Het inproduct

Voor twee vectoren $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})$ is het inproduct $\vec{v} \cdot \vec{w}$ van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ gedefinieerd als:
$\vec{v} \cdot \vec{w} = v_{1} \cdot w_{1} + v_{2} \cdot w_{2}$ .

Voorbeeld:

$(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3 \cdot ‐ 3 + 4 \cdot 2 = ‐ 1$ en
$(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix}) = ‐ 3 \cdot ‐ 3 + 2 \cdot 2 = 13$ .

Bereken: $(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 13 \\ 11 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 8 \end{matrix})$ .

Als $\vec{v} \cdot \vec{w} = 10$ , wat is dan $\vec{v} \cdot (2 \cdot \vec{w}) =$ en $(‐ \vec{v}) \cdot \vec{w}$ ?

Neem aan: $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ .

Wat is het verband tussen $\vec{v} \cdot \vec{v}$ en de lengte $| \vec{v} |$ van vector $\vec{v}$ ?

\vec{v}

\vec{v} \cdot \vec{v} = {| \vec{v} |}^{2}

Het inproduct is een mooi instrument om hoeken te berekenen. Dat blijkt uit de volgende stelling.

Inproductregel
$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ . Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .
In coördinaten geformuleerd:
Als $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ , dan:
$a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} \cdot \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}} \cdot \cos (ϕ)$ .

We bewijzen deze regel in de volgende opgave. De regel volgt direct uit de cosinusregel.

Gegeven zijn de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ . Het zijn de plaatsvectoren van de punten $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ . Hoek $A O B$ noemen we ϕ.

Druk $| \vec{a} |$ , $| \vec{b} |$ en $A B$ uit in $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ en $b_{2}$ .

De cosinusregel in driehoek $O A B$ luidt:
$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot \cos (ϕ)$ .
De resultaten van het vorige onderdeel invullen geeft:
${(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2} = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ .

Ga na dat hieruit volgt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ .

Hoeken berekenen met het inproduct

Voorbeeld:

Voor de hoek α tussen de vectoren $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ geldt: $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix}) = | (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix}) | \cdot \cos (α)$ ,
dus $1 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos (α)$ , dus $α = \cos^{‐ 1} (\frac{1}{\sqrt{50}}) \approx 81,7 °$ in één decimaal nauwkeurig.
Voor de hoek β tussen de vectoren $(\begin{matrix} ‐ 4 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$ geldt: $\cos (β) = 0$ , dus $β = 90 °$ .

Bereken het inproduct van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in figuur 1 en 2.

figuur 1

figuur 2

figuur 3

Bereken ook de lengtes van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in figuur 1 en 2 en gebruik vervolgens de inproductregel om $ϕ$ in graden nauwkeurig, zo mogelijk exact, uit te rekenen. Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren.

Bereken $∠ A O B$ in figuur 3.
Je krijgt een mooi resultaat! Die hoek kun je ook wel eenvoudiger vinden. Hoe?

figuur 4

Bereken $∠ A B C$ in de figuur 4, met behulp van het inproduct in graden nauwkeurig.

$\vec{v}$ en $\vec{w}$ zijn vectoren en ϕ is de hoek tussen die vectoren.

Bereken $\cos (ϕ)$ exact en ϕ in graden nauwkeurig in de volgende gevallen:
$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ,
$\vec{v} = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ,
$\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ ‐ 7 \end{array})$ .

Als het inproduct van twee vectoren $0$ is, staan ze loodrecht op elkaar.

Wat kun je zeggen van de hoek tussen twee vectoren als hun inproduct positief is? En als het negatief is?

In de figuur hiernaast geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 10$ . We draaien $\vec{v}$ over $180$ graden.

Wat wordt het inproduct dan?

