1

Op een draaiwiel staan, elk in een sector van 36 ° , de cijfers 0 , 1 , ..., 9 . Dit wiel wordt zes keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans:

a

op zes verschillende cijfers?

b

op zes keer hetzelfde cijfer?

c

dat er geen 8 bij is?

d

dat er minstens één 8 bij is?

e

dat alleen de eerste twee cijfers 8 zijn?

f

dat er precies twee cijfers 8 bij zijn?

g

dat er precies twee cijfers 8 zijn die bovendien na elkaar komen?

(hint)

Schrijf eens een aantal van die rijtjes op.

2

Bij een ander draaiwiel is de successector 144 ° .

a

Hoe groot is bij één keer draaien van dat wiel de kans op succes?

Dat wiel wordt vijf keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans op:

b

vijf keer succes?

c

de eerste vier keer succes en de vijfde keer pech?

d

vier keer succes en één keer pech?

e

de eerste drie keer succes en de laatste twee keer pech?

f

drie keer succes en twee keer pech?

3

In een doos zitten acht ballen, waarvan er vijf rood zijn. Uit die doos nemen we blindelings met terugleggen drie keer een bal.

a

Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is en de andere ballen niet?

b

Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is?

X is het aantal rode ballen in deze steekproef.

c

Maak een tabel van de kansverdeling van X .

d

Ga na dat de som van deze kansen 1 is.

e

Beschrijf het draaiwiel waarmee dit experiment te simuleren is.

4

Er wordt vijf keer met een dobbelsteen gegooid.

a

Bereken de kans dat alleen de eerste twee worpen zes wordt gegooid.

b

Bereken de kans dat alleen de tweede en de vierde keer zes wordt gegooid.

c

Bereken de kans dat er precies twee keer zes wordt gegooid.

Noem het aantal keren dat zes wordt gegooid Z .

d

Maak een tabel van de kansverdeling van Z .

e

Controleer of de som van de kansen (ongeveer) 1 is.

f

Beschrijf het draaiwiel waarmee het gooien met deze dobbelsteen te simuleren is.

Veel opgaven in deze paragraaf zijn wiskundig gezien hetzelfde. Bij een experiment zijn er twee mogelijke uitkomsten: “succes” en “mislukking”. Dit experiment wordt n keer (onafhankelijk van elkaar) herhaald, steeds met dezelfde kans op succes p .
Elk rijtje met precies k successen heeft kans p k ( 1 p ) n k en er zijn ( n k ) van zulke rijtjes.
De kans op k successen is dus: ( n k ) p k ( 1 p ) n k .
Noemen we het totaal aantal successen X , dan is P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 p ) n k .
We zeggen dat X binomiaal verdeeld is.

Binomiaal betekent letterlijk tweetermig. Dat heeft te maken met het feit dat er twee alternatieven zijn: succes en mislukking.

Voorbeeld:

Bij 5 herhalingen, steeds met succeskans 0,4 , is de kans op 2 successen:
( 5 2 ) 0,4 2 0,6 3 .
Op de GR kun je ook binomiale kansen uitrekenen. De kans hierboven kun je op de TI berekenen met Binompdf(5, 0.4, 2) en op de Casio met BinomialPD(2, 5, 0.4).
De afkorting pdf staat voor probability distribution function.

5

Een poes heeft zes jongen gekregen.

a

Hoe groot is de kans dat er evenveel katers als poezen zijn?

b

Hoe groot is de kans dat er meer katers dan poezen zijn?

c

Hoe groot is de kans dat er zowel katers als poezen zijn?

6

Een spel bevat negen identieke dobbelstenen. Elke dobbelsteen heeft twee zijvlakken met een rondje, twee met een kruis en twee met een vierkant. Hiernaast is een uitslag van zo’n dobbelsteen getekend. Men werpt de negen dobbelstenen tegelijk en kijkt dan welke figuren boven liggen.

a

Bereken de kans op allemaal gelijke figuren.

b

Bereken de kans op precies drie rondjes.

c

Bereken de kans op drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten.

Volgens de kans bij c treedt gemiddeld bij ongeveer één op 12 worpen (met negen dobbelstenen) de mooie configuratie met drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten op.

d

Bereken de kans dat dit in 12 worpen precies één keer gebeurt.

