Er zijn $4!=24$ volgordes en precies één ervan is goed. De kans is dus $\frac{1}{24}$.

• $3$ goed kan niet, dan moet de vierde ook goed zijn.

• $2$ goed: kies er $2$ die goed zijn, $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6$ mogelijkeden, de andere twee cijfers moeten dus zijn verwisseld. Dus $6$ van de $24$ mogelijkheden geeft $\frac{1}{4}$ kans.

• $1$ goed: kies één cijfer dat goed is, $4$ mogelijkheden. De andere drie cijfers moeten allemaal fout zijn. Dat geeft $2$ mogelijkheden. Dus in totaal $4\cdot 2=8$ mogelijkheden van de $24$. Dit geeft $\frac{1}{3}$ kans.

• $0$ goed: dit zijn de overige mogelijkheden. De kans is dus $1-\frac{1}{24}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3}{8}$.

Zonder terugleggen. Kans op geen aas is $\frac{39}{52}\cdot \frac{38}{51}\cdot \frac{37}{50}\cdot \frac{36}{49}=\frac{6327}{20.825}\approx \mathrm{0,304}$.

De kans op één aas is $\frac{\left(\begin{array}{c}48\\ 12\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 13\end{array}\right)}=\frac{9139}{20.825}\approx \mathrm{0,439}$.

De kansen zijn samen $1$.

Bekijk $1$ kg.
$\mathrm{0,3}\cdot 20=6$ jaar regen $\to$ winst is $6\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{4,50}$ euro
$\mathrm{0,7}\cdot 20=14$ jaar geen regen $\to$ winst is $14\cdot 2=28$ euro
Totale winst in $20$ jaar is $\mathrm{4,50}+28=\mathrm{32,50}$ euro.
Gemiddeld is dit $\frac{\mathrm{32,50}}{20}=\mathrm{1,625}$ euro en dat is meer dan $\mathrm{1,50}$ euro.

Noem de opbrengst per kg aangetast fruit $a$ euro.
$6\cdot a+14\cdot 2=6a+28$ per $20$ jaar $\to$ gemiddeld per jaar $\frac{6a+28}{20}$
Wanneer kleiner dan $\mathrm{1,50}€$? $\frac{6a+28}{20}<\mathrm{1,50}\to 6a+28<30\to 6a<2\to a<\frac{1}{3}$
Als de prijs minder is dan $\frac{1}{3}$ euro ($\approx \mathrm{0,33}$ euro) is de eerste manier beter.

Bijv.: $P(50€)=\frac{10}{10}\cdot \frac{10}{10}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}={\left(\frac{1}{10}\right)}^3\cdot \frac{9}{10}$; zie verder de tabel.

$\text{E}(\text{uitkering})=200.000\cdot {(\frac{1}{10})}^6+5000\cdot {(\frac{1}{10})}^5\cdot \frac{9}{10}+\mathrm{...}+0\cdot \text{de rest}=\mathrm{0,4655}$;
$\text{E}(\text{winst})=1-\mathrm{0,4655}=\mathrm{0,5345}$ euro per kaart.

$1$, $1$, $3$, $3$ heeft de grootste standaardafwijking, want de middelste twee getallen liggen verder van het gemiddelde af dan bij $1$, $2$, $2$, $3$.

Ze hebben dezelfde sd, want de getallen liggen evenver uit elkaar (de getallen in de ene set zijn $1$ groter dan die in de andere set).

$2$, $2$, $6$, $6$ heeft de grootste standaardafwijking (namelijk $2$ keer zo groot), want de getallen liggen verder van het gemiddelde af (namelijk $2$ keer zo ver).

Ze hebben dezelfde sd, want de afwijkingen van het gemiddelde zijn allemaal $1$ en de gemiddelde kwadratische afwijking dus ook.

