1

Hieronder staat schematisch het inwendige van een spelautomaat. Bovenaan wordt in de trechter een balletje losgelaten, dat vervolgens naar beneden rolt en in een van de bakjes terecht komt. De speler ontvangt het bedrag dat bij het bakje geschreven staat. We gaan ervan uit dat een balletje bij elke splitsing met gelijke kans naar links of naar rechts gaat.

Stel dit spel wordt per jaar $40.000$ keer gespeeld.

a

Hoe vaak zou je het balletje in het bakje met honderd euro verwachten?
En hoe vaak in elk van de andere bakjes?

b

Hoeveel zou de eigenaar van de automaat naar verwachting per jaar moeten uitbetalen?

Natuurlijk zal hij niet precies het bedrag uit onderdeel b moeten uitbetalen.

c

Wat is in theorie het maximale bedrag dat de eigenaar per jaar zou kunnen moeten uitbetalen?
En het theoretisch minimale bedrag?

Om dit spelletje te mogen spelen moet je € $15$ ,- betalen.

d

Is dit een aantrekkelijke prijs voor een speler om te spelen?
Leg uit.

Na enige tijd verandert de eigenaar het spel. Op enkele plaatsen zet hij een “stop”. Rolt het balletje daarin dan stopt het spel en wordt er niets uitbetaald. Het nieuwe inwendige van de spelautomaat staat hieronder.

e

Hoeveel moet de eigenaar nu naar verwachting per jaar uitbetalen?

f

Bij welke inzet is het net niet meer aantrekkelijk om het spel te spelen?

De stoppen 1, 2 en 3 zijn zo neergezet dat het onmogelijk is € $100$ ,- te winnen. Dat maakt het niet aantrekkelijk voor mensen om het te spelen.

g

Ontwerp zelf een spel met stoppen waarmee het wel mogelijk is € $100$ ,- te winnen. De andere bedragen mag je zelf kiezen.
Bepaal ook hoeveel een speler moet betalen om te spelen: niet te hoog en ook niet te laag. Bereken de winst die je mag verwachten als het spel $1000$ keer gespeeld wordt.

2

Chuck-a-luck is een spelletje op Amerikaanse kermissen.
Tegen een inzet van $1$ dollar mag je met drie dobbelstenen gooien. Valt geen van de dobbelstenen op 'zes' dan ben je je inzet kwijt. In de andere gevallen krijg je de inzet terug plus een dollar voor elke zes die je gooide.
De exploitant van dit spelletje op de kermis is natuurlijk geïnteresseerd hoeveel hij kan verdienen met dit spel. De inkomsten zijn duidelijk: $$1$ per spel. De uitgaven liggen minder vast. Die variëren: $$0$ , $$2$ , $$3$ of $$4$ . Hij maakt een tabel met de kansen op de verschillende uitgaven per spel.

uitbetaling	$$0$	$$2$	$$3$	$$4$
kans

a

Bereken de kansen voor deze tabel.

b

Stel dat dit spelletje $10.000$ keer gespeeld wordt; hoe vaak hoeft de exploitant naar verwachting niets uit te betalen? En hoe vaak $$2$ ? En $$3$ ? En $$4$ ?

c

Bereken hoeveel de exploitant naar verwachting gemiddeld per spelletje verdient.

d

$10.000$ keer spelen komt niet zo mooi uit. Welk aantal zou jij liever kiezen in plaats van $10.000$ ?

3

Een druiventeler kan kiezen tussen twee manieren van oogsten.
Manier 1 Direct oogsten als de druiven rijp zijn. De winst per kilo is nu € $1,50$ . Aan deze manier van oogsten is geen risico verbonden.
Manier 2 Als de druiven rijp zijn laat hij ze nog twee weken hangen. Hierdoor worden de druiven voller van smaak. De druiven zijn nu meer waard. De winst is nu € $2,00$ per kilo. Aan deze manier is wel risico verbonden. Als het gaat regenen in deze laatste twee weken, worden de druiven aangetast en daardoor minder waard: nog slechts € $0,75$ per kilo winst.
De kans dat het in de betreffende periode van twee weken regent is $0,30$ ( $30$ %).

a

Laat zien dat de te verwachten winst per kilo bij manier 2 groter is dan € $1,50$ .

Als de winst van de aangetaste druiven veel lager wordt dan € $0,75$ , is het voordeliger voor de teler om voor manier 1 te kiezen.

b

Bereken vanaf welke winst voor de aangetaste druiven hij beter voor manier 1 kan kiezen.

