De punten $X$ vormen de lijn door $A$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{v}$.

De punten $X$ vormen de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{v}$.

De punten $X$ vormen de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{a}$.

Zie figuur op de volgende bladzijde, in alle gevallen krijg je de figuur hieronder links, behalve in het geval in de eerste rij rechts. Dan krijg je de figuur hieronder rechts.

Alleen de tweede niet.
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+t\cdot \overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+(t+1)\cdot \overrightarrow{q}$
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \mathrm{‐}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+\mathrm{‐}t\cdot \overrightarrow{q}$
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \text{2}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+2t\cdot \overrightarrow{q}$
En als $t$ alle mogelijke waarden aanneemt, dan $t+1$, $\mathrm{‐}t$ en $2t$ ook.

Als je voor $t=0$ invult, krijg je de plaatsvector van $A$ en als je voor $t=1$ invult, krijg je de plaatsvector van $B$. Omdat je een vectorvoorstellng van een rechte lijn hebt, is het er een van lijn $AB$.

Tussen $A$ en $B$; alle punten ‘rechts’ (niet aan de kant van $B$) op de lijn $AB$.

Van de lijn $AB$.

-

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 5\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{6}\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{0}\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}\text{-3}\\ \text{3}\end{array}\right)$
lengte $\sqrt{29}$ , $\sqrt{37}$ , $1$ , $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Zie figuur links bij opgave 44.

$\overrightarrow{a}=3\cdot \overrightarrow{v}+1\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{w}$ , $\overrightarrow{b}=7\cdot \overrightarrow{v}+2\cdot \overrightarrow{w}$

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$, zie rechter figuur.

figuur bij opgave 43

figuur bij opgave 44

$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

-

$t=2\frac{4}{5}$ in $(\mathrm{14,6}\frac{3}{5})$

-

$(x,y)=(\mathrm{‐}2+3t\mathrm{,1}+t)$, maar er zijn nog vele andere antwoorden mogelijk.
We komen daar op terug.

$y=1+t=\mathrm{‐}4$ als $t=\mathrm{‐}5$, dan $x=\mathrm{‐}2+3\cdot \mathrm{‐}5=\mathrm{‐}17$

$t=\mathrm{‐}1$ , $t=\frac{2}{3}$. Met de $x$-as: $(\mathrm{‐}\mathrm{5,0})$, met de $y$-as: $(\mathrm{0,1}\frac{2}{3})$.

De bijbehorende vectorvoorstellingen hebben richtingsvectoren $\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{‐}2\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 4\end{array}\right)$ en die zijn veelvouden van elkaar.

$(x,y)=(\mathrm{2,3})+t\cdot (\mathrm{1,}\mathrm{‐}2)$ of $(x,y)=(\mathrm{2,3})+t\cdot (\mathrm{‐}\mathrm{1,2})$ of ....

Dezelfde lijn als $m$.

$a=1$ , $b=\mathrm{‐}4$

$a=\mathrm{‐}\frac{4}{5}$ , $b=2\frac{4}{5}$

$\left(x,y\right)=\left(\mathrm{3,0}\right)+t\left(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2\right)$ of $\left(x,y\right)=\left(\mathrm{0,2}\right)+t\left(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2\right)$ of ....

$\left(x,y\right)=\left(\text{2},\text{2}\right)+t\left(\text{3},\text{-2}\right)$ of ....

$(x,y)=(\mathrm{2,2})+t(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2)=(2+3t\mathrm{,2}-2t)$ is pv van $m$.
Snijpunt met de $x$-as: dan $y=0\iff 2-2t=0\iff t=1$.
Dit geeft het punt $(\mathrm{5,0})$.
Snijpunt met de $y$-as: dan $x=0\iff 2+3t=0\iff t=\mathrm{‐}\frac{2}{3}$.
Dit geeft het punt $(\mathrm{0,3}\frac{1}{3})$.

Als je voor $t=0$ neemt, krijg je de plaatsvector van $A$; als je voor $t=‐1$ neemt, krijg je $\overrightarrow{x}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$, de plaatsvector van het midden van $BC$. De lijn is dus de zwaartelijn uit $A$.

De zwaartelijn uit $B$ heeft vv $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}+t\cdot \left(\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)$;
de zwaartelijn uit $C$ heeft vv $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}+t\cdot \left(\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)$.

Als je voor $t=‐\frac{2}{3}$ invult, krijg je in alle drie de vectorvoorstellingen $\overrightarrow{z}$.

Het midden van $BC$ noemen we $M$. Dan is $\overrightarrow{MA}=$$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$. Als je $\frac{2}{3}$ van deze vector neemt, kom je van $A$ in $Z$ (want je moet in de vv
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\cdot \left(\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)$ voor $t=‐\frac{2}{3}$ om $\overrightarrow{z}$ te krijgen.