$\vec{v}$ en $\vec{w}$ zijn vectoren, niet de nulvector en ϕ is de hoek tussen die vectoren. Dan
$\vec{v} \cdot \vec{w} > 0 \Leftrightarrow$ ϕ is scherp,
$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow$ ϕ is recht,
$\vec{v} \cdot \vec{w} < 0 \Leftrightarrow$ ϕ is stomp.

De normaal van een lijn

In de figuur hiernaast zijn getekend de vectoren $\vec{v} = (\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array})$ ,
$\vec{w} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ en het punt $A (‐ 1, ‐ 3)$ .

Neem de figuur over en teken een aantal punten $X$ met de eigenschap: $\vec{v} \cdot \vec{x} = 0$ .
Eén van die punten is al getekend, namelijk $A$ , want
$(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix}) = 0$ .
Wat krijg je als je alle mogelijke punten $X$ tekent met
$\vec{v} \cdot \vec{x} = 0$ ?

Teken een aantal punten $X$ met de eigenschap: $\vec{w} \cdot \vec{x} = 0$ . Wat krijg je als je alle mogelijke punten $X$ tekent met
$\vec{w} \cdot \vec{x} = 0$ ?

Zie opgave 33.
Als $\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ en $X = (x, y)$ , dan is $\vec{v} \cdot \vec{x} = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot x + 1 \cdot y = 0$ .
De punten $X = (x, y)$ met $3 \cdot x + 1 \cdot y = 0$ vormen dus een lijn door $O$ loodrecht op $\vec{v}$ .
De punten $X = (x, y)$ met $\vec{w} \cdot \vec{x} = 0 \Leftrightarrow ‐ 1 \cdot x + ‐ 2 \cdot y = 0$ , vormen een lijn door $O$ loodrecht op $\vec{w}$ .
Algemeen
Gegeven is een vector $\vec{n} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) \neq \vec{0}$ .
De punten $X = (x, y)$ met $\vec{n} \cdot \vec{x} = 0$ , zijn de punten met
$a \cdot x + b \cdot y = 0$ .
Dus de lijn met vergelijking $a \cdot x + b \cdot y = 0$ is de lijn door $O$ loodrecht op $\vec{n}$ .

Een vector die loodrecht op een lijn staat noemen we een normaalvector van die lijn.

Gegeven zijn de lijnen $k$ met vergelijking $2 x - 3 y = 0$ en $m$ met vergelijking $2 x - 3 y = 7$ .

Geef een normaalvector van $k$ .

Waarom is de vector die je in het vorige onderdeel gegeven hebt ook een normaalvector van $m$ ?

Geef een normaalvector van $77 x - 100 y = 89$ .

De lijn met vergelijking $a \cdot x + b \cdot y = c$ met $a$ en $b$ niet beide $0$ heeft $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ als normaalvector.

Vectorvoorstelling en vergelijking

De vectoren $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ en $(\begin{matrix} b \\ ‐ a \end{matrix})$ staan loodrecht op elkaar (als ze niet $\vec{0}$ zijn).

Toon bovenstaande aan.

Gegeven is lijn $k$ met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 77 \\ ‐ 100 \end{matrix})$ .

Geef een normaalvector van $k$ .

Een vergelijking van $k$ is dus van de vorm $a \cdot x + b \cdot y = c$ , waarbij je voor $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ de door jouw gegeven normaalvector kunt nemen.
Het getal $c$ vind je door voor $(x, y)$ een punt van $k$ in te vullen.

Geef een vergelijking van $k$ .

Voorbeeld:

Van vectorvoorstelling naar vergelijking en omgekeerd

Gegeven is lijn $k$ met vergelijking $3 x - 4 y = 12$ .
Een normaalvector van $k$ is: $(\begin{matrix} 3 \\ ‐ 4 \end{matrix})$ , dus een richtingsvector is $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ . Een punt van $k$ is $(4,0)$ , dus een vv van $k$ is:
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ .

