Elk hokje is $2$ bij $2$.

Noem de hellingshoeken achtereenvolgens ${\text{α}}_1$, ${\text{α}}_2$, ${\text{α}}_3$ en ${\text{α}}_4$. Dan $\tan \left({\text{α}}_1\right)=\frac{2}{A_z{P}_z}=\frac{2}{\sqrt{50}}$,
dus ${\text{α}}_1\approx 16°$;
$\tan \left({\text{α}}_2\right)=\frac{2}{Q_z{P}_z}=\frac{2}{\sqrt{26}}$,
dus ${\text{α}}_2\approx 21°$;
$\tan \left({\text{α}}_3\right)=\frac{2}{Q_z{R}_z}=\frac{2}{\sqrt{10}}$,
dus ${\text{α}}_3\approx 32°$;
$\tan \left({\text{α}}_4\right)=\frac{8}{O{T}_z}=\frac{8}{\sqrt{32}}$,
dus ${\text{α}}_4\approx 55°$.

Zie figuur bij onderdeel d.

Noem de straal van de grondcirkel $r$ en de hoogte van de kegel $h$ dan is de inhoud $\frac{1}{3}\text{π}{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \text{π}\cdot 5^2\cdot 10=\frac{250}{3}\text{π}$.

Zie figuur bij onderdeel d.
De grondcirkel van de kegel heeft vergelijking ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25$. Als $x=8$, dan ${\left(y-5\right)}^2=25-3^2=16$, dus $y=1$ of $y=9$, dus de coördinaten zijn: $\left(\mathrm{8,1,0}\right)$ en $\left(\mathrm{8,9,0}\right)$.

Elk hokje is $2$ bij $2$.

figuur bij opgave 2a,c,d

Neem als basis $PQ=8$, dan is de hoogte $T_y{P}_y=\sqrt{{10}^2+3^2}=\sqrt{109}$, dus de oppervlakte is $4\sqrt{109}$.

Lijnstuk $PQ$ verdeelt de grondcirkel van de kegel in twee stukken. Noem het middelpunt van de grondcirkel $M$. Dan is
hoek $PMQ=2\cdot {\tan }^{‐1}\left(\frac{4}{3}\right)=\mathrm{106,26}\dots °$, dus de oppervlakte van de cirkelsector $MPQ$ is gelijk aan $\frac{\mathrm{106,26}\dots }{360}\cdot 25\text{π}=\mathrm{23,182}\dots$, dus de oppervlakte van het kleinste stuk van de grondcirkel is $\mathrm{23,182}\dots -$opp driehoek $PMQ=$ $\mathrm{23,182}\dots -4\cdot 3=\mathrm{11,182}\dots$, dus de inhoud van het kleinste stuk van de kegel is $\frac{1}{3}\cdot 10\cdot \mathrm{11,182}\dots \approx \mathrm{37,27}$.

Noem de hoekpunten van de rondweg achtereenvolgens $S$, $T$, $U$ en $V$. Verder zie figuur bij onderdeel d.

In de $z$-projectie zie je de weg op ware grootte, want de weg is evenwijdig met het $Oxy$-vlak.
De lengte is dus $10$.

Zie figuur, de lengte blijft gelijk.

Noem de hoekpunten van een andere rondweg achtereenvolgens $S_1$, $T_1$, $U_1$ en $V_1$.
De weg $S_1\to T_1\to U_1\to V_1\to S_1$ is even lang als de weg $S\to T\to U\to V\to S$, zie figuur.

figuur bij opgave 3a,c,d

$P$ is het midden van vierkant $ADHE$ en $Q$ is het midden van vierkant $EFGH$. Dan is lijn $PQ$ de gevraagde lijn $l$.

Van $P$ naar $Q$ ga je $3$ eenheden in de $y$-richting en $3$ eenheden in de $z$-richting. Om in vlak $BCGF$ te komen, moet je dat nog eens doen, dan ben je op hoogte $9$.

$X$ is het snijpunt van de lijnen $AD$ en $PQ$.
De lijn door $X$ evenwijdig met lijn $GQ$ snijdt de kubus in $B$.
De doorsnede is $BGQP$.

