Twee manieren
1

Bij het kaartspel toepen worden alleen de kaarten B, V, H, A, 7, 8, 9, 10 gebruikt van elk van de kleuren schoppen, harten, ruiten en klaveren. De 10'en zijn de hoogste kaarten; het is gunstig als je veel 10'en hebt.
Jan speelt het spel en krijgt vier willekeurige kaarten uit de 32 kaarten.

Bereken de kans dat Jan precies twee 10'en krijgt.
Als je er niet uitkomt, geen nood. In de volgende twee opgaven gaan we hier verder op in.

2

Manier 1: met een kansboom
Vervolg van opgave 33.

a

Maak een kansboom bij het probleem van opgave 33. Schrijf bij de takken de kansen.

b

Wat is de kans op precies twee 10'en?

3

Manier 2: door te tellen
Vervolg van opgave 33 en 34.

a

Hoeveel combinaties zijn er van vier uit de 32 kaarten?

b

Hoeveel “gunstige” combinaties zijn er, dat wil zeggen bij hoeveel grepen zijn er twee 10'en en twee niet-10'en?

c

Wat is de kans op precies twee 10'en?

Voorbeeld:

Dit is een voorbeeld van “trekken zonder terugleggen”.
Je krijgt vier kaarten uit een pak van 32 . De eerste kaart die je krijgt wordt niet teruggelegd; de tweede kaart komt dus uit een stapel van 31 kaarten. Ook die tweede kaart wordt niet teruggelegd, enzovoort.

  • Manier 1
    Er zijn zes verschillende volgordes om twee 10’en te krijgen. De kansen op elk van deze zes manieren blijken hetzelfde te zijn, namelijk 4 32 3 31 28 30 27 29 = 756 71.920 .
    De gevraagde kans is dus 6 756 71.920 0,063 .

  • Manier 2
    Je moet twee van de vier 10’en krijgen en twee van de achtentwintig niet-10’en.
    Er zijn ( 4 2 ) ( 28 2 ) = 2268 viertallen waarbij dat het geval is. In totaal zijn er ( 32 4 ) = 35.960 viertallen.
    De gevraagde kans is dus 2268 35.960 0,063 .

Bij grotere grepen (van bijvoorbeeld tien kaarten in plaats van vier) is de tweede manier handiger dan de eerste.

Combinatiegetallen

Bij de tweede manier werk je met combinatiegetallen. Het aantal verschillende combinaties van r dingen uit een verzameling van n dingen is het combinatiegetal r uit n ”. Dit wordt wel genoteerd met ( n r ) , uitspraak n boven r . Op de GR heet dat nCr. We gaan eerst de kennis over combinatiegetallen ophalen.

4

We gaan ter herinnering enkele combinatiegetallen uit het hoofd uitrekenen.
Stel er liggen acht verschillende dingen op tafel.

a

Hoeveel verschillende grepen van twee dingen kun je hieruit doen?

Dat is dus ( 8 2 ) .

b

Bereken ( 8 1 ) en ( 8 7 ) .

c

Bereken ( 8 6 ) .

d

Bereken ( 8 8 ) .

e

Als je weet dat ( 8 3 ) = 56 , welk ander combinatiegetal weet je dan ook?

0 dingen uit 8 pakken is misschien raar. Maar er is een goede reden om af te spreken dat ( 8 0 ) = 1 .

f

Kun jij die bedenken?

g

Hoe groot zijn (voor elke n ): ( n 0 ) , ( n 1 ) , ( n n 1 ) , ( n n ) ?

Onderdeel e is een voorbeeld van een algemener verband: ( n r ) = ( n ... ) .

h

Welk verband?

5

Als nieuw lid van de boekenclub mag je gratis drie boeken kiezen uit een lijst van tien. De eerste vier zijn boeken met prachtige platen in kleur, de andere zes zijn romans. Je kiest willekeurig drie boeken uit de tien, dat wil zeggen dat alle drietallen boeken even waarschijnlijk zijn.

a

Bereken de kans dat je 1 platenboek kiest en 2 romans.

Bereken ook de kans op:

b
  • 3 platenboeken,

  • 2 platenboeken en 1 roman,

  • 3 romans.

c

Hoe kun je je vier antwoorden op a en b controleren?

6

Uit een klas van tien jongens en twaalf meisjes wordt een afvaardiging van zes leerlingen gekozen. We nemen aan dat de leerlingen gelijke kans hebben om gekozen te worden.

Hoe groot is de kans dat er evenveel meisjes als jongens gekozen worden? Schrijf je antwoord met behulp van combinatiegetallen en bereken de uitkomst.

Trekken zonder terugleggen

Veel opgaven in deze paragraaf komen hierop neer: je hebt een populatie waarbij de leden een eigenschap wel of niet hebben; hieruit wordt een aantal gepakt; X is het aantal dat gepakt wordt dat de eigenschap wel heeft.
Dit is hetzelfde als trekken zonder terugleggen van een aantal ballen uit een doos met witte en zwarte ballen. Dat het zonder terugleggen is, herken je zo: de kans dat de tweede bal wit is, hangt af van de kleur van de eerste bal.

De kansverdeling van X wordt een hypergeometrische verdeling genoemd.

Voorbeeld:

In een doos zitten tien ballen, vier witte en zes zwarte. Iemand trekt zonder terugleggen vijf ballen uit die doos. X is het aantal witte ballen in die greep.
Dan geldt: P ( X = 2 ) = ( 4 2 ) ( 6 3 ) ( 10 5 ) = 10 21 .