Je kunt natuurlijk ook twee punten $A$ en $B$ van $k$ zoeken en een vv van lijn $A B$ geven.
Gegeven is lijn $m$ met vv $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 4 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 11 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ .
Een richtingsvector van $m$ is $(\begin{matrix} 11 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ , dus een normaalvector $(\begin{matrix} 3 \\ 11 \end{matrix})$ . Een vergelijking van $m$ is dan $11 x + 3 y = c$ . Het getal $c$ vind je door een punt van $m$ in te vullen. Je vindt: $c = ‐ 41$ .
Een vergelijking van $m$ is dus $11 x + 3 y = ‐ 41$ .
Je kunt natuurlijk ook twee punten $A$ en $B$ van $m$ zoeken en een vergelijking van lijn $A B$ geven.

Geef van de volgende lijnen een vergelijking.

$k : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 7 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ;
$m : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ;
$n : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

Geef van de volgende lijnen een vv.

$p : 2 x - 5 y = 10$ ;
$q : y = 3 x - 10$ ;
$r : y = 3$ .

Van vier lijnen is een vergelijking gegeven. Geef van die lijnen een pv.

$p : 3 x + 4 y - 22 = 0$	$q : 4 x - 5 y = ‐ 12$
$r : 3 x + 4 y = 0$	$s : x = 3$

Van vier lijnen is een vv gegeven. Geef van die lijnen een vergelijking.

$p : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$	$q : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 1 \end{matrix})$
$r : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 + 3 t \\ 2 - t \end{matrix})$	$s : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 - t \end{matrix})$

Het volgende is bekend uit wiskunde b, zie bijvoorbeeld 4hb hoofdstuk 5, paragraaf 2.

Gegeven zijn twee punten $A$ en $B$ .
De punten die even ver van $A$ als van $B$ liggen, vormen de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk $A B$ en staat loodrecht op lijn $A B$ .

$A B C$ is een gelijkbenige driehoek met basis $A B$ . De coördinaten van $A$ en $B$ zijn $(1,0)$ en $(9,2)$ en het punt $C$ ligt op de $y$ -as.

Bereken de coördinaten van $C$ .

(hint)

C

ligt op de middelloodlijn van

A B

Gegeven zijn de punten $A (‐ 3,2)$ en $B (4,2)$ . Er gaat een cirkel door de punten $A$ , $B$ en $O$ , de omgeschreven cirkel van driehoek $A B O$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van die cirkel exact.

(hint)

Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek.

Het snijpunt van twee lijnen

Hoe je het snijpunt van twee lijnen berekent als beide in een vergelijking gegeven zijn, heb je in de onderbouw gezien. In de volgende opgave moet je het snijpunt berekenen als minstens één lijn in vv gegeven is. Je kunt natuurlijk bij beide lijnen eerst een vergelijking maken, maar dat is niet altijd de handigste manier.

Gegeven de lijnen $k$ met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $m$ met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ .

Je vindt het snijpunt van de lijnen waarschijnlijk niet door de vergelijking $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ op te lossen. Waarom niet?

Bij het snijpunt hoort bij $k$ een andere waarde van de parameter dan bij $m$ . Je moet dus getallen $s$ en $t$ vinden met: $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ . Dit leidt tot een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Los dit op en bepaal de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

Het kan ook anders. Een vergelijking van $k$ is $3 x + 2 y = 4$ (ga dat na). Het punt $(‐ 2 + t,2 - 2 t)$ van $m$ ligt op $k$ als: $3 (‐ 2 + t) + 2 (2 - 2 t) = 4$ .

Bereken hiermee de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van $k$ en $m$ in de volgende gevallen.

$•$ $k : 2 x - 5 y = 10$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 5 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$

De hoek van twee lijnen

Het inproduct is ook een handig instrument om de hoek tussen twee lijnen te bepalen.
We herhalen de afspraak die we daarover bij wiskunde b gemaakt hebben.

Afspraak

Onder de hoek van twee snijdende lijnen verstaan we de grootte van de twee niet-stompe hoeken in het snijpunt.

