5.6 Hoeveel mogelijkheden >

Hoofdstukken > Kansen_1

Kansen bepaal je vaak door te tellen. Je telt hoeveel mogelijkheden er zijn voor een resultaat en achterhaalt wat de kans is op elk van de mogelijkheden.
Het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het tellen van de aantallen mogelijkheden heet Combinatoriek.

Wimbledon 2007
Hieronder zie je het complete speelschema voor het dames tennistoernooi Wimbledon van 2007.
Je ziet in het schema onder andere dat de Belgische Justine Henin in de eerste ronde tegen de Argentijnse Cravero speelt. In de tweede ronde zal de winnaar van deze match spelen tegen de winnaar van Bacsinszky en Dushevina.

In theorie zou Henin tegen Malek (nr. 46) kunnen spelen.

In welke ronde zou dat zijn?

In totaal zijn er zeven rondes (eerste ronde tot en met de finale).

Hoeveel spelers spelen er in de eerste ronde? En hoeveel in de tweede?

Hoeveel wedstrijden worden er volgens dit wedstrijdschema in totaal gespeeld?

De namen van sommige speelsters zijn vetgedrukt; dat zijn “geplaatste” speelsters. Om te voorkomen dat de sterkste speelsters al vroeg in het toernooi tegen elkaar moeten spelen, worden de beste $16$ spelers “geplaatst”: ze worden zo over het schema verspreid dat ze elkaar pas later tegen kunnen komen.

In welke ronde kunnen geplaatste spelers voor het eerst tegen elkaar uitkomen?

Vlaggen kleuren I
Een vlag met drie horizontale banen moet ingekleurd worden. Er is keuze uit vijf kleuren: rood, wit, geel, blauw en zwart.

Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er gemaakt worden als alle banen een andere kleur moeten krijgen? Maak eventueel een boomdiagram.

Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er gemaakt worden als de kleuren meer dan eens gebruikt mogen worden, maar niet in aan elkaar grenzende banen?

Vlaggen kleuren II
Stel dat de vlag er nu uit moet zien zoals hiernaast en er zijn zeven kleuren beschikbaar.

Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er gemaakt worden als iedere kleur maar één keer gebruikt mag worden?

Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er gemaakt worden als de kleuren meerdere keren gebruikt mogen worden, maar niet in aangrenzende banen?

Er zijn zes klinkers: A, E, I, O, U en Y. Iemand kiest vier keer een klinker en schrijft die op een rijtje. Zo’n rijtje waarbij de volgorde van belang is, noemen we ook wel een rangschikking of permutatie.

Eerst bekijken we het geval dat een letter maar één keer gekozen mag worden.

Hoeveel rangschikkingen van vier klinkers kun je maken als een klinker maar één keer mag voorkomen?

Nu bekijken we het geval dat een letter meerdere keren gekozen mag worden (zelfs vier keer).

Hoeveel rangschikkingen van vier klinkers kun je maken als een klinker meerdere malen mag voorkomen?

Hoeveel rangschikkingen van zes klinkers kun je maken als een klinker maar één keer mag voorkomen?

Je hebt de $8$ cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8.

Hoeveel rangschikkingen (in dit geval getallen) van $8$ cijfers kun je hiermee maken als elk cijfer één keer mag voorkomen?

In de voorgaande opgave heb je gezien dat er $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ rangschikkingen van zes verschillende klinkers zijn en
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40.320$ rangschikkingen (of permutaties) van $8$ verschillende cijfers.

Er zijn $n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ verschillende rangschikkingen van $n$ verschillende dingen.
We noteren $n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ met $n$ ! (spreek uit: $n$ faculteit).

Hieronder staan de uitkomsten van $n!$ voor $n = 1, 2, 3, \dots, 10$ .
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
$6! = 720$
$7! = 5.040$
$8! = 40.320$
$9! = 362.880$
$10! = 3.628.800$
Je kunt hieruit zien hoe duizelingwekkend snel de faculteitsgetallen groeien.

Een voetbaltrainer kan bijna $40$ miljoen opstellingen maken met zijn elf basisspelers.

Geef commentaar op deze bewering.

Op een beetje rekenmachine kun je faculteiten berekenen.
Het kan zeker op je GR.

Zoek uit hoe dat op jouw apparaat werkt.

Als je achter de uitkomst van $9!$ een nul zet, krijg je de uitkomst van $10!$ .

Is dat logisch?

Mijn rekenmachine geeft na intoetsen van $12!$ de uitkomst: ${4.79}^{08}$ . Dat betekent: $4,79 \cdot 10^{8} = 479.000.000$ .

Hoe kan je erachter komen dat deze uitkomst niet helemaal precies is?

Bereken de precieze uitkomst van $12!$ uitgaande van $10!$ in het lijstje van faculteitsgetallen.

Toto
Op één formulier van de toto kunnen de uitslagen van $13$ voetbalwedstrijden worden voorspeld. Bij elke wedstrijd doe je dat door daarachter een hokje aan te kruisen met nummer 1, 2 of 3. Als je hokje 1 aankruist, voorspel je dat de thuisclub gaat winnen. Bij hokje 2 verliest de thuisclub en bij hokje 3 wordt het een gelijkspel.

Op hoeveel verschillende manieren kan één kolom worden ingevuld?

Hoeveel mogelijkheden zijn er om één kolom in te vullen waarbij er geen enkel gelijkspel wordt voorspeld?

Een meerkeuzetoets bestaat uit $15$ vragen. Bij iedere vraag staan vier antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed.

Op hoeveel manieren kun je de toets maken?

Er is uiteraard maar één manier om de toets helemaal zonder fouten te maken.

Op hoeveel manieren kun je de toets maken met precies één fout?

Palindroom
Een palindroom is een woord waarin de letters van links naar rechts en van rechts naar links gelezen in dezelfde volgorde staan.
Voorbeelden zijn: raar, lepel en parterretrap.

Weet je nog een voorbeeld van een palindroom?

We kijken nu naar alle palindromen van vijf letters. Ze hoeven verder geen betekenis te hebben.

Hoeveel palindromen van vijf letters zijn er? En van zes letters?

Hoeveel palindromen van vijf letters zijn er waarbij iedere letter maximaal twee keer voorkomt?

Veel telproblemen kun je terugvoeren tot het tellen van het aantal routes in een rooster.

Routes in een rooster

Wandelingen
Nieuwere wijken in grote steden hebben vaak een rechthoekig stratenpatroon, bijvoorbeeld L'Eixample in Barcelona.

De wegenstructuur in Amerikaanse steden is ook vaak zo. In de benaming van de wegen is die overzichtelijkheid terug te vinden: 1st street, 2nd street ... en 1st avenue, 2nd avenue,..

Een wandeling voert van het kruispunt 2nd street, 1st avenue naar het kruispunt 3rd street, 4th avenue zonder omwegen.

Maak een plattegrond zoals in figuur 1 en teken daarin alle mogelijke wandelingen.

Bij het stukje plattegrond in figuur 2 zijn $10$ verschillende wandelingen van A naar B mogelijk.

Teken deze wandelingen. Pak het systematisch aan.

Hoeveel wandelingen zijn er in de plattegrond in figuur 3 mogelijk:

van A naar B?
van B naar C?

Hoe kun je uit je antwoorden op de vorige vraag het aantal wandelingen van A naar C vinden?

De wandelingen zijn ook te beschrijven met een rijtje bestaande uit twee letters A (avenue) en drie letters S (street). De wandeling in de figuur hiernaast is de wandeling SAASS.
Alle wandelingen van opgave 79b kun je zo beschrijven. Je krijgt dan:
AASSS, ASASS, ASSAS, ASSSA, SASSA,
SASAS, SAASS, SSASA, SSAAS, SSSAA.

Hoeveel routes zijn er van start S naar finish F in de vijf figuren?

In figuur 1 hieronder zie je een route zonder omwegen langs de ribben van een kubus van S naar F.
Om vanuit S in F te komen moet je één keer omhoog (O), één keer naar links (L) en één keer naar achter (A). De route in de figuur is dus te coderen door OLA.

Hoeveel rijtjes kun je maken met O, L en A? Hoeveel routes zijn er dus van S naar F?

Bereken ook het aantal kortste routes in figuur 2 van S naar G.