De lengte van 18-jarige jongens is normaal verdeeld met gemiddelde $182$ cm en SD $10$ cm.

Bereken hoeveel procent langer is dan $200$ cm.

We gaan nu de volgende vraag behandelen.
Hoe lang is de kortste $10$ procent jongens? Een bijbehorend plaatje staat hiernaast. Gevraagd wordt de grenswaarde $x$ (cm): zo lang mag een jongen hoogstens zijn om tot de $10$ % kortste te horen.
Op de GR zou je dus díe waarde $x$ moeten zoeken zodat $P (X \leq x | μ = 182; σ = 10)$ $= 0,1$ .

Probeer die waarde $x$ te vinden.

In GeoGebra kun je die waarde gemakkelijker vinden door met een knop te schuiven.
Proberen hoeft niet; er is ook een rechtstreekse methode op de GR.

Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat.

Zie figuur hieronder links. Op sommige GR's kun je alleen de waarde van $x$ terugvinden als de gekleurde oppervlakte links van $x$ bekend is.

Zie de figuur hierboven rechts . Veronderstel dat de gekleurde oppervlakte rechts van $y$ bekend is.
Neem voor de figuur rechts aan: $μ = 100$ , $σ = 10$ en de oppervlakte rechts van $y$ is $26$ %.
Met de GR vind je: als $P (X \leq x | μ = 100; σ = 10)$ $= 0,26$ , dan $x \approx 93,6$ .

Wat is $y$ in dit geval?

Je kunt $y$ ook rechtstreeks met de GR vinden met
$P (X \leq y | μ = 100; σ = 10)$ $= \dots$ .

Wat moet je dan op $\dots$ invullen?

Hoe lang zijn de jongens van wie de lengte tot de middelste $50$ % behoort?

Bij een examen zijn de puntenaantallen bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde $68$ en SD $12$ .

Bereken met welk puntenaantal een leerling tot de $25$ % zwakste leerlingen behoort.

Verkeersintensiteit en rijsnelheden
Om aan te geven hoe druk het is op de weg gebruikt men het begrip verkeersintensiteit. Die intensiteit $I$ wordt gegeven als een percentage van het maximale aantal auto’s dat een weg per uur kan verwerken. Is er geen verkeer,dan is de verkeersintensiteit $0$ . Bij een lage verkeersintensiteit (het is rustig op de weg) is er veel variatie in de snelheden van de auto’s. Naarmate de intensiteit toeneemt, moet de automobilist zijn snelheid meer aanpassen aan het overige verkeer. Hieronder is de verdeling van de snelheden getekend bij weinig verkeer ( $I = 5$ ); we nemen aan dat het een normale verdeling is.

Neem aan dat de snelheden normaal verdeeld zijn met gemiddelde $56$ km/uur en standaardafwijking $13$ km/uur. Op deze weg mag maximaal $70$ km/uur gereden worden.

Bereken hoeveel procent van de auto’s te hard rijdt.

In de figuur hierboven is voor een bepaald type weg bij een aantal verschillende verkeersintensiteiten $I$ de verdeling van de snelheden $V$ getekend. Die verdeling lijkt steeds sterk op een normale verdeling.

Als de verkeersintensiteit $I$ toeneemt, verandert ook:

de spreiding van de snelheden,
de gemiddelde snelheid,
het percentage voertuigen dat ongeveer de gemiddelde snelheid rijdt.

Geef voor elk van deze drie veranderingen aan of er sprake is van toename.

De vulmachine
Aan het einde van paragraaf 1 hebben we een probleem laten liggen.
Op welk gemiddelde gewicht moet de machine worden afgesteld opdat aan de EU-richtlijn wordt voldaan dat slechts $2$ % van de pakken een gewicht heeft onder de $985$ gram ( $σ = 10$ gram)?
Het gemiddelde $μ$ moet gezocht worden, zo dat $P (X \leq 985 | μ = \dots; σ = 10)$ $= 0,02$ , zie plaatje.

Zoek $μ$ (in één decimaal) door te proberen.

