5.3 Het stroomdiagram >

Hoofdstukken > Kansen_1

De pot verdelen
Twee soldaten van het beroemde Romeinse leger spelen om een forse pot: een zak met $100$ zilverstukken. Het spel is simpel. Er wordt een muntstuk opgegooid. Als kop bovenkomt, krijgt Appius een punt, in het andere geval Brutus. Degene die zo als eerste zes punten haalt, wint de zak met zilverstukken. Aangenomen dat de munt zuiver is, hebben beiden aan het begin van het spel evenveel kans op de pot.
Helaas komt de commandant binnen. Die heeft gokspelen verboden. Het spel moet dus onmiddellijk worden afgebroken. Op dat moment was de situatie erg spannend: Appius had $5$ punten en Brutus nog maar $3$ . Hoewel het niet hun bedoeling was, moeten ze de $100$ zilverstukken nu op de een of andere manier verdelen. De vraag is: wat is in deze situatie een eerlijke verdeling?
Een mogelijke verdeling is: “ieder de helft”.

Met welk argument zal Appius deze mogelijkheid verwerpen?

Brutus stelt de volgende verdeling voor: Appius krijgt $62$ zilverstukken en de andere $38$ zijn voor hemzelf.

Hoe komt Brutus aan deze verdeling?

Stel dat Appius en Brutus jou gevraagd hebben als scheidsrechter op te treden.

Hoe zou jij de $100$ zilverstukken verdelen? (We komen hier later nog op terug.)

Christiaan Huygens
1629 - 1695

Met een verdeelvraag als in opgave 27 bij Appius en Brutus is de kansrekening begonnen. Een edelman, Chevalier de Méré, legde de volgende vraag voor aan de grote Franse geleerde Blaise Pascal. Hoe moet een pot worden verdeeld als het spel vroegtijdig wordt afgebroken?
Pascal begon in 1645 een correspondentie over deze kwestie en aanverwante zaken met Pierre de Fermat. Je zou deze correspondentie als het begin van de kansrekening kunnen beschouwen. Kort daarna raakte onze landgenoot Christiaan Huygens ook geïnteresseerd in dit soort vraagstukken. Hij schreef in 1657 het eerste boek over kansrekening: Rekeningh in Spelen van Geluck. [Dit boekje is in 1998 opnieuw bij Epsilon Uitgaven verschenen, vertaald en toegelicht door Wim Kleine.]
De kansrekening is dus eigenlijk voortgekomen uit de wereld van de gokspelen.

Weliswaar heeft de commandant Appius en Brutus verboden het spel uit te spelen, maar wij kunnen dat wel doen.
We gaan dus uit van de stand $5$ - $3$ .

Gooi met een munt net zo lang totdat een van de twee $6$ punten heeft bereikt. Noteer wie dat was.
Speel op deze manier $20$ keer het spel uit. Hoeveel keer won Appius en hoeveel keer Brutus?

Anneke heeft het spel $100$ keer met de computer uitgespeeld. En dat zo vijf keer. Hieronder staan de resultaten.

Schat op grond van deze uitslag de kans dat Appius de pot zou hebben gewonnen als de commandant niet had opgetreden.
Hoe moet de pot dus (ongeveer) verdeeld worden tussen Appius en Brutus?

Alle mogelijke spelverlopen, uitgaande van de stand $5$ - $3$ , zijn hieronder schematisch weergegeven.

Stel eens dat er $100$ keer uitgespeeld wordt. De helft van de keren zal de uitslag $6$ - $3$ worden en de andere helft wordt het $5$ - $4$ en moet er nog verder gespeeld worden. De aantallen “ $100$ ”, “ $50$ ” en “ $50$ ” zijn al ingevuld in het stroomdiagram hieronder.

Welke aantallen komen er op de vier open plaatsen?
Wat is dus de kans voor Brutus om de pot de winnen? En voor Appius?
Hoe moet de pot dus (ongeveer) verdeeld worden tussen Appius en Brutus?

Het bord van Galton
Het bord van Galton bestaat uit een driehoek pinnen zoals hiernaast is aangegeven. Uit een trechter valt een kogeltje precies op de bovenste pin. Het kogeltje valt met kans $\frac{1}{2}$ naar rechts en met kans $\frac{1}{2}$ naar links. Het valt dan op een van de pinnen van de tweede laag. Weer valt het met kans $\frac{1}{2}$ naar rechts of naar links en komt het op een pin van de derde laag. Zo komt het kogeltje via de vierde laag ten slotte in een van de vakken A, B, C, D of E terecht.
Zo laten we $100$ kogeltjes de weg van de trechter naar een van de vakken maken.

In welk bakje denk je dat de meeste kogeltjes terecht komen?

In het programma Galtonbord kun je het experiment uit onderdeel a in veel variaties simuleren.
Een simulatie op een computer met $1000$ kogeltjes leverde het volgende resultaat op:
$61$ in A, $253$ in B, $370$ in C, $266$ in D en $50$ in E.

Hoe groot schat je op grond van dit resultaat de kans dat een kogeltje in vak C terecht komt?

We maken een stroomdiagram voor de $1000$ kogeltjes.

Neem bovenstaand schema over en vul op de open plaatsen de passende aantallen in.

Hoe groot is dus de kans dat een kogeltje in vak C terecht komt?

En hoe groot is de kans op elk van de andere vakken?

De verdeling van de $1000$ kogeltjes over de vijf vakken kunnen we weergeven in een histogram. Verticaal zijn de relatieve frequenties uitgezet. Dat zijn dus de kansen (in procenten). We spreken daarom ook wel van een kanshistogram.

In het stroomdiagram en in het kanshistogram is aangegeven hoe de $1000$ kogeltjes zich idealiter zouden verdelen volgens de kansen. Dat is dus hoe het in theorie zou moeten gaan. In de praktijk zal zo’n verdeling vrijwel nooit precies uitkomen: er zijn bijna altijd wel kleine toevallige afwijkingen.

Galton

Het Galtonbord is genoemd naar de Engelse geleerde Francis Galton (1822 - 1911). Galton heeft veel gereisd, was breed ontwikkelend en moet zeer intelligent geweest zijn. Hij was geobsedeerd door getalsmatige informatie.
Galton publiceerde onder andere op het gebied van de statistiek, biologie en meteorologie, maar had ook oog voor sociale en antropologische vraagstukken.

Russisch roulette
We bekijken opnieuw de opgave over Russisch roulette: de speler schiet (hoogstens) zes keer; elke keer overleeft hij met kans $\frac{5}{6}$ . Stel dat dit spel gespeeld wordt door $1800$ mensen. Hiernaast staat een begin van een stroomdiagram hierbij.

Hoeveel van deze $1800$ mensen overleven het eerste schot, naar verwachting?
Hoeveel overleven ook nog het tweede schot?
Vul deze aantallen in op de passende plaats in het stroomdiagram.
Maak een bijbehorend stroomdiagram af.

Wat is de kans dat een speler het spel overleeft?

Inloten 1
We bekijken opnieuw de opgave over de drie vrienden die voor de door hen gekozen opleidingen werden ingeloot met kansen $0,5$ , $0,6$ en $0,7$ . We gaan dit “spel” $1000$ keer spelen.

Vul de aantallen in het onderstaande stroomdiagram in.

Wat is dus de kans dat de vrienden alle drie worden ingeloot?

Maak een kanshistogram. Zet horizontaal uit het aantal vrienden dat wordt ingeloot (dus $0$ , $1$ , $2$ en $3$ ).

Inloten 2
In de vorige opgave hebben we gekeken hoeveel vrienden werden ingeloot, maar niet welke vrienden.
Dat gaan we in deze opgave doen. De vrienden heten Karl, Lieke en Minne; Karl heeft kans $0,5$ om ingeloot te worden, Lieke kans $0,6$ en Minne kans $0,7$ .
We spelen het "spel" weer $1000$ keer. De rood gekleurde weg in het stroomdiagram hieronder hoort bij "Karl in-, Lieke uit- en Minne ingeloot".

Zet de juiste aantallen in het stroomdiagram op het werkblad.

Wat is de kans dat alleen Minne wordt ingeloot?

Hoe kun je uit dit stroomdiagram het kanshistogram van de vorige opgave maken?

Een afwijking naar rechts
Een Galtonbord bestaat uit $4$ lagen pinnen. Bij elke pin heeft een kogeltje kans $\frac{1}{3}$ om naar links te vallen en kans $\frac{2}{3}$ om naar rechts te vallen.

Maak het bijbehorend stroomdiagram op het werkblad af. Laat $8100$ kogeltjes vallen.

Wat is dus de kans dat een kogeltje in het meest rechtse bakje terecht komt?

Maak een kanstabel.

Bakje	A	B	C	D	E
Percentage

In de volgende opgaven kun je steeds een stroomdiagram maken om de gevraagde kans uit te rekenen. Kies een geschikt aantal herhalingen om bovenaan in het stroomdiagram te beginnen. Maar als je het zonder stroomdiagram kunt, is dat ook prima.

Verkeerslichten
Anneke fietst elke dag van huis naar school, altijd volgens dezelfde route. Ze komt langs drie verkeerslichten. Het eerste verkeerslicht staat $25$ % van de tijd op groen, het tweede $60$ % en het derde $40$ %. De verkeerslichten zijn niet op elkaar afgesteld: we nemen dus aan dat ze onafhankelijk van elkaar werken.
In een schooljaar fietst Anneke $200$ keer naar school. Op sommige dagen moet ze voor het eerste verkeerslicht stoppen, maar kan ze bij de andere twee doorrijden. En er zijn ook allerlei andere combinaties.

Wat is de kans dat Anneke bij alle drie de verkeerslichten kan doorrijden?

Wat is de kans dat Anneke alleen bij het tweede verkeerslicht kan doorrijden?

Bekijk nog eens de vorige opgave. Als je Anneke $200$ keer laat fietsen, vind je het aantal keren dat bij driemaal groen hoort als volgt: $200 \cdot 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 12$ , dus de kans bij driemaal groen is: $\frac{200 \cdot 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4}{200} = 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4$ .
Als je Anneke $1000$ keer laat fietsen, vind je het aantal keren dat bij driemaal groen hoort als volgt: $1000 \cdot 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 60$ , dus de kans bij driemaal groen is: $\frac{1000 \cdot 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4}{1000} = 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,4$ .
En zo is de kans dat Anneke alleen bij het tweede licht kan doorrijden $0,75 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,27$ .

Caramboles
Anneke en Vinja zijn aan het biljarten. Geen poolen of snookeren, maar ouderwets met twee witte en één rode bal. De bedoeling is dat je zoveel mogelijk caramboles maakt. Je maakt een carambole als je met je eigen bal (dat is een van de twee witte) de andere twee ballen raakt. Je mag in een beurt net zo lang stoten tot je geen carambole maakt. Een carambole levert één punt op. Anneke is vrij goed in biljarten. De kans dat zij een carambole maakt is bij elke stoot $\frac{3}{4}$ .

Wat is de kans dat Anneke twee caramboles achter elkaar maakt?

Wat is de kans dat Anneke in een beurt precies drie punten haalt?

Rijexamen
Het CBR (Centraal Bureau Rijvaardigheidsbewijzen) publiceert jaarlijks de gegevens van het percentage mensen dat hun rijbewijs haalt. Omdat de kans dat je de eerste keer slaagt kleiner is dan de kans dat je de tweede keer slaagt, zijn de gegevens uitgesplitst naar het aantal pogingen.

aantal pogingen	$1$	$2$	$3$	$4$ of meer
slagingspercentage	$48$ %	$65$ %	$72$ %	$80$ %

Wat is de kans dat een willekeurige Nederlander de eerste keer zakt voor zijn rijexamen?

Wat is de kans dat een willekeurige Nederlander zijn rijbewijs in twee keer haalt?

Wat is de kans dat iemand zijn rijbewijs na drie keer afrijden nog steeds niet heeft?

Kozijnen schilderen
Joost wil de kozijnen van de ramen en de deuren aan de buitenkant van zijn huis schilderen. Dat kan alleen als het drie dagen achter elkaar droog is. Volgens buienradar is de kans op regen voor elk van de komende drie dagen $30$ %.

Wat is de kans dat Joost in de komende drie dagen zijn schilderwerk af kan maken?

Wat is de kans dat het op precies twee van de drie dagen zal regenen?