W : V W D = 3 : 1$ .

14

Figuur 1.
Teken $S$ op ribbe $E H$ zó, dat $P S$ evenwijdig is met $G R$ .
Teken $T$ op ribbe $A B$ zó, dat $T R$ evenwijdig is met $G S$ .
De doorsnede is vijfhoek $P T R G S$ .
Figuur 2.
Teken $U$ op ribbe $G H$ zó, dat $E U$ evenwijdig is met $A R$ .
Teken $V$ op ribbe $A B$ zó, dat $V R$ evenwijdig is met $E U$ .
Teken $W$ op ribbe $G C$ zó, dat $U W$ evenwijdig is met $E V$ .
De doorsnede is vijfhoek $E U W R V$ .
Figuur 3.
Teken $N$ op ribbe $E F$ zó, dat $N K$ evenwijdig is met $L M$ .
Teken $O$ op ribbe $G C$ zó, dat $O M$ evenwijdig is met $L N$ .
De doorsnede is vijfhoek $K N L M O$ .

figuur 1

figuur 2

figuur 3

opgave 73

15

Figuur a: een kubus met ribbe $3$ ;
figuur b: een vierzijdig prisma met een ruit als grondvlak en hoogte $3$ ;
figuur c: een zeszijdig prisma;
figuur d: een octaëder.

16

a

Zie volgend onderdeel.
$U$ is het snijpunt van de lijnen $Q R$ en $C F$ .
$S$ is het snijpunt van de lijnen $P U$ en $D F$ .

b

$V$ ligt op ribbe $A B$ zó, dat de lijnen $P V$ en $S R$ evenwijdig zijn.
De doorsnede is vijfhoek $P V Q R S$ .

c

Zie de figuur hieronder. $U$ is het snijpunt van de lijnen $P S$ en $C F$ .
De driehoeken $R U F$ en $R Q E$ zijn congruent, dus $U F = 6$ .
De driehoeken $C P U$ en $F S U$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $\frac{C U}{F U} = 3$ , dus $F S = \frac{1}{3} \cdot C P = 1$ .
De driehoeken $P A T$ en $P U C$ zijn congruent, dus $A T = C U = 18$ .

d

Zie de figuur hieronder. Het is de straal van de ingeschreven cirkel van driehoek $A B C$ . Noem het middelpunt van die cirkel $M$ en het midden van $A B$ : $N$ .
De straal is $\frac{B N}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ .

e

Zie de figuur hieronder. Noem de straal van de cilinder $r$ en de hoogte $h$ . Dan (zie figuur) $\frac{x}{r} = \tan (60 °) = \sqrt{3}$ , dus $h = 3 \sqrt{3} - x = (3 - r) \sqrt{3}$ .
We zoeken nu de waarde van $r$ waarvoor $I = r^{2} (3 - r)$ maximaal is.
$\frac{d I}{d r} = 6 r - 3 r^{2}$ , dus $I$ is maximaal voor $r = 2$ .

figuur bij opgave 75b

figuur bij opgave 75c

figuur bij opgave 75d

17

a

Lijn $Z C$ snijdt de cirkel in driehoek $D C F$ ook nog in $X$ . De lijn door $X$ evenwijdig aan lijn $B C$ snijdt lijn $Z B$ in het gevraagde punt $S$ .

b

Het snijpunt (niet $Z$ ) van de ingeschreven cirkel van driehoek $D E F$ met lijnstuk $Z E$ noemen we $X$ . Vanwege gelijkvormigheid is het deel van het lijnstuk $B Z$ dat binnen de cilinder ligt gelijk aan $\frac{Z X}{Z E} = \frac{2}{3}$ , zie opgave 75b.

18

Lijn $A C$ snijdt een opstaande ribbe in $S$ .
De lijn door $S$ evenwijdig met lijn $B C$ snijdt een ribbe in het grondvlak in $T$ .
Lijn $T C$ snijdt een ribbe in het grondvlak in $U$ .
De lijn door $U$ evenwijdig met lijn $B C$ snijdt een opstaande ribbe in $V$ .
De doorsnede is zeshoek $A S T U V B$ .

19

a

$M$ is het midden van het grondvlak.
$S$ is het snijpunt van de lijnen $P R$ en $T M$ .
Lijn $S Q$ ligt in vlak $P Q R$ en snijdt ribbe $T D$ , want beide liggen in vlak $T B D$ .
Het snijpunt van de lijnen $S Q$ en $T D$ is het gevraagde punt $X$ .

b

Het snijpunt van de lijnen $Q R$ en $B C$ is $U$ .
Het snijpunt van de lijnen $P Q$ en $A B$ is $W$ .
De grondlijn is lijn $U W$ .
De grondlijn snijdt lijn $B D$ in $V$ .
$X$ is het snijpunt van de lijnen $Q V$ en $T D$ .

20

Je krijgt drie kwartcirkels alle met een hoekpunt van de kubus als middelpunt.

21

De lijn door $P$ evenwijdig aan lijn $A T$ snijdt lijn $A C$ in $Q$ .
De grondlijn is lijn $B Q$ .
De grondlijn snijdt lijn $A D$ in $R$ en lijn $C D$ in $S$ .
Lijn $P S$ snijdt lijn $D T$ in $U$ .
De doorsnede is vierhoek $P B R U$ .

22

a

Je kunt het huis zien als een blok van $3$ bij $6$ bij $6$ waar vier piramides af zijn gehaald met een vierkant grondvlak van $3$ bij $3$ en hoogte $3$ .
De inhoud van het huis is dus: $6 \cdot 6 \cdot 3 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 72$ m³.

b

Zie figuur 1 en 2. De oppervlakte is $6 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 20$ m².

c

Zie figuur 3. De oppervlakte is $6 \cdot 6 - 4 \cdot h \cdot h = 36 - 4 h^{2}$ .

d

Zie figuur 4.

De breedte op hoogte $h$ is $2 x =$ $2 \sqrt{9 - h^{2}}$ . (Dus op hoogte $2$ : $2 \sqrt{5}$ .)

figuur 1

figuur 2

figuur 3

figuur 4

e

Vierkanten. De tongewelven hebben als doorsnede rechthoeken, het kruisgewelf heeft als doorsnede het gemeenschappelijk deel van twee rechtheoek die loodrecht op elkaar staan.

f

De doorsnede is een vierkant met zijden van $2 \sqrt{9 - h^{2}}$ , dus de oppervlakte is ${(2 \sqrt{9 - h^{2}})}^{2} = 36 - 4 h^{2}$ .

g

Op iedere hoogte hebben de doorsnede van het vakantiehuis en het kruisgewelf dezelfde oppervlakte, dus hebben ze ook dezelfde inhoud volgens de "bierviltjes-methode", dus de inhoud is $72$ m³.