De hoek tussen de lijnen $k$ en $m$ in de figuren hieronder is α. In figuur 1 is α ook de hoek tussen de gekozen richtingsvectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$ van $k$ en $m$ , dus $\cos (α) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}$ .
In figuur 2 is de hoek $ϕ$ tussen de richtingsvectoren $\vec{u}$ en $\vec{w}$ gelijk aan $180 ° - α$ , dus hier is
$\cos (α) = \cos (180 ° - ϕ) = ‐ \cos (ϕ) = ‐ \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}$ .

In beide gevallen geldt het volgende.

Als $\vec{v}$ en $\vec{w}$ richtingsvectoren van de lijnen $k$ en $m$ zijn en α de hoek tussen $k$ en $m$ , dan:
$\cos (α) = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{w} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{w} |}$ .
In woorden kun je het zo formuleren.
De cosinus van de hoek α tussen twee lijnen $k$ en $m$ bereken je als volgt.
Kies richtingsvectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ van de lijnen. Neem de absolute waarde van hun inproduct $| \vec{v} \cdot \vec{w} |$ en deel dat door het product van hun lengtes: $| \vec{v} | \cdot | \vec{w} |$ .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de lijnen $k$ met vv $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix})$ en $m$ met vergelijking $5 x + 2 y = 10$ . Als richtingsvector van $k$ nemen we $\vec{v} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \end{matrix})$ . Een normaalvector van $m$ is $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ , dus een richtingsvector is $\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 5 \end{matrix})$ . Het inproduct $\vec{v} \cdot \vec{w} = ‐ 16$ , de absolute waarde is dus $16$ . Het product $| \vec{v} | \cdot | \vec{w} |$ van hun lengtes is: $\sqrt{13} \cdot \sqrt{29}$ , dus voor de hoek α tussen $k$ en $m$ geldt: $\cos (α) = \frac{16}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{29}}$ , dus α $\approx 34,5 °$ .

Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen de volgende vectoren in graden nauwkeurig.

$(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ en $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ ; $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ ; $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array})$ .

Bereken met het inproduct in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen met pv
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$ .
En ook tussen de lijnen met pv
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$ .

Bereken de hoek tussen de $x$ -as en de lijn met pv
$(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})$ .

Gegeven is lijn $k$ met vv $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ . Lijn $m$ gaat door $(3,2)$ en snijdt $k$ onder een hoek van $60 °$ .

Geef een exacte vv van $m$ .

(hint)

Neem

(\begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix})

als richtingsvector van

m

en gebruik het inproduct.

$k$ en $m$ zijn twee snijdende lijnen. Lijn $p$ is een normaal van $k$ en lijn $q$ een normaal van $m$ .

Toon aan dat de hoek tussen $k$ en $m$ gelijk is aan de hoek tussen $p$ en $q$ .

De hoek tussen twee lijnen kun je dus ook bepalen door de hoek tussen hun normalen te berekenen.

De hoek van twee lijnen is gelijk aan de hoek tussen normalen van die twee lijnen.

Voorbeeld:

Gegeven zijn de lijnen $k$ met vergelijking $2 x + y = 10$ en $m$ met vergelijking $3 x + 4 y = 12$ .
Normalen van die lijnen hebben richtingsvectoren $(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ . De hoek tussen de lijnen $k$ en $m$ noemen we $ϕ$ , dan $\cos (ϕ) = \frac{(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})}{| (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) |} = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ , dus $ϕ \approx 26,6 °$ .

Bereken de hoek tussen de lijnen $k$ en $m$ in graden nauwkeurig in de volgende gevallen.

$•$ $k : 2 x + 3 y = 5$	en	$m : 3 x - 4 y = 10$
$•$ $k : y = 2 x + 3$	en	$m : y = ‐ x + 3$

De afstand van een punt tot een lijn

De loodrechte projectie van een punt $P$ op een lijn $k$ is het snijpunt van de lijn door $P$ loodrecht op $k$ met $k$ .
In de figuur hiernaast is dat $Q$ .
De afstand van $P$ tot $k$ is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van $P$ met lijn $k$ , dus de lengte van lijnstuk $P Q$ .

