6.6 Binomiale kansexperimenten >

Hoofdstukken > Kansen_2

Als er landelijke verkiezingen op komst zijn, worden enquêtebureaus actief: ze proberen de uitslag te voorspellen. Meestal zijn de enquêtebureaus het onderling eens, maar soms verschillen hun voorspellingen aanzienlijk. In Nederland zijn het NIPO en Ipsos de bekendste enquêtebureaus. Om aan hun voorspellingen te komen, ondervragen ze een groot aantal personen, vaak telefonisch. Ze bellen aselect gekozen mensen op die stemrecht hebben.

Een enquêtebureau voorspelde bij de vorige Tweede- Kamerverkiezingen het stemgedrag van de Nederlanders. Daartoe belde het bureau $1500$ 0 mensen op met de vraag of ze zouden gaan stemmen, en zo ja op welke partij.
Achteraf bleek de opkomst $80$ % te zijn ( $80$ % van de stemgerechtigden was gaan stemmen).

Hoeveel niet-stemmers kun je zo ongeveer verwachten op het totaal van $1500$ ondervraagden?

Een enquêteur ondervroeg achtereenvolgens drie mensen.

Hoe groot is de kans dat hij van alle drie te horen kreeg dat ze niet zouden gaan stemmen?

Bereken ook de kans op $0$ , op $1$ en op $2$ niet-stemmers.

Controleer of de som van de vier kansen $1$ is.

De enquêteur van opgave 66 ondervroeg zeven mensen. Een stemmer noteerde hij als S, een niet-stemmer als N.
Een mogelijk resultaat is SSNNSSN.

Bereken de kans hierop.
Wat is de kans op het resultaat NNSSSNS?
Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er op drie nietstemmersen vier stemmers?

Bereken de kans op drie niet-stemmers en vier stemmers.

Bereken de kans dat twee van de zeven ondervraagden niet-stemmers waren.

We gaan verder met de enquêteur van opgave 67 die zeven stemgerechtigden ondervroeg.

In het plaatje hierboven kun je aflezen hoe groot de kans is dat de enquêteur $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ of $7$ niet-stemmers aantreft. Zo'n plaatje is een kanshistogram.

Controleer in het kanshistogram je antwoord op de vragen b en c van de vorige opgave.

Je ziet in het kanshistogram dat de enquêteur de grootste kans heeft om $1$ of $2$ niet-stemmers aan te treffen.

Was dat te verwachten?

De kansen op $6$ en op $7$ niet-stemmers lijken in het kanshistogram $0$ te zijn. In werkelijkheid is dat niet zo. De kansen zijn zo klein dat ze met deze schaalverdeling niet meer van $0$ zijn te onderscheiden.

Bereken de kans op $6$ niet-stemmers.

We kunnen ook letten op het aantal mensen onder de zeven ondervraagden die wel stemmers waren.

Wat is de kans op $5$ stemmers?

Teken het kanshistogram voor het aantal stemmers.

De enquête van opgave 67 en 68 is een voorbeeld van een speciaal soort kansexperiment:

per ondervraagde zijn er twee uitkomsten: S en N,
de kans op S is voor elke ondervraagde hetzelfde, namelijk $0,8$ ,
de ondervraging wordt een aantal keer herhaald.

Dit soort kansexperimenten komt vaak voor.

Zeg bij elk van de volgende kansexperimenten:

wat de twee mogelijke uitkomsten zijn,
wat de kans is elk van deze twee uitkomsten,
hoeveel herhalingen er zijn.

Hoeveel zessen je gooit met $10$ dobbelstenen.

Hoeveel jongetjes er geboren worden bij $15$ bevallingen.

Hoeveel goede antwoorden je hebt als je bij een multiple- choice-test zeven driekeuzevragen beantwoordt.

Hoe vaak je $2$ kop gooit in een serie van $20$ worpen met twee munten.

Een roulette tafel heeft $18$ rode vakjes, $18$ zwarte vakjes en $1$ groen vakje.