7

Een kolom van het totoformulier vul je in door bij elk van de dertien wedstrijden één van de hokjes 1 , 2 of 3 aan te kruisen. ( 1 betekent "de thuisspelende club wint", 2 betekent "de uitspelende club wint" en 3 betekent "gelijkspel".) Neem aan dat elke wedstrijd met kans 1 3 goed voorspeld wordt. Johan vult één kolom in.

a

Bereken de kans dat hij er precies vijf juist voorspelt.

b

Bereken de kans dat hij geen enkele wedstrijd juist voorspelt.

Als je alle 13 wedstrijden goed voorspelt, dan win je de Jackpot. Bij 12 goed win je de tweede prijs en bij 11 goed de derde prijs. Bij minder dan 11 goede voorspellingen win je niets.

c

Bereken de kans dat Johan een prijs wint.

8

Van de penalty's bij voetballen in de eredivisie wordt 70 % benut, wordt 20 % door de keeper gestopt en wordt 10 % over of naast geschoten.

a

Wat is de kans dat van de eerstvolgende 10 penalty's er precies 3 gemist (= niet benut) worden?

Je hebt gehoord dat er afgelopen weekend liefst 7 penalty's werden gemist.

b

Bereken de kans dat er daarvan precies 4 door de keeper werden gestopt.

Er zijn op een avond maar twee wedstrijden gespeeld. Je hebt gehoord dat er die avond liefst 7 penalty's zijn gegeven. Neem aan dat elke club met dezelfde kans een penalty krijgt.

c

Bereken de kans dat precies 4 van de penalty's aan eenzelfde club werden gegeven.

9

In het seizoen 2009-2010 werden in de eredivisie 306 wedstrijden gespeeld. Daarvan werden er 153 gewonnen door de thuisclub, 91 werden verloren door de thuisclub en 62 eindigden in een gelijkspel. Op grond van deze aantallen mag je wel zeggen dat een willekeurige thuisclub met 50 % kans wint, met 30 % kans verliest en met 20 % kans gelijkspeelt. Neem aan dat deze percentages ook dit seizoen gelden. We kijken naar de negen eredivisiewedstrijden in een bepaald weekend.

a

Bereken de kans dat vier van de negen wedstrijden worden gewonnen door de thuisclub.

b

Bereken de kans dat de thuisclubs vier wedstrijden winnen en er drie verliezen en dat twee wedstrijden eindigen in een gelijkspel.

c

Bereken de kans dat geen enkele wedstrijd eindigt in een gelijkspel.

d

Bereken de kans dat drie wedstrijden eindigen in winst voor de thuisclub, drie in verlies voor de thuisclub en drie in een gelijkspel.

10

Rikken wordt gespeeld met een volledig spel van 52 kaarten. Elk van de vier spelers krijgt bij deling 13 kaarten. We letten op de verdeling van de 4 azen over de spelers. De kans dat elk van de spelers één aas krijgt is ongeveer 0,1055 . We zeggen dat de azen dan “rond zitten”. We bekijken de verdeling van de azen in 10 opeenvolgende spellen.

a

Bereken de kans dat de azen precies één keer rond zitten.

b

Bereken de kans dat de azen hoogstens twee keer rond zitten.

c

Bereken de kans dat de azen minstens twee keer rond zitten.

11

De azen kunnen bij Rikken op vijf manieren over de vier spelers verdeeld zijn. De eerste manier is de 1 - 1 - 1 - 1 -verdeling (elke speler heeft één aas) met kans 0,1055 , de tweede manier is de 2 - 1 - 1 - 0 -verdeling met kans 0,5843 , de derde manier is de 3 - 1 - 0 - 0 -verdeling met kans 0,1648 , de vierde manier is de 2 - 2 - 0 - 0 -verdeling met kans 0,1348 en de vijfde manier is de 4 - 0 - 0 - 0 -verdeling (één speler heeft alle azen) met kans 0,01056 . We bekijken weer de verdeling van de azen in 10 opeenvolgende spellen.

a

Bereken de kans dat bij vier spellen de azen bij hoogstens twee spelers zitten.

b

Bereken de kans dat bij minstens één spel de azen bij één speler zitten.

c

Bereken de kans dat de tweede manier hoogstens drie keer voorkomt.

d

Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer en de derde manier twee keer.

e

Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer, de derde manier één keer en de vierde manier één keer.

Als X het aantal azen is dat een van de spelers krijgt, dan staat P ( X 3 ) voor de som van de kansen: P ( X = 0 ) , P ( X = 1 ) , P ( X = 2 ) en P ( X = 3 ) . We noemen P ( X 3 ) een cumulatieve kans. Cumulatief betekent bij elkaar opgeteld, opstapelend.