4

Verzekeringsmaatschappijen werken veel met kansen.
Wintersportvakanties zijn niet zonder risico. Ongeveer $6$ % van alle wintersporters raakt in mindere of meerdere mate gewond. De behandelingskosten kunnen variëren van enkele tientjes tot duizenden euro's. Gemiddeld liggen de kosten rond de $400$ euro per gewonde.
Per jaar gaan $10.000$ Nederlanders naar de wintersport. Laten we aannemen dat ze zich allemaal bij een verzekeringsmaatschappij verzekeren en dat deze maatschappij geen winst hoeft te maken.

a

Hoe hoog zal de verzekeringspremie per persoon moeten bedragen, opdat de verzekeringsmaatschappij de verwachte kosten kan betalen?

Stel dat slechts de helft van de wintersporters zich verzekert.

b

Bereken ook nu de hoogte van de premie.

c

Hoe hoog zou in theorie de premie moeten zijn als zich slechts één persoon zich bij deze maatschappij zou verzekeren?

De verzekeringsmaatschappij bepaalt de premie op $6$ % van $400$ euro; dat is $24$ euro. Als we nu per wintersporter kijken, dan zijn er twee mogelijkheden.

De wintersporter overkomt niets. De kans daarop is groot, namelijk $94$ % en de verzekeraar wint $24$ euro.
De wintersporter overkomt wel wat. De kans hierop is $6$ % en de verzekeraar verliest $376$ euro. Gemiddeld houden de winst en verliesbedragen elkaar in evenwicht, als de $6$ % en $400$ euro goed geschat zijn.

d

Noem een aantal gevaren voor een verzekeringsmaatschappij.
Vergelijk daarbij een grote en een kleine maatschappij (veel klanten tegenover weinig klanten).

5

Reisbureaus bieden vlak voor vertrek de zogenaamde lastminutereizen aan. Ze proberen het vliegtuig en/of hotel alsnog vol te krijgen door de prijzen te verlagen. Reizen die normaal bijvoorbeeld € $800$ ,- kosten, kunnen dan geboekt worden voor € $550$ ,-. Wie zou dat niet willen?
Maar dit kan alleen als er nog plaatsen over zijn. Dus als je gokt op zo'n lastminute aanbieding, loop je het risico dat er helemaal geen plaats is.
Familie Jansen, met $4$ personen, wil van de zomer naar Turkije. Het boeken van zo'n reis kan in april voor € $800$ ,- per persoon. Vorig jaar zagen zij in de zomer een lastminute aanbieding van deze reis voor € $550$ ,- per persoon.
Probleem is nu: hoe groot schatten zij de kans dat deze aanbieding dit jaar weer komt. Neem aan dat die kans $0,60$ is. Als de aanbieding niet komt zullen ze, om toch naar Turkije te kunnen, een duurdere lijnvlucht moeten boeken. Deze kost € $900$ per persoon.

Welk advies zou jij de familie Jansen geven (uitgaande van hun schatting van $0,60$ ): in april boeken of wachten tot de zomer? Ondersteun je advies met een berekening.

6

De levensverwachting voor de Nederlandse vrouw is bij de geboorte ongeveer $82$ jaar. In sommige landen in Afrika is de levensverwachting nog geen $50$ jaar.
Wat wordt er met een levensverwachting van nog geen $50$ jaar bedoeld? Men verwacht, bij de geboorte, dat de inwoners in zo'n Afrikaans land gemiddeld nog geen $50$ jaar oud worden. Dat wil natuurlijk niet zeggen dat niemand ouder dan $50$ jaar kan worden. Hoe wordt zoiets berekend? Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen om te laten zien hoe zo'n levensverwachting berekend wordt.

Eendagsvliegen leven niet lang: maximaal $12$ uur.
We gaan $1000$ eendagsvliegen vanaf de geboorte volgen. We noteren ieder uur hoeveel van deze $1000$ vliegjes nog in leven zijn.

Na ... uur	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
nog ... in leven	$1000$	$850$	$600$	$250$	$100$	$20$	$0$

a

Bereken hieruit de gemiddelde leeftijd die deze $1000$ vliegjes bereiken. Neem daarbij aan dat vliegjes die bijvoorbeeld tijdens hun achtste levensuur sterven $7,5$ uur oud worden.

Bekijk nu alleen de groep van $250$ vliegjes die hun $9$ -de verjaaruur vierden.

b

Bereken voor deze groep hun levensverwachting (dat is de gemiddelde leeftijd waarop ze stierven).

We bekijken de groep van $100$ vliegjes die hun $10$ -de verjaaruur vierden.

c

Als we de gemiddelde leeftijd waarop ze stierven berekenen, zal deze dan hoger/lager/even hoog zijn als bij de groep van $250$ vliegjes, die hun $9$ -de verjaaruur vierden? Geef uitleg.