Hoeveel keer het balletje bij $20$ keer draaien op de roulettetafel op rood komt.

Een geneesmiddel werkt bij $90$ % van de patiënten.

Hoeveel van tien patiënten die het geneesmiddel gebruiken er baat bij hebben.

Jacob Bernoulli 1654-1705
hoogleraar wiskunde te Basel

In 1713 verscheen het eerste leerboek over kansrekening: 'Ars conjectandi' van Jacob Bernoulli, wat betekent 'de kunst van het gissen'. Hierin staat een studie van dit soort kansexperimenten. Een experiment waarbij je maar twee uitkomsten hebt, wordt dan ook wel een Bernoulliexperiment genoemd. De ene uitkomst heet wel 'succes', de andere 'mislukking'.
Als je een Bernoulli-experiment een aantal keer (onafhankelijk van elkaar) herhaalt, heb je een zogenaamd binomiaal kansexperiment.
'Binomiaal' betekent letterlijk 'tweetermig'.

Een binomiaal kansexperiment is dus een kansexperiment dat 'vertaald' kan worden naar een vaas met balletjes in twee kleuren. Daaruit pak je aselect met terugleggen een aantal balletjes. Je telt het aantal balletjes die je gepakt hebt van een van de kleuren.

Opgave 67 en 68 gingen over een binomiaal kansexperiment: kans op succes is $0,8$ ; aantal herhalingen is $7$ .
In opgave 69 staan nog zes voorbeelden van een binomiaal kansexperiment.

Verzin zelf minstens vijf voorbeelden. Vermeld bij elk voorbeeld de kans op succes en het aantal herhalingen. (Je kunt voorbeelden halen uit de schoolwereld, sport of spel, de gezondheid, de misdaad, het weer, enzovoort.)

Een zeker binomiaal kansexperiment bestaat uit $18$ herhalingen, elk met succeskans $\frac{2}{7}$ .
Dan is de kans op $6$ successen: $(\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{2}{7})}^{6} \cdot {(\frac{5}{7})}^{12}$ .
Hierin is ${(\frac{2}{7})}^{6} \cdot {(\frac{5}{7})}^{12}$ de kans op eerst $6$ successen en daarna $12$ mislukkingen (in die volgorde) en is $(\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix})$ het aantal volgordes voor $6$ successen en $12$ mislukkingen.

Noem het aantal keren succes $S$ , dan noteren we bij dit experiment de kans op $6$ keer succes als: $P (S = 6 | p = \frac{2}{7}; n = 18)$ .

Een multiple-choicetest bestaat uit tien vragen, elk met vier antwoordmogelijkheden. Een leerling maakt de test volledig op de gok. $S$ is het aantal vragen dat hij goed beantwoordt.

Schrijf de kans op $3$ goede antwoorden in de notatie hierboven en bereken die kans.

Op een dag worden in een ziekenhuis negen kinderen geboren. $S$ is het aantal meisjes. De kans op een meisje is $\frac{1}{2}$ .

Schrijf de kans op $6$ meisjes in de notatie hierboven en bereken die kans.

Een bord van Galton heeft vijf rijen pinnen. Een kogeltje dat bovenaan wordt losgelaten raakt op elke rij een pin. Bij elke pin heeft het kogeltje evenveel kans om naar links als om naar rechts te vallen.

Bereken de kans dat het kogeltje in bak C terecht komt.

Neem nu aan dat bij elke pin het kogeltje kans $0,7$ heeft om naar rechts te vallen.

Bereken de kans dat het kogeltje in bak E terecht komt.

In welk bakje verwacht je in de situatie van onderdeel b dat de meeste kogeltjes terecht zullen komen? Licht je antwoord toe.

Een binomiaal kansexperiment heeft vijf herhalingen, elk met succeskans $0,3$ . $S$ is het aantal successen. We maken een kanstabel:

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P (S = k)$	$0,1681$	$0,3602$

Controleer de kansen die al zijn ingevuld.

Bereken de ontbrekende kansen.