We gaan een manier behandelen, waarop je de waarde van $μ$ rechtstreeks kunt vinden. Trekken we van alle pakken $μ$ gram af, dan krijgen we de normale verdeling met gemiddelde $0$ , nog steeds met $σ = 10$ . Zie het plaatje hiernaast. De grenswaarde waar $2$ % onder ligt, vind je op de GR.

Vind die grenswaarde.

Weet je nu ook het gemiddelde $μ$ ?

Opmerking:

Met de GR kun je oplossingen van vergelijkingen vinden.
Je kunt de oplossing van opgave 49 ook vinden door de volgende vergelijking in $x$ op te lossen:
$P (X \leq 985 | μ = x; σ = 10)$ $= 0,02$ .

Veronderstel dat de puntenaantallen bij het CSE van een bepaald vak bij benadering normaal verdeeld zijn en dat $σ = 12$ . Het percentage onvoldoende ( $54$ punten of minder) is $10$ %.

Bereken het gemiddelde puntenaantal.

Uit een onderzoek bleek dat de scores van leerlingen bij het CSE wiskunde A havo bij benadering normaal verdeeld zijn. In 1991 was het gemiddelde $62$ punten en $28$ % van de leerlingen hadden een onvoldoende ( $54$ punten of minder).

Bereken de SD door te proberen.

Er is ook een rechtstreekse methode.
Noem de score $S$ , dan is $\frac{S - 62}{SD}$ standaard normaal verdeeld.

Bepaal met de GR het getal $x$ met $P (X \leq x | μ = 0; σ = 1)$ $= 0,28$ .

Het antwoord van onderdeel b is $\frac{54 - 62}{SD}$

Bereken SD.

Opmerking:

Je kunt de SD uit de vorige opgave natuurllijk ook weer met de GR vinden door een vergelijkiing op te lossen.
De SD noemen we $x$ . Dan is $x$ de oplossing van de vergelijking: $P (X \leq 54 | μ = 62; σ = x)$ $= 0,28$ .

Bij vraagstukken over de normale verdeling draait alles om vier grootheden: het gemiddelde $μ$ , de standaardafwijking $σ$ , een percentage $p$ en een waarde $x$ . ( $p$ is de oppervlakte onder de normale kromme links van $x$ ). De grootheden zijn gekoppeld: als er drie bekend zijn, kun je de vierde uitrekenen. In principe zijn er dus vier verschillende typen vragen. Van elke soort maken we een opgave.

Bereken telkens het getal dat op de stippellijn ingevuld moet worden.

$x = 17$ , $μ = 20$ , $σ = 2$ , $p = \dots$

$x = \dots$ , $μ = 20$ , $σ = 2$ , $p = 0,1$

$x = 17$ , $μ = \dots$ , $σ = 2$ , $p = 0,1$

$x = 17$ , $μ = 20$ , $σ = \dots$ , $p = 0,1$

$μ$ en $σ$ zijn bekend
Auto’s worden op de lopende band in elkaar gezet. Een robot heeft voor het monteren van een wiel gemiddeld $96$ seconden nodig met een standaardafwijking van $5$ seconden. Er treedt vertraging op in de hele montagelijn als de robot meer dan $110$ seconden nodig heeft.

Bereken bij hoeveel procent van de auto’s er vertraging zal optreden.

$μ$ en percentage zijn bekend
Een robot heeft gemiddeld $80$ seconden nodig voor het bevestigen van een bumper. Bij zo’n $20$ % van de auto’s is hij al na $77$ seconden klaar.

Bereken hoe groot de standaardafwijking is.

$σ$ en percentage zijn bekend
De robot die de deuren inzet, heeft daarvoor bij $8$ op de $1000$ auto’s meer dan $105$ seconden nodig. De standaardafwijking van de benodigde tijd bedraagt $4$ seconden.

Bereken hoeveel seconden de robot gemiddeld doet over zijn karwei.