De doorsnede is het gelijkbenig trapezium $BGQP$. De hoogte van dat trapezium is de afstand van het midden van $PQ$ en het midden van $BG$, dus $3\sqrt{2}$. Verder: $PQ=2\sqrt{2}$ en $BQ=4\sqrt{2}$.
Nu kun je het trapezium tekenen. De oppervlakte is $\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right)=18$.

figuur bij extra opgave 5b

$X$ is als in onderdeel a.
$R$ is het snijpunt van lijn $XC$ met lijn $AB$.
$S$ is het snijpunt van de lijn door $C$ evenwijdig met lijn $PR$.
De doorsnede is $PRCSQ$.

Het gevraagde punt is het snijpunt $Q$ van de lijnen $EP$ en $FC$.

$S$ loopt over lijnstuk $CF$.

De driehoeken $SCP$ en $EDP$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor
$\frac{ED}{SC}=1\frac{1}{2}$, dus $CP=2\cdot CD=12$.

De lijnen $EP$ en $HM$ moeten dan in één vlak liggen, dus $P$ is het snijpunt van lijn $CD$ met vlak $HEM$. Dit vlak snijdt de 'voorkant' van de kubus volgens lijn $EM$, dus de achterkant volgens een lijn evenwijdig daarmee. Dus $P$ is het snijpunt van lijn $CD$ met de lijn door $H$ evenwijdig met $EM$.

$N$ is het punt op ribbe $CG$ op hoogte $2$. Dan ligt $P$ op lijn $HN$ en zijn de driehoeken $HNG$ en $NCP$ gelijkvormig met vergrotingsfactor $\frac{NG}{NC}=2$, dus $CP=\frac{1}{2}GH=3$.

$X$ is het snijpunt van de lijnen $LM$ en $CD$.
$Y$ is het snijpunt van de lijnen $KX$ en $AD$.
$N$ is het snijpunt van de lijnen $YM$ en $AT$.
$P$ is het snijpunt van de lijnen $KX$ en $BC$.
De doorsnede is $PKNML$.

Teken lijn $n$ door $D$ evenwijdig aan lijn $BC$. Het snijpunt van $n$ met lijn $AB$ noemen we $R$.
Teken in vlak $TDR$ de lijn door $M$ evenwijdig met lijn $n$. Het snijpunt met lijn $TR$ noemen we $S$.
Het lijnstuk $SM$ moet gekleurd worden.

Lijn $QR$ snijdt het grondvlak in $V$;
de lijn door $V$ evenwijdig met lijn $PQ$ snijdt de ribben van het parallellepipedum in $S$ en $T$.
De lijn door $T$ evenwijdig aan lijn $QR$ snijdt ribbe $GC$ in $U$.
De doorsnede is zeshoek $PQRSTU$.

De driehoeken $QRE$, $CUT$ en $ARV$ zijn gelijkzijdig, dus de zijden zijn $1$. De zijden $QR$ en $TU$ hebben dus lengte $1$ en de andere zijden lengte $\sqrt{2}$.

Het snijpunt van de lijnen $VT$ en $PU$ noemen we $W$ en het snijpunt van de lijnen $VR$ en $PU$ noemen we $X$. Dan: $VW=XW=3\sqrt{2}$ en $VX=3$.
We kunnen driehoek $VWX$ tekenen.
De zeshoekige doorsnede vind je dan door de 'punten van driehoek $VWX$ af te snijden', zie figuur.

Met de stelling van Pythagoras vind je: $h=1\frac{1}{2}\sqrt{7}$, dus de oppervlakte van driehoek $VWX=$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1\frac{1}{2}\sqrt{7}=2\frac{1}{4}\sqrt{7}$, dus de oppervlakte van de doorsnede is: $2\frac{1}{4}\sqrt{7}-3\cdot \frac{1}{9}\cdot 2\frac{1}{4}\cdot \sqrt{7}=1\frac{1}{2}\sqrt{7}$.

