1

a

kleiner

b

groter

c

Noem die hoek α, dan $\tan α = \frac{H D}{B D} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $α = 35 °$ .

2

a

in de richting van de snijlijn

b

in de richting van de vouwlijn

3

a

-

b

-

4

$90 °$

5

Zie figuur hieronder links.

in de richting van $A D$ ; $55 °$

6

a

Zie figuur hieronder rechts.

figuur bij opgave 95

figuur bij opgave 96

b

$35 °$

7

a

waar ; waar ; waar

b

tussen $0 °$ en $90 °$ .

8

a

Zie figuur hieronder links.

b

$35 °$

9

a

Zie figuur; $55 °$

b

Als $P$ het midden van $H F$ en $Q$ $M N$ , dan is het hoek $H F$ , die is $55 °$ .

figuur bij opgave 98a

figuur bij opgave 99a

10

a

Zie figuur; $71 °$ .

b

Zie figuur; $109 °$ .

figuur bij opgave 100a

figuur bij opgave 100b

11

a

Neem het regelmatige viervlak heeft hoekpunten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ en de ribben hebben lengte $2$ . Het midden van $A B$ noemen we $M$ , dan is de standhoek hoek $C M D$ . De driehoek $C M D$ is gelijkbenig met zijden $M C = M D = \sqrt{3}$ en $C D = 2$ . Noem de standhoek α dan is $\sin (\frac{1}{2} α) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , dus α $= 71 °$ .

b

De hoek uit opgave 101a is samen met de hoek uit opgave 100b $180 °$ .

12

a

De driehoeken $E B P$ en $H B E$ zijn gelijkvormig (beide driehoeken hebben hoek $B$ gemeenschappelijk en beide hebben een rechte hoek). Dus Dus: $\frac{B P}{B E} = \frac{B E}{B H}$ , dus $B P = 4 \sqrt{3}$ . Dus $B P : H P = 2 : 1$ .

b

Het midden van $E G$ noemen we $M$ , dan zijn de zijden van driehoek $E M P$ $\sqrt{6}$ , $2 \sqrt{6}$ en $3 \sqrt{2}$ , dus $E M P$ is een $30 - 60 - 90$ -graden driehoek, de gevraagde hoek is dus exact $120 °$ .

13

a

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 8 \sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{2} = 170 \frac{2}{3} \sqrt{2}$

b

De oppervlakte van het grondvlak is $8 \cdot 8 \sqrt{3} = 64 \sqrt{3}$ . Noem de gevraagde hoogte $h$ , dan $\frac{1}{3} h \cdot 64 \sqrt{3} = \frac{512}{3} \sqrt{2}$ , dus $h = \frac{8}{3} \sqrt{6}$ .

c

Noem de top van het bouwsel $T$ , het midden van de lange zijde van een geodriehoek $M$ en de projectie van de top op het grondvlak $P$ , dan is de gevraagde hoek de hoek $T M P$ . Noem die α, dan $\sin α = \frac{h}{8}$ , dus $α =$ $\sin^{‐ 1} (\frac{1}{3} \sqrt{6}) = 55 °$ .

14

a

Zie hieronder links.

b

figuur bij opgave 104

c

$4 °$ , $86 °$

15

waar; waar; niet waar

16

a

α is hoek $N G E$ ; $30 °$

b

β is hoek $E M N$ ; $55 °$

figuren bij opgave 106

17

a

$x + y + z = 6$ .

b

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ is een richtingvector van lijn $M N$ , dus $N = (3 + t,6 + t,6 + t)$ . Invullen in een vergelijking van $V$ geeft $t = ‐ 3$ , dus $N = (0,3,3)$ .

c

$\sin α = \frac{M N}{A M} = \frac{3 \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ , dus $α = \sin^{‐ 1} (\frac{1}{3} \sqrt{3}) = 35 °$ .

18

a

Een normaalvector van vlak $A B H G$ is $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en een normaalvector van vlak $A C H$ is $\vec{f} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ . Noem de hoek tussen die twee vectoren α, dan $\cos α = \frac{\vec{e} \cdot \vec{f}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{6}$ , dus (in graden nauwkeurig) $α = 35 °$ .

b

Normaalvectoren van de vlakken zijn $\vec{f} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ . Noem de hoek tussen de vectoren β, dan $\cos β = \frac{\vec{x} \cdot \vec{f}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{5} \sqrt{15}$ , dus $β = 39 °$ .

19

a

Noem die hoeken achtereenvolgens α, β en γ.
$\cos α = \frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{| \vec{B A} | \cdot | \vec{B C} |} = ‐ \frac{1}{10} \sqrt{10}$ , dus $α = 108 °$ ;
$\cos β = \frac{\vec{T B} \cdot \vec{T C}}{| \vec{T B} | \cdot | \vec{T C} |} = \frac{31}{\sqrt{43} \cdot \sqrt{29}}$ , dus $β = 29 °$ ;
$\cos γ = \frac{| \vec{T B} \cdot \vec{O C} |}{| \vec{T B} | \cdot | \vec{O C} |} = \frac{3}{\sqrt{43}}$ ,dus $γ = 63 °$ .

b

Dat is de hoek die $\vec{B T}$ met $\vec{O T}$ maakt. Die is: $40,3 °$

c

Vlak $T A B$ is evenwijdig met de $y$ -as en snijdt de andere coördinaat-assen in $(6,0,0)$ en $(0,0,10)$ . Een vergelijking van vlak $T A B$ is dus: $\frac{x}{6} + \frac{z}{10} = 1$ , dus een normaalvector: $\vec{p} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ .
Een vergelijking van vlak $T B C$ is: $\frac{x}{‐ 12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{10} = 1$ , dus een normaalvector is $\vec{q} = (\begin{matrix} ‐ 5 \\ 15 \\ 6 \end{matrix})$ . De hoek tussen de vlakken noemen we δ, dan $| \vec{p} | \cdot | \vec{q} | \cdot \cos δ = | \vec{p} \cdot \vec{q} |$ , dus $δ = 86 °$ .

20

Een vergelijking van vlak $A F H$ is $\frac{x}{7} + \frac{y}{‐ 7} + \frac{z}{4} = 1$ , dus een normaalvector is: $\vec{n} = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 4 \\ 7 \end{matrix})$ . Een richtingsvector van lijn $E C$ is $\vec{p} = (\begin{matrix} 7 \\ ‐ 7 \\ 4 \end{matrix})$ .
De hoek die lijn $E C$ uit het lood staat noemen we β dan $| \vec{n} \cdot \vec{p} | = | \vec{n} | \cdot | \vec{p} | \cdot \cos β$ , dus $β = 29 °$ en de gevraagde hoek is $61 °$ .

21

a

$2 y - 3 z = 0$ en $3 x - 4 y = 0$

b

$51 °$

c

$64 °$

22

a

$\frac{18}{13} \sqrt{13}$

b

$cos α = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}{\sqrt{29}} = \frac{4}{\sqrt{29}}$ ; uit $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ volgt dan dat $\sin α = \sqrt{\frac{13}{29}}$ .

c

Oppervlakte driehoek $O A B = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{29} \cdot \sqrt{\frac{13}{29}} = 3 \sqrt{13}$ .

d

De inhoud van viervlak $O A B C = \frac{1}{3} \cdot 3 \sqrt{13} \cdot \frac{18}{13} \sqrt{13} = 18$ .