3.6 Het inproduct in de ruimte >

Hoofdstukken > Meetkunde met vectoren

In paragraaf 4 hebben we gezien dat het inproduct een zeer bruikbaar instrument is. Dat zullen we in de loop van deze paragraaf ook in de ruimte introduceren.
We hebben het inproduct onder andere gebruikt om de hoek tussen lijnen te berekenen. Eerst zullen we afspreken wat we met de hoek tussen twee lijnen in de ruimte bedoelen. Daarvoor herhalen we uit het hoofdstuk Ruimtelijke figuren in het plathoe ze onderling kunnen liggen.

Onderlinge ligging van lijnen

In het tweedimensionale vlak (het platte vlak) heb je twee mogelijkheden voor de onderlinge ligging van twee verschillende lijnen:

ze snijden elkaar,
ze zijn evenwijdig.

Als twee lijnen elkaar snijden, heb je vier hoeken. Als de lijnen loodrecht op elkaar staan, zijn de vier hoeken even groot, namelijk $90 °$ . Als ze niet loodrecht op elkaar staan, heb je twee even grote stompe hoeken en twee even grote scherpe hoeken. Met de hoek tussen de twee lijnen bedoelen we de grootte van een van de scherpe hoeken.
In de driedimensionale ruimte heb je ook nog een derde mogelijkheid voor de onderlinge ligging van twee lijnen:

ze kruisen elkaar.

In de kubus hiernaast kruisen bijvoorbeeld de lijnen $A M$ en $D H$ elkaar.

Als twee lijnen elkaar kruisen, is er geen vlak te vinden waar beide lijnen in liggen.

Definitie
Met de hoek van twee (kruisende) lijnen bedoelen we de hoek die ze met elkaar maken als je (een van) beide evenwijdig verschuift, totdat ze elkaar snijden.

Voorbeeld:

Kijk naar de kubus. Je kunt lijn $B G$ evenwijdig verschuiven tot lijn $A H$ . Lijn $A H$ snijdt lijn $E D$ loodrecht. Dus de lijnen $B G$ en $E D$ staan loodrecht op elkaar.

Zie de figuur hiernaast.

Geef twee lijnen die lijn $D F$ loodrecht kruisen.

Teken op het werkblad de hoek tussen de volgende lijnen en bepaal hun grootte in graden nauwkeurig en als het kan exact.

$A C$ en lijn $G M$ ,
$A B$ en lijn $H M$ ,
$A F$ en lijn $D E$ .

(hint)

Verschuif bijvoorbeeld in het eerste geval

A C

naar

E G

Het inproduct

Bekijk het blok $A B C O . E F G H$ hiernaast. We kiezen een assenstelsel door $O$ in de ruimte. Dat doen we zoals gebruikelijk. $A$ ligt op de $x$ -as ligt, $C$ op de $y$ -as en $H$ op de $z$ -as.

Wat is de lengte van $O F$ als de ribben van het blok lengte $3$ , $4$ en $5$ in de $x$ -, $y$ - en $z$ -richting hebben?

Wat is de lengte van $O F$ als de ribben van het blok lengte $p$ , $q$ en $r$ hebben?

Geef de kentallen van de vector $\vec{B H}$ .
Wat is zijn lengte?

Als $X = (x, y, z)$ , dan is de lengte van $\vec{O X} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ , voor alle $x$ , $y$ en $z$ .
De lengte van een vector $\vec{v}$ noteren we net als in twee dimensies met $| \vec{v} |$ .

Gegeven zijn de punten $P (1,2,3)$ en $Q (‐ 1,3, ‐ 3)$ .

Geef de kentallen van $\vec{P Q}$ en bereken $| \vec{P Q} |$ exact.

$A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ en $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ .

Geef de kentallen van $\vec{A B}$ en bereken $| \vec{A B} |$ exact.

Als $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ en $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ , dan $\vec{A B} = (\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{matrix})$ en $| \vec{A B} | = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}}$ .

Analoog aan wat we in twee dimensies gedaan hebben definiëren we het inproduct.

Het inproduct $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix})$ is: $v_{1} \cdot w_{1} + v_{2} \cdot w_{2} + v_{3} \cdot w_{3}$ .
We noteren het inproduct van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ als: $\vec{v} \cdot \vec{w}$ .
Er geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = | \vec{v} | \cdot | \vec{w} | \cdot \cos (ϕ)$ ,waarbij $ϕ$ de hoek is tussen de vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .

Het bewijs volgt direct uit de cosinusregel, net zoals in twee dimensies, zie paragraaf 4.

Voorbeeld:

De hoek tussen de lijn met pv $(x, y, z) = (1 + t,2 - t,3 + 2 t)$ en de lijn met pv $(x, y, z) = (1 - 2 t,2 + 4 t,3)$ kun je als volgt in graden nauwkeurig berekenen.
Richtingsvectoren van de lijnen zijn: $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})$ .
Als $α$ de hoek tussen die richtinsvectoren is, dan
$\vec{v} \cdot \vec{w} = | \vec{v} | \cdot | \vec{w} | \cdot \cos (α)$ ; $\vec{v} \cdot \vec{w} = ‐ 6$ en $| \vec{v} | \cdot | \vec{w} | = 2 \sqrt{30}$ , dus $\cos (α) = ‐ 0,547....$ , dus $α = 123 °$ . De hoek tussen de lijnen is dan $57 °$ .

In opgave 60b heb je de hoek tussen de lijnenparen

$A C$ en $G M$ , $A B$ en $H M$ en $A F$ en $D E$ berekend.

Doe dat nog eens met het inproduct, zoals in het voorbeeld.

$A B C O . E F G H$ is een kubus met ribben van lengte $3$ , zie figuur.

Laat met behulp van het inproduct zien dat de lijnen $A C$ en $O F$ loodrecht op elkaar staan.

$P$ is een punt ribbe $F B$ , dus $P$ heeft coördinaten $(3,3, z)$ , voor zekere waarde van $z$ tussen $0$ en $3$ .

Bereken $z$ als gegeven is dat $O P$ loodrecht op $E C$ staat.

Bereken $z$ als $A G$ en $H P$ loodrecht op elkaar staan.

Geef vier vectoren met verschillende richting die loodrecht op lijn $O F$ staan.

Het bouwsel in de figuur kun je je voorstellen als een recht driezijdig prisma met grondvlak $O A B$ waarvan een stuk 'afgezaagd' is. Het zaagvlak is driehoek $C D E$ .
Er is een assenstelsel aangebracht zó, dat
$O = (0,0,0)$ , $A = (6,0,0)$ , $B = (0,6,0)$ , $C = (0,0,8)$ , $D = (6,0,4)$ en $E = (0,6,6)$ .

Bereken de inhoud van het bouwsel exact.

(hint)

De inhoud is de inhoud van een prisma min de inhoud van een vierzijdige piramide.
De inhoud van een piramide is

\frac{1}{3} G \cdot h

, waarbij

G

de oppervlakte van het grondvlak en

h

de hoogte van de piramide is.

Op lijnstuk $D E$ ligt een punt $X$ zó, dat de lijnen $D E$ en $C X$ loodrecht op elkaar staan.

Bereken de coördinaten $X$ exact.

(hint)

Geef een pv van lijn

D E

, daarmee kun je het gevraagde punt

X

in één variabele zeg

t

uidrukken.