Voorbeeld:

We berekenen coördinaten van de loodrechte projectie van $A (‐ 2,5)$ op de lijn door de punten $B (‐ 4,0)$ en $A (5,3)$ exact.
Een vergelijking van lijn $B C$ is $x - 3 y + 4 = 0$ . Een richtingsvector van de lijn door $a$ loodrecht op lijn $B C$ is dus $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ en een vv van die lijn is dus $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ . Het snijpunt $D (‐ 2 + t,5 - 3 t)$ met lijn $B C$ vind je voor die waarde van $t$ waarvoor $‐ 2 + t - 3 (5 - 3 t) + 4 = 0$ , dus voor $t = 1 \frac{3}{10}$ . Dus het gevraagde punt is $D (\frac{7}{10},1 \frac{1}{10})$ .

Gegeven zijn de punten $A (0,9)$ , $B (1,1)$ en $C (7,5)$ .

Geef een vergelijking van lijn $B C$ .

Bereken de coördinaten van de (loodrechte) projectie van $A$ op lijn $B C$ .

Bereken de afstand van $A$ tot lijn $B C$ .

Bereken de coördinaten van het spiegelbeeld van $A$ in lijn $B C$ .

We gaan verder met opgave 46.

Ga na dat $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 + 3 t \\ 1 + 2 t \end{array})$ een vv van lijn $B C$ is.

Dus elk punt van lijn $B C$ is te schrijven in de vorm: $(1 + 3 t,1 + 2 t)$ voor zekere waarde van $t$ .

Druk de afstand van $A$ tot $(1 + 3 t,1 + 2 t)$ uit in $t$ en ga na dat je die kunt schrijven als: $\sqrt{13 {(t - 1)}^{2} + 52}$ .

Met behulp van het vorige onderdeel kun je de projectie van $A$ op lijn $B C$ bepalen en de afstand van $A$ tot lijn $B C$ .

Doe dat. Licht je antwoord toe.

Voorbeeld:

Je hebt twee manieren gezien om de afstand van een punt $A$ tot een lijn $k$ te bepalen.

De manier van opgave 46 en het voorbeeld daarvóór.
Snijd de lijn door $A$ loodrecht op $k$ met $k$ . Het snijpunt is de projectie van $A$ op $k$ . De afstand van $A$ tot het snijpunt is de afstand van $A$ tot $k$ .
De manier van opgave 47.
Geef een pv van $k$ . Dit geeft je een punt van de vorm
$P (\dots + \dots \cdot t, \dots + \dots \cdot t)$ ) op $k$ . (Op de stippellijntjes staan getallen.)
De afstand $A P$ kun je schrijven als $\sqrt{\dots {(t - \dots)}^{2} + \dots}$ .
De wortel van de minimale waarde van de kwadratische vorm onder het wortelteken geeft je de afstand van $A$ tot $k$ en de waarde van $t$ waarvoor die bereikt wordt hoort bij de projectie van $A$ op $k$ .

Bereken de afstand van $A (1,2)$ tot lijn $k : 3 x - 4 y - 20 = 0$ op elk van de twee manieren.

Gegeven zijn de punten $A (‐ 4,3)$ en $B (5,4)$ .

Bereken exact de lengte van $h_{B}$ , het hoogtelijnstuk uit $B$ van driehoek $O A B$ .

Bereken met je antwoord van onderdeel a de exacte oppervlakte van driehoek $O A B$ .

Bereken de oppervlakte van driehoek $O A B$ ook door de oppervlakte van de gekleurde rechthoek in de figuur te verminderen met de oppervlakte van drie geschikte driehoeken.

In applet Mini-loco_lijnen kun je nog meer oefenen.