1

Hoeveel verschillende routes zijn er van A naar B?

2

We vergelijken twee systemen van lettercombinaties.
Systeem I: Uit de acht letters A tot en met H worden rijtjes van drie letters gevormd, bijvoorbeeld: AAB, BCD, FGF, HHH.
Systeem II: Uit de drie letters A, B, C worden rijtjes van acht letters gevormd, bijvoorbeeld: ABBACCCA, ABCABCAB.

Welk systeem bevat de meeste lettercombinaties?

3

In de kubus hiernaast zijn er zes routes van A naar B. In de dubbele kubus zijn er twaalf routes van A naar B.

Hoeveel routes zijn er in het kwartet kubussen van A naar B?

4

Hocus pocus
Een bekende toverspreuk is HOCUS POCUS PILATUS PAS.

Op hoeveel manieren kun je die spreuk in het letterpatroon lezen?

5

Pincodes
Een pincode is een geheime code van vier cijfers die hoort bij een giro- of bankpas. Sommige mensen vinden het lastig om hun pincode te onthouden. Daarom hebben zij graag een mooie pincode. We noemen een pincode mooi als er maar twee verschillende cijfers voorkomen.

Bereken hoeveel mooie pincodes er zijn.

6

De gastvrouw heeft nogal spijt van de gekozen rangschikking van haar $14$ gasten aan tafel ( $7$ mannen en $7$ vrouwen).

Uit hoeveel rangschikkingen kan zij kiezen als zij de afwisseling man-vrouw-man-vrouw enzovoort wil handhaven?

7

Bij een groot internationaal congres worden de volgende talen gesproken: Duits, Engels, Frans, Russisch, Spaans, Portugees en Nederlands. Als er iemand een lezing houdt, wordt die via een computer vertaald in alle andere talen.

a

Hoeveel verschillend vertaalprogramma’s zijn er in totaal nodig?

Men voert een centrale taal in: Esperanto. Alles wordt nu vanuit een taal eerst in Esperanto vertaald en daarna vanuit Esperanto naar de andere talen.
Voorbeeld: Duits $\to$ Esperanto $\to$ Engels.

b

Hoeveel verschillende vertaalprogramma’s zijn er in deze situatie in totaal nodig?

8

Bij de lotto laat men zes balletjes één voor één uit een trommel rollen. In de trommel zitten $45$ balletjes, genummerd van 1 tot en met 45. We letten niet op het zogenaamde reservegetal en ook niet op de "kleurbal". De balletjes worden vervolgens op volgorde van trekking naast elkaar gezet.
Een mogelijke volgorde is: 32 3 41 1 4 31.

a

Hoeveel van dit soort rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Op het eind van de trekking worden ze op volgorde gezet, van klein naar groot. In ons voorbeeld krijg je dan het rijtje:
1 3 4 31 32 41.

b

Hoeveel van dit soort rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

9

Victor vist in een vijver waar twaalf vissen zijn uitgezet, waaronder vier platvissen. Hij gooit een gevangen vis niet terug in het water. Alle vissen laten zich even gemakkelijk vangen. Victor vangt twee vissen.

Bereken de kans dat Victor minstens één platvis heeft gevangen.

10

Coderingen
Codes zijn vaak gedigitaliseerd, dat wil zeggen dat ze alleen uit enen en nullen bestaan. 110010 is zo’n code. We kijken in deze opgave alleen naar codes die uit zes cijfers bestaan.

a

Hoeveel van zulke codes zijn er?

Als een andere code op één plek afwijkt van het voorbeeld hierboven, dan zeggen we dat de afstand tussen deze twee codes $1$ is. Wijken er twee cijfers af, dan is de afstand $2$ , enzovoort.
Voorbeeld: de afstand tussen 100100 en 001101 is $3$ .

b

Hoeveel codes zijn er die afstand $2$ hebben tot de code 110010?

11

In een tv-quiz bepaalt de winnaar zijn prijs door drie deuren te openen. Hij moet eerst een A-deur openen, daarna een B-deur en ten slotte een C-deur. De gewonnen prijs is de som van de bedragen die achter de gekozen deuren vermeld staan (in euro's).

a

Hoe groot is de kans om niets te krijgen?

b

Hoe groot is de kans op een totale prijs van minstens duizend euro?

c

Hoeveel kosten naar verwachting de omroep $120$ speelavonden?

12

Hiernaast zie je een vereenvoudigde “fruitautomaat” zoals je die in cafetaria’s aantreft. Hij bestaat uit twee schijven die onafhankelijk van elkaar draaien. Op elke schijf staat een appel, een banaan, een citroen en een peer. Als je speelt op de automaat, gaan de schijven draaien en komen elk in een willekeurige plek tot stilstand.

a

Bereken de kans dat er geen appel en geen peer in het venster verschijnt.