In 1972 spande een groep vrouwen een proces aan tegen een fabriek in Texas die apparaten voor airconditioning produceert. Deze fabriek nam alleen nieuwe personeelsleden in dienst die langer waren dan $170,0$ cm. De vrouwen waren bij hun sollicitatie afgewezen, omdat ze niet aan deze eis voldeden.
De advocaat van de vrouwen benadrukte het discriminerende karakter van de aanstellingsvoorwaarde door te stellen dat $91,0$ % van alle Amerikaanse vrouwen tussen $18$ en $65$ jaar niet lang genoeg was om aangenomen te kunnen worden. Dit percentage ontleende hij aan een onderzoek van het Amerikaanse ministerie van Volksgezondheid.
Neem aan dat de lengte van de Amerikaanse vrouwen in de betreffende leeftijdsgroep normaal verdeeld is met gemiddelde $μ = 160,4$ cm en standaardafwijking $σ$ .

Toon aan dat $σ = 7,2$ cm.

De groep Amerikaanse vrouwen tussen $18$ en $65$ jaar die langer zijn dan $170,0$ noemen we $V$ . De mediaan van de lengte van de vrouwen in $V$ noemen we even $M E D$ .

Hoeveel procent van de vrouwen in $V$ is langer dan $M E D$ ?

Toon aan dat $M E D = 172,6$ cm (uitgaande van $σ = 7,2$ cm en $μ = 160,4$ cm).

De vertegenwoordiger van de fabriek bij het proces noemde het percentage van $91$ sterk overdreven. Het door de tegenpartij aangehaalde onderzoek stamde uit 1948. De gemiddelde lengte van volwassenen was volgens hem in de periode 1948-1972 flink toegenomen. Hij ondersteunde zijn betoog met het resultaat van een recent onderzoek. In een aselecte steekproef van $1000$ vrouwen tussen $18$ en $65$ jaar werd bij $113$ vrouwen een lengte gemeten van meer dan $172,6$ cm.
Neem aan dat de standaardafwijking ongewijzigd is, dus $σ = 7,2$ cm.

Wat is de gemiddelde lengte van de Amerikaanse vrouw volgens dit recente onderzoek?

De advocaat van de vrouwen gaf toe dat het door hem aangehaalde onderzoek wat verouderd was en de gemiddelde lengte van de vrouwen waarschijnlijk was toegenomen. Hij bleef echter benadrukken dat ook in 1972 nog steeds een grote meerderheid van de Amerikaanse vrouwen op grond van hun lengte door het bedrijf zou worden afgewezen.
Stel dat voor 1972 gold: $μ = 164,0$ cm en $σ = 7,2$ cm.

Bereken het percentage Amerikaanse vrouwen in de genoemde leeftijdsgroep dat in 1972 niet lang genoeg was voor een functie bij de fabriek.

Nogmaals IQ
Onderstaande gegevens hebben we al eerder ontmoet. Toen heb je de SD van de normale verdeling uit de grafiek afgelezen. Nu zijn we ook in staat deze te berekenen.Zie opgave 19.

Het gemiddelde IQ is $100$ ; $27 \frac{1}{2}$ % heeft een IQ kleiner dan $90$ .

Laat zien dat hieruit volgt: de standaardafwijking $σ = 16,7$ .

Bereken hoeveel procent van de bevolking in 1938 in staat werd geacht om ten minste de MTS te volgen.

Bereken hoeveel procent in aanmerking kwam voor de HBS, maar niet voor het Gymnasium.

Een vulmachine vult pakken met (ongeveer) $1$ kilogram suiker. Als de machine ingesteld staat op $1000$ gram, zal het werkelijke gewicht van een pak normaal verdeeld zijn met gemiddelde $1000$ gram en standaardafwijking $8$ gram.

Toon aan dat bijna $27$ % van de pakken een gewicht heeft van $995$ gram of minder.

De EU-voorschriften betreffende vulgewichten zijn in Nederland vastgelegd in het zogenaamde Hoeveelheidsaanduidingenbesluit (de Warenwet). De bedoeling van deze normen is dat de consument niet onaangenaam verrast wordt door een artikel waar veel minder in zit dan er op de verpakking staat. De fabrikanten die zich aan deze normen houden, tonen dat door op de verpakking aan de inhoudsopgave de letter “e” toe te voegen.
In deze voorschriften worden de volgende begrippen gebruikt:

nominale hoeveelheid: de hoeveelheid die op het pak vermeld staat (dus bijvoorbeeld 1 kg suiker),
fout in minus: de hoeveelheid die de werkelijke inhoud kleiner is dan de nominale hoeveelheid.

