Kansverdelingen

Als een toevalsgrootheid de waarden 2 , 5 , 12 en 24 kan hebben, dan is de totale kans 1 verdeeld over deze vier waarden. De kansen op de vier afzonderlijke waarden vormen de kansverdeling van de toevalsgrootheid.
De kansverdeling kan worden gegeven in een tabel, of in een histogram, of in woorden, of ... .

Een manier om achter de kansen te komen is het aantal mogelijke uitkomsten te tellen, waarbij die uitkomsten dan wel even waarschijnlijk moeten zijn.
Bijvoorbeeld:

Verwachtingswaarde en standaardafwijking

E ( X ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... p n x n is de verwachtingswaarde van X . Als je de tabel van de kansverdeling kent:

kun je de verwachtingswaarde dus eenvoudig uitrekenen: vermenigvuldig elk van de mogelijke uitkomsten met de kans op die uitkomst en tel vervolgens de producten op.


We korten de verwachtingswaarde af met E.

  • Var ( X ) is de variantie van X , in formulevorm:
    Var ( X ) = p 1 ( x 1 E ) 2 + p 2 ( x 2 E ) 2 + ... + p n ( x n E ) 2 .

  • De standaardafwijking van X is de wortel van de variantie:
    sd ( X ) = p 1 ( x 1 E ) 2 + p 2 ( x 2 E ) 2 + ... + p n ( x n E ) 2 .

Rekenregels voor verwachting en variantie
  • Als bij een experiment twee aantallen worden geteld, zeg X 1 en X 2 , en X is de som van die twee aantallen, dan geldt: E ( X ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 )

  • Als bovendien X 1 en X 2 onafhankelijk zijn, dan geldt: Var ( X ) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 )

  • E ( X + a ) = E ( X ) + a , Var ( X + a ) = Var ( X )
    en sd ( X + a ) = sd ( X )

  • E ( c X ) = c E ( X ) , Var ( c X ) = c 2 Var ( X )
    en sd ( c X ) = | c | sd ( X )

Zonder en met terugleggen

In een vaas zitten 25 knikkers, 10 rood en 15 wit.

  • We halen er 5 knikkers uit, zonder terugleggen.
    P ( 3   rood en   2   wit ) = ( 10 3 ) ( 15 2 ) ( 25 5 ) = 60 253 0,2372 .

  • We halen er 5 knikkers uit, met terugleggen.
    P ( 3  rood en  2  wit ) = ( 5 2 ) ( 10 25 ) 3 ( 15 25 ) 2 0,2304 .


Dit laatste is een voorbeeld van een binomiale kans. X is binomiaal verdeeld als X het aantal successen is bij een vast aantal herhalingen van een experiment, steeds met twee alternatieven: succes en mislukking, waarbij de kans op succes (en mislukking) constant is, dus bij met terugleggen.


Als X binomiaal verdeeld is met n herhalingen en succeskans p , dan is E ( X ) = n p en Var ( X ) = n p ( 1 p ) .


Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt (binomiaal). De binomiaal berekende kans is dan ongeveer gelijk aan de werkelijke kans.

Cumulatieve kans

Als een toevalsgrootheid X de waarden 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... kan aannemen, dan noemen we P ( X 3 ) een cumulatieve kans. P ( X 3 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )