1

a

$‐ 9$ , $17$ en $0$ .

b

Neem aan: $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ en $\vec{w} (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})$ .
Dan $\vec{v} \cdot (2 \cdot \vec{w}) = v_{1} \cdot 2 w_{1} + v_{2} \cdot 2 w_{2} = 2 \cdot (v_{1} \cdot w_{1} + v_{2} \cdot w_{2}) = 20$ ;
$(‐ \vec{v}) \cdot \vec{w} = ‐ v_{1} \cdot w_{1} + ‐ v_{2} \cdot w_{2} = ‐ 10$ .

c

$\vec{v} \cdot \vec{v} = v_{1} \cdot v_{1} + v_{2} \cdot v_{2} = {| \vec{v} |}^{2}$

2

a

$| \vec{a} |$ $= \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$ , $| \vec{b} |$ $= \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}$ en $A B = \sqrt{{(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2}}$ .

b

Werk de haakjes weg. Aan beide kanten valt ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}$ tegen elkaar weg.
Als je vervolgens beide kanten van de gelijkheid door $‐ 2$ deelt, krijg je het gewenste resultaat.

3

a

$1$ , $‐ 5$

b

In figuur 1:
$| \vec{a} | = \sqrt{13}$ en $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{1}{\sqrt{65}}$ , dus $ϕ = 83 °$ .
In figuur 2:
$| \vec{a} | = \sqrt{10}$ en $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{‐ 5}{\sqrt{50}}$ , dus $ϕ = 135 °$ exact.

c

$\cos ∠ A O B = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $∠ A O B = 45 °$ exact.
Eenvoudiger is op te merken dat driehoek $A O B$ een gelijkbenige rechthoekige driehoek is.

d

We berekenen de hoek ϕ tussen de vectoren $B A$ en $B C$ :
$(\begin{array}{l} ‐ 3 \\ ‐ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ ‐ 4 \end{array})$ $= \sqrt{13} \cdot \sqrt{17}$ $\cdot \cos (ϕ)$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{11}{\sqrt{221}}$ , dus $ϕ = 42 °$ .

e

$\cos (ϕ) = ‐ \frac{5}{13}$ , ϕ $= 113 °$ ;
$\cos (ϕ) = \frac{1}{26} \sqrt{26}$ , ϕ $= 79 °$ ;
$\cos (ϕ) = \frac{3}{5}$ , ϕ $= 53 °$ .

f

Noem de hoek tussen de vectoren ϕ.
Als het inproduct positief is, dan moet $\cos (ϕ)$ positief zijn, dus is ϕ scherp.
Als het inproduct negatief is, dan moet $\cos (ϕ)$ negatief zijn, dus is ϕ stomp.

g

$‐ 10$

4

a

Zie figuur, de lijn $O A$ .

b

Zie figuur, de lijn door $O$ loodrecht op de vector $\vec{w}$ .

5

a

Bijvoorbeeld $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ; elk veelvoud van deze vector is een normaalvector.

b

$k$ en $m$ zijn evenwijdig.

c

Die lijn is evenwijdig met de lijn $77 x - 100 y = 0$ , dus bijvoorbeeld $(\begin{matrix} 77 \\ ‐ 100 \end{matrix})$ .

6

a

$(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) \cdot (\begin{matrix} b \\ ‐ a \end{matrix}) = 0$

b

$(\begin{matrix} 100 \\ 77 \end{matrix})$

c

Een vergelijking is: $100 x + 77 y = c$ ; een punt van $k$ is $(3,1)$ , dus $c = 100 \cdot 3 + 77 \cdot 1 = 377$ .
Een vergelijking is dus $100 \cdot x + 77 \cdot y = 377$ .

7

a

$k : 3 x + 7 y = 26$ ; $m : x = 1$ ; $n : 3 x + 2 y = 6$

b

$p : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ ; $q : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ ; $r : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

8

a

Er zijn veel mogelijkheden, bijvoorbeeld:

$p : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 3 \end{matrix})$	$q : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$
$r : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 3 \end{matrix})$	$s : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

b

$p : x - 4 y + 15 = 0$	$q : x + 4 y - 8 = 0$
$r : x + 3 y - 10 = 0$	$s : x = 4$

9

$C$ is het snijpunt van de middelloodlijn $m$ van $A B$ met de $y$ -as.
Het midden $M (5,1)$ ligt op die middelloodlijn. Lijn van $A B$ heeft richtingsvector $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$ , dus $m$ heeft normaalvector $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$ . een vergelijking van $m$ is dus $4 x + y = c$ . Het punt $M (5,1)$ invullen geeft $4 x + y = 21$ als vergelijking van $m$ . Lijn $m$ snijden met de $y$ -as geeft $C (0,21)$ .

10

Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de middelloodlijn $m$ van $A O$ en de middelloodlijn $n$ van $A B$ .
$m$ heeft normaalvector $\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ en het midden $M (2,1)$ ligt op $m$ , dus een vergelijking van $m$ is: $2 x + y = 5$ .
Een vergelijking van $n$ is $x = \frac{1}{2}$ , dus het middelpunt is $(\frac{1}{2},4)$ .

11

a

Dan zou het snijpunt verkregen worden bij dezelfde waarde van de parameter $t$ . Dat zou toeval zijn.

b

${\begin{cases} 2 - 2 s = ‐ 2 + t \\ ‐ 1 + 3 s = 2 - 2 t \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 4 - 2 s = t \\ ‐ 1 + 3 s = 2 - 2 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 4 - 2 s = t \\ ‐ 1 + 3 s = 2 - 2 (4 - 2 s) \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} s = 5 \\ t = ‐ 6 \end{cases}$
Het snijpunt is dus: $(‐ 8,14)$

c

$3 (‐ 2 + t) + 2 (2 - 2 t) = 4 \Leftrightarrow t = ‐ 6$
Het snijpunt is dus: $(‐ 8,14)$ .

12

$(2 \frac{1}{2}, ‐ 1)$ ; $(‐ 8,6)$ ; geen gemeenschappelijk punten ; $k$ en $m$ zijn dezelfde lijnen.

13

a

$23 °$ , $105 °$ , $127 °$

b

In het eerste geval is het de hoek tussen $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})$ , die is: $31 °$ .
In het tweede geval bereken je de hoek tussen de vectoren $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})$ , die is $121 °$ , dus de gevraagde hoek is $59 °$ .

c

De hellingshoek van die lijn is $\frac{1}{4}$ , dus de hoek tussen de lijnen is $\tan^{‐ 1} (\frac{1}{4}) = 14 °$ .

14

Neem $(\begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix})$ als richtingsvector van $m$ , dan $| (\begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot \cos (60 °)$ , dus $| a + 1 | = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2} + 1} \cdot \frac{1}{2}$ .
Kwadrateren geeft: $a^{2} + 2 a + 1 = \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} = 3$ , dus $a = ‐ 2 \pm \sqrt{3}$ .
Een vv van $m$ is: $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 + \sqrt{3} \end{matrix})$ of $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 - \sqrt{3} \end{matrix})$ .

15

De hoekensom in driehoek $A B D$ geeft: $α + β = 90 °$ ;
de hoekensom in driehoek $B C E$ geeft: $β + γ = 90 °$ , dus α = γ.

16

In het eerste geval: $\cos^{‐ 1} (\frac{6}{\sqrt{13} \sqrt{25}}) = 71 °$ .
In het tweede geval: een richtingsvector van $k$ is $(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array})$ en van $m$ is $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . Voor de hoek tussen de lijnen vind je: $72 °$ .

17

a

$2 x - 3 y + 1 = 0$

b

We snijden de lijn door $A$ loodrecht op lijn $B C$ met lijn $B C$ .
Een normaalvector van de lijn door $A$ loodrecht op $B C$ is: $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ , dus een vergelijking is: $3 x + 2 y - 18 = 0$ .
Het snijpunt van de lijnen $2 x - 3 y + 1 = 0$ en $3 x + 2 y - 18 = 0$ is $S (4,3)$ .

c

Dat is de afstand van $A (0,9)$ tot $S (4,3)$ , die is $2 \sqrt{13}$ .

d

Het spiegelbeeld noemen we $D$ . $\vec{A S} = \vec{S D} = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 6 \end{matrix})$ , dus $D = (0 + 2 \cdot 4,9 - 2 \cdot 6) = (8, ‐ 3)$ .

18

a

$\vec{b} =$ $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ is steunvector en $\frac{1}{2} \vec{B C} =$ $(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array})$ is richtingsvector.

b

De afstand is de lengte van $(\begin{array}{l} 1 + 3 t \\ 1 + 2 t \end{array}) - (\begin{array}{l} 0 \\ 9 \end{array})$ .
Het kwadraat van die lengte is: ${(1 + 3 t)}^{2} + {(2 t - 8)}^{2} = 13 {(t - 1)}^{2} + 52$ (kwadraat afsplitsen).

c

De minimale waarde van $13 {(t - 1)}^{2} + 52$ krijg je voor $t = 1$ en die is $52$ .
Dus het punt van lijn $B C$ dat het dichtst bij $A$ ligt, krijg je voor $t = 1$ . Dat punt $S (4,3)$ is dus de projectie van $A$ op lijn $B C$ . De afstand van $A$ tot lijn $B C$ is $A S = 2 \sqrt{13}$ .

19

Manier 1
Loodlijn op $k$ door $A$ : $4 x + 3 y = 10$ .
Snijden met $k$ geeft snijpunt $S (4, ‐ 2)$ als projectie. De afstand is $A S = 5$ .
Manier 2
$P (4 t,3 t - 5)$ ligt op $k$ . $A P^{2} = {(4 t - 1)}^{2} + {(3 t - 7)}^{2} = 25 {(t - 1)}^{2} + 25$ .
Dus $A P$ is minimaal $\sqrt{25} = 5$ voor $t = 1$ .
De afstand is dus $5$ .

20

a

De loodrechte projectie van $B$ op lijn $O A$ noemen we $C$ .
Een vergelijking van lijn $O A$ is $3 x + 4 y = 0$ . Dus een vv van lijn $B C$ is: $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$ .
Punt $C$ krijg je voor de waarde van $t$ met $3 (5 + 3 t) + 4 (4 + 4 t) = 0$ , dus voor $t = ‐ \frac{31}{25}$ .
Je vindt: de lengte van $h_{C} = 6 \frac{1}{5}$ .

b

Oppervlakte driehoek $O A B = \frac{1}{2} \cdot 6 \frac{1}{5} \cdot O A = 15 \frac{1}{2}$ .

c

De hoekpunten van de rechthoek noemen we (tegen de wijzers van de klok in): $B$ , $P$ , $Q$ en $R$ . Dan: oppervlakte driehoek $A B P = 4 \frac{1}{2}$ , oppervlakte driehoek $A Q O = 6$ en oppervlakte driehoek $O R B = 10$ .
De oppervlakte van de rechthoek is $36$ , dus de oppervlakte van driehoek $O A B = 36 - 4 \frac{1}{2} - 6 - 10 = 15 \frac{1}{2}$ .

21

-