Artikel 3 van de voorschriften zegt nu ongeveer het volgende:

de werkelijke hoeveelheid mag gemiddeld niet kleiner zijn dan de nominale hoeveelheid,
bij een statistische controle (steekproef) mag hoogstens 2% van de pakken een hoeveelheid bevatten die een grotere fout heeft dan de toegelaten fout in minus

Zie de tabel hieronder.

Lees af hoe groot de toegelaten fout in minus is van een $1 \frac{1}{2}$ -literfles cola. En van een blikje cola van $33$ cl.

Pakken koffie worden machinaal gevuld door een machine die bij elke ingestelde hoeveelheid een standaardafwijking heeft van $5$ gram. Neem aan dat de gemiddelde hoeveelheid koffie in een pak gelijk is aan de ingestelde hoeveelheid. We bekijken de pondspakken ( $500$ gram).

Bereken op welke hoeveelheid de machine moet worden ingesteld als aan beide eisen van artikel 3 voldaan moet worden.

Naast pondspakken zijn er ook nog halfpondspakken in de handel. Ook deze pakken moeten aan de EU-normen voldoen.

Onderzoek of de fabrikant bij halfpondspakken meer, minder of evenveel koffie verbruikt per nominaal gewicht van $1$ kg vergeleken met pondspakken

Batterijen
De research afdeling van een fabriek heeft een nieuw type batterij ontwikkeld, dat bijzonder geschikt is voor het aandrijven van speelgoedmotortjes. Neem aan dat op elke productiedag de levensduur van de die dag geproduceerde batterijen normaal verdeeld is met een standaardafwijking van $50$ minuten. Het gemiddelde $μ$ in minuten is afhankelijk van een aantal factoren in het fabricageproces. Omdat de fabrikant in reclameboodschappen beweert dat zijn batterijen erg lang meegaan, wil hij er voor zorgen dat hoogstens $7$ % van de batterijen uit een dagproductie een levensduur heeft van minder dan $8 \frac{1}{2}$ uur.

Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van $μ$ waarvoor dit nog het geval is.

Een controleur merkt dat bij het wisselen van een serie batterijen per ongeluk twee nieuwe batterijen bij een groepje van tien lege terecht zijn gekomen. Omdat aan de buitenkant niet zichtbaar is welke de nieuwe zijn, zit er niets anders op dan de batterijen een voor een door te meten totdat de twee nieuwe zijn teruggevonden.

Bereken de kans dat hij in totaal vier van de twaalf batterijen moet doormeten

Zijn jongens slimmer dan meisjes of omgekeerd? Er is veel onderzoek gedaan naar eventueel verschil in intelligentie van jongens en meisjes. De resultaten spreken elkaar soms tegen; bovendien ligt het onderwerp politiek en sociaal gevoelig. Op Wikipedia is onder andere te vinden: Analysing data from the international PISA student evaluation study, Machin and Pekkarinen found higher variance in boys' than girls' results on mathematics and reading tests in most OECD countries…. en A study by Rosalind Arden and Robert Plomin from 2006 found greater variance among boys than among girls.
Laten we eens van het volgende uitgaan:

het IQ van jongens is normaal verdeeld met gemiddeld $100$ ,
het IQ van meisjes is normaal verdeeld met gemiddelde $100$ ,
de standaardafwijking van het IQ van jongens is $16$ , die van het IQ van meisjes is $14$ .

Schets de normale krommen van de IQ’s in één figuur.

Het valt op dat er bij w4kangoeroe veel meer jongens onder de prijswinnaars zijn dan meisjes. Neem maar aan dat er evenveel jongens als meisjes meedoen aan w4kangoeroe.
Gezien bovenstaande is het logisch dat er meer jongens onder de prijswinnaars zijn.

Leg dat uit.

Stel dat je $500$ jongens en $500$ meisjes hebt.

Hoeveel jongens en hoeveel meisjes hebben een IQ boven $128$ ?

Hoeveel procent van de leerlingen met een IQ boven $128$ is jongen?