; en .
en .
en .
, dus .
en
Uit volgt (vergelijk de eerste en derde coördinaat): , dus en , dus het snijpunt is: .
Bijvoorbeeld of
en .
en .
Klopt.
in in , dus .
, .
, en .
Voor de tekening zie de figuur hieronder links.
De punten van op de kubus zijn: , , en . Voor de tekening, zie de figuur hieronder rechts.
Als een punt aan de vergelijking voldoet, dan voldoet dat punt ook als je de -coördinaat verandert (die komt namelijk niet in de vergelijking voor), dus in de -richting verschuift.
De snijlijn is lijn , waarbij het midden van ribbe is. Een pv is .
invullen in geeft: , dus het snijpunt is .
De snijpunten zijn , en .
, , , , en
Lijn staat loodrecht op diagonaalvlak van de kubus.
Het snijpunt van en noemen we . Je kunt de zijden van driehoek berekenen en daaruit zien dat de driehoeken en gelijkvormig zijn.
, en , zie figuur.
, , , en
Driehoek is gelijkbenig en is het midden van .
, en
, dus
, dus
uit de omgekeerde stelling van Pythagoras volgt dat en
loodrecht
op elkaar staan.
Of: de driehoeken en
zijn gelijkvormig met factor
, ga dat na. Dus
hoek .
Als dat zo is dan moet vlak een vergelijking van de vorm hebben voor zeker getal . Als je voor neemt, voldoen , en . Dus het klopt.
Dat is , de lengte daarvan is .
Het midden van noemen we en de projectie van op lijn , dan staat loodrecht op lijn en op lijn (dat laatste omdat lijn loodrecht op elke lijn in vlak staat).
De driehoeken en
zijn gelijkvormig, dus
, dus
.
Dat volgt ook uit het feit dat zowel
als
twee maal
de oppervlakte van driehoek is.
Ze voldoen aan de vergelijking.
en
De variabele komt niet in de vergelijking voor. Omdat de - en de -coördinaat niet veranderen, blijft het punt aan de vergelijking voldoen.
, dus een normaalvector is .
, en
, normaalvector:
, normaalvector:
De coördinaten van de snijpunten zijn: .
invullen in de vergelijking van geeft , dus het snijpunt is: .
Zie figuur.
Een pv van lijn is:
,dus
het snijpunt voor zeker waarde van.
Vul in de vergelijking
. Dit geeft: , dus
.
Als er een gemeenschappelijk punt is dan .
Hun normaalvectoren zijn veelvouden van elkaar, dus en .
Dat is het punt dat aan de vergelijking voldoet. Dan en het gevraagde punt is: .
en
De piramide met hoekpunten , , en heeft inhoud: . Daar moet de inhoud van vier piramides vanaf, die gelijkvormig zijn met met vergrotingsfactor . Het gevraagde stuk heeft inhoud .
; ; ; .
; ; ; .
De lijn door loodrecht op heeft pv . Het punt vind je voor die waarde van waarvoor , dus .
Dat is de lengte van , dus .
,
,
Het vlak door die punten heeft vergelijking , dus de afstand is .
en , dus .
, dus .
De oppervlakte is .
Neem als grondvlak, dan is de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte .
Je moet als grondvlak van piramide driehoek
nemen. De bijbehorende hoogte is dan de gevraagde afstand .
Dus , dus
.
De inhoud van het blok is ; de inhoud van een piramide is , dus de gevraagde inhous id .
Dat is de afstand van een punt in het vlak , bijvoorbeeld tot het vlak met vergelijking , dus .