Bij twee gelijke vruchten betaalt de automaat € $5$ ,- uit, bij een appel en een peer € $3$ ,- en bij een citroen en een banaan € $2$ ,-.

b

Bereken de kans dat je na één keer spelen € $5$ ,- wint.

c

Maak een tabel van de kansverdeling van de uitbetaling bij één keer spelen.

d

Hoeveel moet een keer spelen minstens kosten, opdat de eigenaar van de automaat naar verwachting geen verlies lijdt?

(hint)

Bekijk de verwachte uitbetaling in

80

spelen.

13

Boze tongen beweren dat $20$ % van de profwielrenners die deelnemen aan zware etappewedstrijden gebruik maken van verboden stimulerende middelen. Neem aan dat dat waar is. Na afloop van een etappe in zo’n wedstrijd worden drie renners door het lot aangewezen om naar de dopingcontrole te gaan. (Die dopingcontrole is volkomen betrouwbaar, dit in tegenstelling tot de praktijk.)

a

Is dit “trekken met” of “trekken zonder terugleggen”?

De kans om doping te constateren, is bij de eerste renner die wordt aangewezen anders dan bij de tweede en de derde. Maar die kansen verschillen niet zo veel. We nemen aan dat voor elke renner de kans $0,2$ is dat hij doping heeft gebruikt.

b

Maak een tabel van de kansverdeling van het aantal wielrenners dat op doping wordt betrapt

Elke dag wordt er een dopingcontrole gehouden.

c

Hoeveel wielrenners worden er dagelijks gemiddeld betrapt?

14

Crown and Anchor
Crown and Anchor is een oud Engels bordspel. Vroeger werd het veel gespeeld in pubs en op kermissen onder leiding van de zogenaamde playmaster. Het is een simpel gokspelletje. Het speelbord bestaat uit zes vakken. In ieder vak staat een teken, achtereenvolgens Schoppen, Harten, Ruiten, Klaver, Kroon en Anker. Er horen ook nog drie kubusvormige dobbelstenen bij met deze zes tekens op de kanten.
Iedereen die wil, zet geld in op één van de vakken. De drie dobbelstenen worden gegooid. Winnaars zijn diegenen die ingezet hebben op een van de tekens die de dobbelstenen aangeven. Ze krijgen van de playmaster hun inzet terug plus zoveel maal die inzet als het aantal keren dat het teken boven kwam.
Er wordt bijvoorbeeld Kroon, Kroon, Klaver gegooid. In dat geval krijgen de kroongokkers in totaal driemaal hun inzet, de klavergokkers tweemaal hun inzet en de overigen zijn hun inzet kwijt.
We bekijken het spel van iemand die één shilling zet op Anker

a

Maak een tabel van de kansen op het aantal keer Anker.

aantal Anker	$0$	$1$	$2$	$3$
kans

Iemand speelt twee keer het spel. Hij zet in op Anker.

b

Bereken de kans dat hij beide keren winst maakt.

15

Peter woont in Bodegraven en geeft les op een school in Utrecht. Dagelijks reist hij met de trein heen en terug. Er zijn twee onafhankelijke redenen om vertraging te krijgen.

De trein vertrekt niet op tijd. De kans hierop is $0,2$ .
De reisduur is langer dan gepland. De kans hierop is $0,05$ .

Er is sprake van vertraging, als er afwijkingen ten opzichte van het spoorboekje zijn.

a

Beschrijf hoe je de gegeven kans van $0,2$ (bij 1) in de praktijk zou kunnen controleren.

Peter is ‘s ochtends op tijd op het station.

b

Laat zien dat de kans dat hij met vertraging in Utrecht arriveert gelijk is aan $0,24$ .

Peter maakt in een week vier keer de reis Bodegraven-Utrecht.
In een week schrijft hij voor elke reisdag op of hij vertraging heeft (v) of niet (n).
Als hij een week twee keer vertraging heeft, kan het rijtje er zó uitzien: vnvn.

c

Hoeveel rijtjes met twee keer v en twee keer n kun je maken?

d

Maak een tabel van de kansverdeling van het aantal dagen dat hij vertraging heeft. Rond de kansen af op vier decimalen.

aantal dagen met vertraging	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
kans

e

Bereken hoeveel dagen Peter naar verwachting met vertraging zal reizen.

Peter reist in een jaar $40$ weken van Bodegraven naar Utrecht. De overige weken heeft hij vakantie.

f

Wat is naar verwachting het aantal dagen dat Peter jaarlijks met vertraging zal reizen?