7

In warenhuizen is gedurende een doordeweekse dag bijgehouden hoe lang de mensen met hun boodschappen voor de kassa moesten wachten.

wachttijd in min.	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$
% klanten in A	$20$	$10$	$20$	$25$	$25$
% klanten in B	$0$	$40$	$40$	$20$	$0$

Je leest bijvoorbeeld af dat in winkel A $20$ % van de klanten $1$ minuut moest wachten.
De wachttijden zijn afgerond op halve en hele minuten.
Met deze gegevens maken we een model: we nemen aan dat bovenstaande verdeling voor iedere doordeweekse dag geldt. Voor iedere klant geldt nu dat de kans dat hij/zij $1$ minuut in winkel A moet wachten $0,20$ is. Voor andere wachttijden en voor winkel B worden op dezelfde wijze de kansen gedefinieerd.

a

Bereken de gemiddelde wachttijd voor winkel A.
Ook voor winkel B.

b

Maak een kansboom van de wachttijden voor een klant die eerst naar winkel A gaat en vervolgens naar winkel B.

Een klant bezocht beide winkels.

c

Bereken de kans dat deze klant in beide winkels even lang moet wachten.

De totale wachttijd voor iemand die beide winkels bezoekt varieert van $0,5$ tot $3,5$ minuut.

d

Maak een tabel van de kansen op de verschillende mogelijkheden.

wachttijd	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$	$3$	$3,5$
kans

e

Bereken de gemiddelde totale wachttijd.

Anneke beweert: “Als je de gemiddelde wachttijden bij winkel A en bij winkel B optelt, krijg je dezelfde uitkomst als bij onderdeel e: de gemiddelde totale wachttijd”.

f

Onderzoek met een berekening of deze uitspraak juist is.

8

Naast de lotto kun je ook meedoen aan de zogenaamde Euroloterij. Dat kost € $1$ ,-. Op het lotto-lot van een deelnemer staan zes cijfers. Bij de trekking wordt het winnende getal van $6$ cijfers bekend gemaakt.
Zijn de $6$ cijfers van het getal van de deelnemer goed (dus alles is goed) dan krijgt hij € $200.000$ ,-.
Zijn de laatste $5$ cijfers goed, dan € $5.000$ ,-.
Zijn de laatste $4$ cijfers goed, dan € $450$ ,-.
Zijn de laatste $3$ cijfers goed, dan € $50$ ,-.
Zijn de laatste $2$ cijfers goed, dan € $5$ ,-.
Is het laatste cijfer goed, dan ontvangt hij € $1$ ,-.
Je krijgt niet meer dan één prijs. Als de laatste vier cijfers goed zijn, krijg je alleen daarvoor de prijs (en niet ook nog voor de laatste drie cijfers).

Bereken hoeveel de winst is die de organisator van het cijferspel per deelnemer mag verwachten.

9

Kansrekening kom je overal in wetenschappelijke publikaties tegen. Helaas is de formulering niet altijd even helder. Hieronder vind je daar een voorbeeld van.

De tekst komt uit het standaardwerk "De Nederlandse Delta". Het gaat de overstromingsramp van 1953. Toen steeg het water bij vloed zo hoog, dat een groot deel van Zuidwest Nederland onder water kwam te staan.
Er wordt gesproken over een frequentie van ongeveer $1$ / $300$ . Laten we eens aannemen dat de schrijver hiermee bedoelt: per 300 keer dat het vloed is, zal er gemiddeld 1 keer zo'n reuzenvloed zijn.

a

Bereken hoeveel keer iemand in zijn leven, dat $73$ jaar duurt, zo'n reuzenvloed meemaakt. (De tijd tussen twee opeenvolgende keren vloed is $12$ uur en $25$ minuten.)

Bij onderdeel a zul je gevonden hebben dat iemand die $73$ jaar oud wordt best wel vaak zo'n reuzenvloed mee zal maken. De schrijver zal dus wel iets anders bedoeld hebben met $1$ / $300$ . Laten we aannemen dat hij bedoelde: gemiddeld $1$ keer in de $300$ jaar.
Neem aan, voor ieder jaar is de kans op zo'n vloed $1$ / $300$ is.

b

Bereken de kans dat in de komende $2$ jaar in beide jaren zo'n vloed optreedt.

c

Bereken de kans dat in de komende $10$ jaar niet zo'n vloed zal optreden.

d

Bereken de kans dat iemand die $73$ jaar wordt minstens één keer in zijn leven zo'n vloed meemaakt. Komt er ongeveer $25$ % uit?

10

In Limburg kwamen in het verleden grote overstromingen voor van de Maas, bijvoorbeeld in 1926, 1993 en 1994. In 1994 stond er in de kranten dat voor het tweede achtereenvolgende jaar het water van de Maas een hoogte bereikte die gemiddeld slechts eens in de $50$ jaar werd verwacht.
Vele mensen redeneerden in 1993 als volgt.
In 1993 was er zo'n overstroming, dus de volgende verwachten we pas over 50 jaar (in 2043).

a

Wat vind jij van deze redenering?

Neem eens aan dat voor ieder jaar de kans op zo'n overstroming steeds $\frac{1}{50}$ is.

b

Bereken de kans dat zo'n overstroming $50$ jaar of meer op zich laat wachten.