Cumulatieve kansen bij een binomiaal kansexperiment kun je ook met de GR berekenen.
Bijvoorbeeld de kans van opgave 54b is op de TI te berekenen met Binomcdf(10, 0.1055, 2) (cdf staat voor cumulative distribution function). En op de Casio kan deze kans worden berekend met BinomialCD(2, 10, 0.1055).

Opmerking:

Merk op dat op de TI alleen binomiale kansen van het type P ( X = k ) of P ( X k ) kunnen worden berekend. Met behulp van het feit dat de som van de kansen gelijk is aan 1 kunnen ook andere binomiale kansen worden berekend. Zo is bijvoorbeeld P ( X 8 ) = 1 P ( X 7 ) en P ( X > 12 ) = P ( X 13 ) = 1 P ( X 12 ) .
De Casio kan wél kansen van de vorm P ( k X m ) berekenen in menu '2 Statistics'.

12

Een binomiaal kansexperiment heeft 14 herhalingen en succeskans 0,3 . X is het aantal successen.
Bereken met de GR de volgende kansen:

a

P ( X 7 )

b

P ( X < 8 )

c

P ( 1 < X < 5 )

d

P ( 3 X 10 )

13

We werpen tien keer met een dobbelsteen en letten op het aantal zessen in die tien worpen.

Hoe groot is de kans dat er minstens drie zessen bij zijn?

14

Zo'n 10 % van de auto's die over de Nederlandse wegen razen, heeft technische gebreken. Regelmatig worden door de politie uitgebreide technische keuringen uitgevoerd langs de kant van de autoweg.

De politie controleert op zekere dag 250 auto's.

a

Hoe groot is de kans dat er bij meer dan dertig auto's gebreken worden geconstateerd?

Gemiddeld 1 op de 500 auto's is zo gammel dat hij van de weg wordt gehaald en naar de sloper gebracht.

b

Hoe groot is de kans dat bij 250 controles er minstens één auto rijp is voor de sloop?

Het Nederlandse wagenpark telt zo'n 7 miljoen automobielen. Als de verkeerspolitie 250 verschillende auto's uitkiest, dan wil dat zeggen, dat ze eigenlijk werkt zonder terugleggen. Omdat de populatie waaruit getrokken wordt zo groot is, maakt het nauwelijks uit of de trekking met of zonder terugleggen gebeurt. In de volgende opgave bekijken we wat het verschil is bij relatief kleine en bij relatief grote populaties.

15

Uit een vaas met 5 witte en 10 rode ballen worden 3 ballen getrokken. We willen de kans op twee witte ballen weten.

a

Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in vier decimalen.

b

Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in vier decimalen.

Uit een vaas met 50 witte en 100 rode ballen worden 3 ballen getrokken. We willen weten wat de kans is op 2 witte ballen.

c

Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in zes decimalen.

d

Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in zes decimalen.

e

Wat valt je op?

Hypergeometrisch binomiaal
Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt (binomiaal). En dat is vaak handiger.

16

Bij een eerlijke munt zijn de kansen op "kop" en "munt" gelijk. Je mag dus verwachten dat in ongeveer 50 % van de worpen "kop" zal worden gegooid. De kans is groot dat het aantal keer kop ten minste 40 % en ten hoogste 60 % van het aantal worpen is.

We doen 10 worpen.

a

Bereken de kans dat het aantal keer "kop" ten minste 40 % en ten hoogste 60 % van het aantal worpen is.

b

Dezelfde vraag voor 20 worpen, voor 50 worpen en voor 100 worpen.

Hoe groter het aantal worpen, des te groter de kans dat het aantal keer "kop" tussen de 40 % en 60 % ligt.

c

Kun je dat verklaren?

17

Bij een landelijk onderzoek is gebleken dat 15 % van alle middelbare scholieren regelmatig spijbelt.

a

Hoe groot is de kans dat in een vwo5-klas van 20 leerlingen er meer dan 4 zijn die regelmatig spijbelen?

Bij vraag a heb je een binomiale kans berekend. Maar hebben we hier wel te doen met een binomiaal kansexperiment?

b

Waarom is dat twijfelachtig?

18

In een bedrijf worden schroeven gefabriceerd. Volgens de bedrijfsleider is 5 % van de productie niet bruikbaar. De slechte exemplaren worden niet verwijderd, omdat de controle op bruikbaarheid te veel geld kost. De schroeven worden in doosjes van 50 stuks verkocht aan de winkeliers.

a

Hoe groot is de kans dat een doosje meer dan vier onbruikbare schroeven bevat?