De snijpunten van de cilinder met de $x$-as noemen we $K$ en $N$. De lijnen door die snijpunten evenwijdig met de $z$-as zijn $k$ en $n$. De gevraagde punten $Z$ en $W$ zijn de snijpunten van $k$ en $n$ met lijn $PM$.

figuur bij onderdeel b

figuur bij onderdeel c

figuur bij onderdeel d

Bekijk de projectie in de $y$-richting.
De driehoeken $PZK$, $PMA$ en $PWN$ zijn gelijkvormig en $\frac{MA}{PA}=\frac{1}{2}$, dus $ZK=\frac{1}{2}PK=1$ en $WN=\frac{1}{2}PN=3$.

We kijken weer in de $y$-richting, zie figuur hierboven.
Het middelpunt van schaduw is het snijpunt $C$ van lijn $BM$ met de $x$-as. $C$ is het beeld van $B$ bij vermenigvuldiging vanuit $L$ met de factor $\frac{7}{3}$. Dus $C=\left(\mathrm{7,0,0}\right)$.
Elk van de rand van de deksel wordt ook met $\frac{7}{3}$ vermenigvuldigd ten opzichte van $L$, komt dus te liggen op afstand $\frac{7}{3}\cdot 2=4\frac{2}{3}$ van $C$. De schaduw van de deksel is dus een cirkel met middelpunt $C$ en straal $4\frac{2}{3}$.

Zie figuur hierboven. De schaduw bestaat uit het gebied begrensd door de cirkel met middelpunt $A$ en straal $2$, de cirkel met middelpunt $C$ en straal $4\frac{2}{3}$ en de gemeenschappelijke raaklijnstukken van de twee cirkels.

Teken lijn $GQ$;
teken de lijn door $P$ evenwijdig aan $GQ$, die snijdt ribbe $HD$ in $R$.
Teken lijn $GR$.
Teken de lijn door $Q$ evenwijdig aan $GR$, deze snijdt ribbe $AF$ in $S$.
De doorsnede is $PRGQS$.

Bekijk de zaak in de $y$-projectie.
$X$ is het punt op ribbe $HD$ op hoogte $3$ en $Y$ het punt op ribbe $CG$ op hoogte $3$. Dan zijn de driehoeken $PXR$ en $QYG$ gelijkvormig, dus $XR=4$, dus $R$ ligt op hoogte $7$.

$X$ is het snijpunt van de lijnen $BC$ en $PQ$.
$R$ is het snijpunt van de lijnen $AB$ en $DX$.
De doorsnede is $PQDR$.

Teken de lijn door $T$ evenwijdig aan lijn $AB$.
Lijn $PQ$ snijdt deze lijn in $X$.
Lijn $XA$ snijdt lijn $TD$ in $R$.
De doorsnede is $APQR$.

$X$ is het snijpunt van de lijnen $BF$ en $CD$.
$Q$ is het snijpunt van de lijnen $CI$ en $PX$.
$R$ is het snijpunt van de lijn door $F$ evenwijdig aan $BQ$.
De doorsnede is $BQPRF$.

Driehoek $XCB$ is een $30$-$60$-$90$-graden driehoek dus $XC=2\cdot BC=12$.
De driehoeken $XQC$ en $XPD$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $\frac{XD}{XC}=1\frac{1}{2}$, dus $QC=\frac{2}{3}PD=4$.

Een regelmatig achtvlak (octaëder).

Het achtvlak bestaat uit twee piramides met hoogte $3$ en oppervlakte van het grondvlak $18$, dus de inhoud is $2\cdot \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3=36$.

De limonadespiegel is een gelijkbenige driehoek met één ribbe als zijde, die door het midden van de ribbe gaat die de eerste ribbe kruist, zie figuur 1,
De zijden van de de driehoek verhouden zich als $\sqrt{3}:\sqrt{3}:2$, zie figuur 2.

De limonadespiegel gaat door de middens van de vier ribben, zie figuur 3. Het is een vierkant waarvan de zijden half zo lang zijn als die van het viervlak.

figuur 1

figuur 2

figuur 3

$20$ cl komt overeen met $200$ cm³.
Neem aan de ribbe is $f\cdot 6$ cm, dan $f^3\cdot 18\sqrt{2}=200$.
Dus $f={\left(\frac{200}{18\sqrt{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\approx \mathrm{1,987}\dots$ en $f\cdot 6\approx \mathrm{11,92}$, dus het pakje heeft ribbe $12$ cm.