Maak een kanshistogram, waarbij horizontaal het aantal successen wordt uitgezet.

Bij korfbaltraining probeert iemand vanaf de strafworpstip de bal door de korf te werpen. Op grond van zijn vroegere prestaties weten we dat hij bij elke poging $S$ % kans heeft om raak te schieten. Het aantal treffers noemen we $S$ . Schrijf de volgende kansen in de gedaante $P (S = \dots) = (\begin{array}{l} \dots \\ \dots \end{array}) \cdot {(\dots)}^{\dots} \cdot {(\dots)}^{\dots}$ ; je hoeft de kansen niet uit te rekenen.

De kans op drie treffers bij vijf pogingen.

De kans op drie treffers bij twaalf pogingen.

De kans op $k$ treffers bij $n$ pogingen.

Binomiale kansen kun je ook op de GR berekenen.

Zoek uit hoe dat op jouw machine werkt en bereken de kansen van opgave 74a en b.

Opmerking:

Een binomiaal experiment hangt van twee zogenaamde parameters:

de kansparameter $p$ , de kans op succes,
het aantal herhalingen $n$ .

In opgave 74a is $n = 5$ en in opgave 74b is $n = 12$ ; in elke van de twee onderdelen geldt: $p = 0,45$ .

Stel dat een gezin elf kinderen heeft.

Wat is de kans dat de oudste 5 meisjes zijn en de jongste 6 jongens? Is de kans die naast de foto vermeld staat correct?

Bereken de kans dat het gezin in totaal vijf meisjes telt.

In een vaas zitten vijf rode en tien witte ballen. Er worden drie ballen uit de vaas genomen.

Bereken de kans op twee witte ballen, als er met terugleggen wordt gepakt.

Dezelfde vraag zonder terugleggen.

In welk van deze twee gevallen is het experiment binomiaal?

We veranderen de inhoud van de vaas: $1$ rood en $2$ wit.

Maakt dat iets uit voor de kansen bij het binomiale kansexperiment? En bij het andere kansexperiment?

De deltawerken zijn uitgevoerd om een herhaling van de watersnoodramp van 1953 te voorkomen. De bekroning van de deltawerken is de Oosterscheldedam. Deze pijlerdam bestaat uit een serie van $62$ gigantische schuiven, opgehangen tussen $65$ pijlers, die bij zwaar weer worden neergelaten. Dan dienen ze als stormvloedkering. Elk van de schuiven wordt onafhankelijk van de andere bestuurd door een computer. De stormvloed wordt alleen maar gekeerd als alle $62$ schuiven neergelaten zijn. Wanneer een schuif niet gesloten wordt, gaat het mis. De kracht van het water kan dan het hele bouwwerk ruïneren. Gelukkig is de kans dat een individuele schuif niet werkt erg klein.

Hoe groot is de kans dat het mis gaat, als de kans 1% is dat een individuele schuif niet werkt?

Volgens de bouwers van de dam is de kans dat een individuele schuif niet werkt $1$ op $1000$ .

Is dat voor de Zeeuwen een geruststellende mededeling?

Een binomiaal kansexperiment heeft twintig herhalingen. Hieronder staat het kanshistogram van het aantal successen $S$ (dat is horizontaal uitgezet).

Heb je een vermoeden hoe groot de kans op succes ongeveer is (in één decimaal)?

Gegeven is dat $P (S = 17) = 0,1901$ .

Controleer hiermee of je vermoeden juist is.

Bepaal met het kanshistogram hoe groot $P (S \geq 18)$ ) ongeveer is.

Hieronder staan kanshistogrammen van vier binomiale kansverdelingen. Steeds is het aantal herhalingen tien. De succeskansen p staan bij de histogrammen vermeld.

Zoek bij elk histogram het aantal successen met de grootste kans. Zijn die aantallen logisch?

Welke histogrammen zijn elkaars spiegelbeeld? Kun je dat verklaren?

Bij welke succeskans is het kanshistogram symmetrisch?