figuur 1

figuur 2

• $0$ is een getal en $\overrightarrow{0}$ is de vector met lengte $0$.

• De volgorde waarin je een aantal vectoren optelt heeft geen invloed op het resultaat.

• $\mathrm{‐}\overrightarrow{v}$ is vector die tegengestelde gericht is aan $\overrightarrow{v}$ en dezelfde lengte heeft als $\overrightarrow{v}$.
  In plaats van $\overrightarrow{v}+\mathrm{‐}\overrightarrow{w}$ schrijven we wel $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$.

• $\overrightarrow{AB}$ is de vector die het punt $A$ naar het punt $B$ verplaatst.
  Er geldt: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, zie figuur 1.

• Als er een oorsprong $O$ is gekozen, noemen we $\overrightarrow{OP}$ de plaatsvector van het punt $P$. In plaats van $\overrightarrow{OP}$ schrijven we ook wel $\overrightarrow{p}$.

• We zeggen dat twee vectoren, beide niet $\overrightarrow{0}$, (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben.

• In figuur 2 is de vector $\overrightarrow{v}$ ontbonden in zijn componenten langs de lijnen $a$ en $b$, dat wil zeggen: de twee (unieke) vectoren $\overrightarrow{a}$ evenwijdig aan lijn $a$,en $\overrightarrow{b}$ evenwijdig aan lijn $b$ zijn bepaald zó, dat $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

• De lengte van de vector $\overrightarrow{v}$ noteren we met $\left|\overrightarrow{v}\right|$.

Door in $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{q}$ alle mogelijke getallen voor $t$ in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn $k$ door $P$ evenwijdig met $\overrightarrow{q}$, als $\overrightarrow{q}\ne 0$.
We noemen $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{q}$ een vectorvoorstelling van $k$, zie figuur 3.
We noemen in deze schrijfwijze $\overrightarrow{p}$ de startvector en $\overrightarrow{q}$ de richtingsvector van $k$.

figuur 3

figuur 4

Een vectorvoorstelling van lijn $AB$ is: $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$
ook wel: $\overrightarrow{x}=s\cdot \overrightarrow{a}+t\cdot \overrightarrow{b}$, met $s+t=1$, zie figuur 4. Als $V$ een vlak in de ruimte is met daarin het punt $P$ en $\overrightarrow{v}$ en $\overrightarrow{w}$ zijn onafhankelijke richtingsvectoren in $V$, dan is
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}$ (waarbij $s$ en $t$ alle mogelijke waarden aannemen, een vectorvoorstelling (vv) van $V$.
Dit betekent dat er bij elk getallenpaar $\left(s,t\right)$ precies één punt $X$ in $V$ is met $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}$ en dat elk punt van $V$ een plaatsvector van die vorm heeft.

Voorbeeld:

figuur 5

Gegeven zijn de punten $A\left(\mathrm{2,0,0}\right)$, $B\left(\mathrm{0,4,0}\right)$ en $C\left(\mathrm{0,0,3}\right)$, zie figuur 5.
Onafhankelijke richtingen in vlak $ABC$ zijn
$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}‐2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}‐2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, dus een vv van vlak $ABC$ is
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}‐2\\ 4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}‐2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.
De bijbehorende parametervoorstelling is:
$\left(x,y,z\right)=\left(2-2s-2t\mathrm{,4}s\mathrm{,3}t\right)$.

Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op die lijn staat.
Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht op dat vlak staat, da t wil zeggen loodrecht op elke lijn in dat vlak. Dat is het geval als die vector loodrecht op twee niet-evenwijdige lijnen van dat vlak staat.
Een normaal van een lijn (vlak) is een lijn met een normaalvector als richtingsvector.

1. In twee dimensies stelt de vergelijking $ax+by=c$ een lijn voor met normaalvector $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$.

2. In drie dimensies stelt de vergelijking $ax+by+cz=d$ een vlak voor met normaalvector $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$.

3. De loodrechte projectie $Q$ van een punt $P$ op een gegeven lijn $k$ (vlak $V$) vind je door een lijn door $P$ loodrecht op $k$ ($V$) te snijden met $k$ ($V$).
   De afstand van $P$ tot $k$ ($V$) is de lengte van lijnstuk $PQ$.

In het volgende zijn $a$, $b$ en $c$ getallen niet gelijk aan $0$.

• Het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $\left(a\mathrm{,0,0}\right)$, $\left(\mathrm{0,}b\mathrm{,0}\right)$ en $\left(\mathrm{0,0,}c\right)$ heeft vergelijking $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

• Het vlak evenwijdig met de $x$-as, dat de $y$-as snijdt in $\left(\mathrm{0,}b\mathrm{,0}\right)$ en de $z$-as in $\left(\mathrm{0,0,}c\right)$, heeft vergelijking $\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

• Het vlak evenwijdig met het $Oxy$-vlak dat de $z$-as in $\left(\mathrm{0,0,}c\right)$ snijdt heeft vergelijking $\frac{z}{c}=1$.

Zo is $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1$ een vergelijking van vlak $ABC$ in figuur 5.

Het inproduct $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ van twee vectoren $\overrightarrow{a}$ en $\overrightarrow{b}$ is gedefinieerd als $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$ als $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$ twee vectoren in het vlak zijn en $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$ als $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$ twee vectoren in de ruimte zijn.

Inproductregel

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\text{ϕ}\right)$.
Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren $\overrightarrow{a}$ en $\overrightarrow{b}$.

In coördinaten geformuleerd:
In het vlak:
als $A(a_1,a_2)$ en $B(b_1,b_2)$, dan:
$a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\cdot \cos \left(\text{ϕ}\right)$.
In de ruimte:
als $A\left(a_1,a_2,a_3\right)$ en $B\left(b_1,b_2,b_3\right)$, dan:
$a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=$
$\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}\cdot \cos \left(\text{ϕ}\right)$.

De hoek van twee vlakken
De hoek die twee snijdende vlakken $V$ en $W$ met elkaar maken is de hoek die je ziet als je in de richting van de snijlijn kijkt. Deze hoek noemen we ook wel de standhoek van $V$ en $W$. De standhoek staat loodrecht op de snijlijn. Je kunt die hoek berekenen in een aanzicht in de richting van de snijlijn.

De hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de hoek tussen normalen van die vlakken.

De hoek van een lijn met een vlak
Lijn $k$ snijdt vlak $V$. De loodrechte projectie van $k$ op $V$ noemen we $m$. Onder de hoek die $k$ met $V$ maakt, zullen we verstaan de hoek tussen $k$ en $m$. Dat is de kleinste hoek die $k$ maakt met lijnen in $V$.

Als $n$ een normaal van vlak $V$ is, dan is de hoek die lijn $k$ met de normaal maakt samen met de hoek die hij met $V$ maakt $90°$.