Een winkelier heeft een partij van 500 doosjes schroeven besteld bij de fabriek.

b

Hoeveel doosjes met 50 bruikbare schroeven kan hij daarbij verwachten?

19

Een docent geeft een multiplechoicetest die bestaat uit twintig vierkeuzevragen.
Stel dat hij voor elke goed beantwoorde vraag een half punt toekent.

a

Hoe groot is de kans dat iemand die alle antwoorden gokt als cijfer een 4 of hoger krijgt?

De docent vindt dat een gokker ten hoogste 1 % kans mag hebben om een 4 of hoger te halen.

b

Bij welk aantal goede antwoorden moet hij dan het cijfer 4 toekennen?

Willekeurig?
20

Nederlandse volwassen mannen zijn gemiddeld 1,81 meter.
Bij een congres in Utrecht over biometrie werd de lengte van de deelnemers gevraagd. Er antwoordden 37 mannelijke deelnemers; 24 van hen waren langer dan 1,81 cm.

a

Bereken de kans op een resultaat van ten minste 24 mannen die langer dan gemiddeld zijn bij een groep van 37 willekeurige Nederlandse mannen.

b

Zou je – op basis van je antwoord bij a – de groep deelnemers aan het congres “willekeurig” willen noemen?

21

Er zijn 154 vwo4-leerlingen op het Amalia College, waarvan 69 jongens en 85 meisjes. 43 van de leerlingen hebben wiskunde A/C en 111 hebben wiskunde B. Op grond hiervan veronderstellen we dat de kans dat een willekeurige leerling wiskunde A/C kiest 43 154 0,279 is.

a

Bereken de kans dat van de 69 jongens er 13 of minder wiskunde A/C kiezen.

b

Bereken ook de kans dat van de 85 meisjes er 30 of meer wiskunde A/C kiezen.

Op het Amalia College hadden 13 jongens wiskunde A/C gekozen en 30 meisjes.

c

Zou je de vwo4-leerlingen op het Amalia College “willekeurig” willen noemen?

Als men een verzameling objecten onderzoekt (bijvoorbeeld de lengte van mensen, de kwaliteit van eieren of de neerslag in Nederlandse plaatsen) is het in de praktijk vaak ondoenlijk van elk object het resultaat te meten. In plaats daarvan volstaat men met een deel van de verzameling; dat deel is een zogenaamde steekproef. De objecten in de steekproef moeten wel willekeurig worden gekozen, d.w.z. elk object moet van tevoren evenveel kans hebben om in de steekproef terecht te komen. In het hoofdstuk Onderzoek gaan we hier verder op in.

22

Versie NL: Ga naar VU-Stat, Simulatie, Steekproeven
Er zijn vier parameters: geheime proportie blauw, omvang populatie, omvang steekproef en aantal steekproeven.
Versie BE: Ga naar VU-Stat, Steekproeven, Steekproeven uit ja-nee populatie. Er zijn hier drie parameters: deel groen, omvang populatie en omvang steekproef.

a

Kies zelf waarden voor de parameters en voer enkele simulaties uit.

b

Klopt het resultaat met wat je vooraf zou verwachten?

Kies geheime proportie blauw of deel groen is 0,28 , omvang populatie is 10.000 , omvang steekproef is 69 en aantal steekproeven is 100 of voer handmatig 100 steekproeven uit.

c

Hoe vaak is het resultaat 13 of minder?
Komt dat overeen met het antwoord van opgave 65a?

Doe hetzelfde als bij c, maar nu met omvang steekproef is 85 .

d

Hoe vaak is het resultaat 30 of meer?
Komt dat overeen met het antwoord van opgave 65b?

23

In 2000 is in Nederland de massale enquête Nationale Doorsnee gehouden onder eerste- en tweedeklassers van het voortgezet onderwijs.
Onder andere werd gevraagd naar het favoriete schoolvak. Bij 10 % van de jongens was dat wiskunde, en ook bij 8 % van de meisjes. Laten we zeggen gemiddeld bij 9 % van de leerlingen.

a

Hoeveel leerlingen verwacht je in een brugklas van 33 leerlingen voor wie wiskunde het favoriete vak is?

b

Wat is de kans dat voor precies 3 leerlingen wiskunde het favoriete vak is?

c

Wat is de kans dat in een klas van 33 leerlingen er 6 of meer wiskunde als favoriete vak hebben?