7

Van de vijfentwintig leerlingen van V5A hebben er vijf hun huiswerk niet gemaakt. De leraar kiest willekeurig vier leerlingen uit de klas. Van deze vier leerlingen hebben er X hun huiswerk niet gemaakt.

a

Bereken P ( X = 4 ) en P ( X = 3 ) .

Van de vier leerlingen die aan de tand gevoeld werden, hadden er drie hun huiswerk niet gemaakt.

b

Wat denk je, zou de leraar de vier leerlingen wel willekeurig gekozen hebben?

8

In een vaas zitten vier witte en drie zwarte ballen. Zonder terugleggen wordt uit die vaas steeds een bal gepakt, totdat er drie witte ballen gepakt zijn. X is het aantal trekkingen dat daarvoor nodig is.

a

Welke waarden kan X aannemen?

De trekking wwzw (w staat voor wit, z voor zwart) geeft de uitkomst X = 4 .

b

Schrijf alle trekkingen op die de uitkomst X = 4 geven.

Stel dat een trekking de uitkomst X = 4 geeft.

c

Hoeveel witte zijn er bij de eerste drie ballen? Wat is de kleur van de vierde bal?

d

Ga na: P ( X = 4 ) = 9 35 .

e

Wat zijn de twee kenmerkende eigenschappen voor een trekking die X = 5 geeft?

f

Ga na: P ( X = 5 ) = 12 35 .

Met meerdere mogelijkheden
9

Voor het schoolfeest heeft de leerlingenvereniging flink wat frisdrank ingekocht. In één van de kratten zitten zes flessen cola, vier flessen seven-up en twee flessen spa. In het donker, en daardoor aselect, pakt iemand drie flessen uit het krat.

a

Hoe groot is de kans dat hij twee flessen cola en één fles spa pakt?

b

Hoe groot is de kans dat twee van de drie flessen cola zijn?

c

Bereken op twee manieren de kans dat het drie flessen van dezelfde soort zijn.

d

Bereken ook op twee manieren de kans dat hij van elke soort één fles pakt.

10

Een spel kaarten bestaat uit 13 schoppen-, 13 harten-, 13 ruiten- en 13 klaverenkaarten. Ad speelt bridge en krijgt dertien kaarten uit het spel van 52 kaarten. Als hij van een kleur 4 kaarten krijgt en van de andere drie kleuren 3 kaarten, spreken we van een vlakke verdeling.

a

Wat is de kans dat Ad 3 klaveren-, 3 ruiten-, 3 harten- en 4 schoppenkaarten krijgt?

b

Bereken de kans op een vlakke verdeling.

11

We maken rijtjes van lengte 8 bestaande uit 0 'en, 1 'en en 2 'en.

a

Hoeveel van die rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

b

Hoeveel van die rijtjes bevatten geen 0 'en?

We gaan berekenen hoeveel rijtjes er zijn met twee 0 'en, vijf 1 'en en één 2 . Daarvoor gebruiken we een vaas met de ballen genummerd 1 tot en met 8 . Eerst trekken we uit de vaas twee getallen die de plaatsen voor de twee 0 'en aangeven. Vervolgens trekken we uit de vaas – waar dan nog zes ballen in zitten – vijf getallen die de plaatsen voor de vijf 1 'en aangeven. Het getal dat over blijft geeft de plaats voor de 2 aan.

Stel dat je eerst de nummers 3 en 6 trekt en vervolgens de nummers 1 , 2 , 5 , 7 en 8 .

c

Welk rijtje krijg je dan?

d

Op hoeveel manieren kun je de twee plaatsen voor de 0 'en trekken?
Op hoeveel manieren kun je vervolgens de vijf plaatsen voor de 1 'en trekken?
Hoeveel rijtjes zijn er dus in totaal met twee 0 'en, vijf 1 'en en één 2 ?

Je kunt ook eerst de plaats voor de 2 trekken en daarna de twee plaatsen voor de 0 'en.

e

Op hoeveel rijtjes kom je dan in totaal uit?

f

Bereken op nog een derde manier het aantal rijtjes met twee 0 'en, vijf 1 'en en één 2 .

g

Bereken het aantal rijtjes van lengte 10 met één 0 , twee 1 'en, drie 2 'en en vier 3 'en.

Er zijn ( 7 2 ) ( 5 3 ) ( 2 1 ) rijtjes van lengte 7 met twee 0 ’en, drie 1 ’en, één 2 en één 3 .
Als je eerst de drie 1 'en aanwijst, dan de 2 en dan de twee 0 'en, vind je voor dit aantal: ( 7 3 ) ( 4 1 ) ( 3 2 ) .

12

Bij Scrabble heeft iemand 3 keer de letter A, 2 keer de letter N en 1 letter S.
Door de letters achter elkaar op zijn plankje te leggen, vormt hij een "woord" (dat niet in het woordenboek hoeft voor te komen; het hoeft ook niet uitspreekbaar te zijn: de letters mogen dus in een willekeurige volgorde staan).

a

Hoeveel "woorden" kan hij vormen?

Veronderstel dat de letters in een willekeurige volgorde op het plankje staan.

b

Wat is dan de kans dat er het woord ANANAS staat?

Het woord MISSISSIPPI telt één M, vier I's, vier S'en en twee P's.

c

Hoeveel verschillende “woorden” kun je met de elf letters vormen?

d

Als je de letters in een willekeurige volgorde zet, wat is dan de kans dat er het woord MISSISSIPPI staat?