Robins gemiddelde is $10\cdot \mathrm{0,01}+9\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{...}+1\cdot \mathrm{0,19}=\mathrm{3,85}$, Wilhelms gemiddelde is $10\cdot \mathrm{0,1}+9\cdot \mathrm{0,1}+\mathrm{...}+1\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{4,4}$. Dus Wilhelm behaalt gemiddeld de hoogste score.

Wilhelm heeft de grootste sd. Zijn scores liggen erg ver uit elkaar.
Ter controle: $\text{sd}(\text{Wilhelm})=\mathrm{3,47}$ en $\text{sd}(\text{Robin})=\mathrm{2,35}$.

$6!=720$

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=360$ of $\frac{6!}{2!}=360$

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=120$ of $\frac{6!}{3!}=120$

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=180$ of $\frac{6!}{2!\cdot 2!}=180$

$\mathrm{‐3}$, $1$, $5$ en $9$

$\text{E}(X)=\mathrm{‐3}\cdot \frac{27}{64}+1\cdot \frac{27}{64}+5\cdot \frac{9}{64}+9\cdot \frac{1}{64}=0$
Gemiddeld win je niets, dus het is een eerlijk spel.

Een eerlijk spel is een spel waarbij je gemiddeld geen winst of verlies hebt.

Dus KMKMKM, kans is ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}$.

Dus MKMKMK, kans is ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}$.

De kans is $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{5}{16}$.

Omdat de kans op kop en op munt gelijk is.

Dus in de eerste $3$ beurten één $6$ en de $4$^e beurt is een $6$.
De kans is $\text{P}\left(X=\mathrm{1,}n=\mathrm{3,}p=\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{1}{6}\approx \mathrm{0,0579}$.

Dus in $4$ beurten hoogstens $1$ keer een $6$.
De kans is $\text{P}(X\le \mathrm{1,}n=\mathrm{4,}p=\frac{1}{6})\approx \mathrm{0,8681}$.

Dus in $9$ beurten $2$ keer een $6$ en de $10$^e beurt is een $6$.
De kans is $\text{P}\left(X=\mathrm{2,}n=\mathrm{9,}p=\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{1}{6}\approx \mathrm{0,0465}$.

Dus in $20$ beurten hoogstens $3$ keer een $6$.
De kans is $\text{P}\left(X\le \mathrm{3,}n=\mathrm{20,}p=\frac{1}{6}\right)\approx \mathrm{0,5665}$.

De ene mens is meer vatbaar voor griep dan de andere en sommige mensen krijgen een antigriepinjectie en zijn daarom weer minder vatbaar.

$\text{P}(X\ge 5)=1-\text{P}(X\le \mathrm{4,}n=\mathrm{25,}p=\mathrm{0,2})\approx \mathrm{0,5793}$

$\text{P}(X\le 5)=\text{P}(X\le \mathrm{5,}n=\mathrm{25,}p=\mathrm{0,2})\approx \mathrm{0,6167}$

$\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^5\cdot {\mathrm{0,8}}^{20}\approx \mathrm{0,1960}$

$\frac{\left(\begin{array}{c}11\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}14\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,2826}$

$\text{E}(X)=10\cdot \frac{1}{4}+15\cdot \frac{1}{3}+20\cdot \frac{1}{9}+30\cdot \frac{1}{6}+35\cdot \frac{1}{9}+50\cdot \frac{1}{36}=20$

$\text{E}(X_1)=5\cdot \frac{1}{2}+10\cdot \frac{1}{3}+25\cdot \frac{1}{6}=10$
$\text{E}(X)=\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)=2\cdot \text{E}(X_1)=2\cdot 10=20$

$\text{Var}(X)={(\text{-}10)}^2\cdot \frac{1}{4}+{(\text{-}5)}^2\cdot \frac{1}{3}+0^2\cdot \frac{1}{9}+{10}^2\cdot \frac{1}{6}+{15}^2\cdot \frac{1}{9}+{30}^2\cdot \frac{1}{36}=100$

Met de tabel en de berekening bij antwoord c zie je dat: $\text{E}(X_1)=10$
en $\text{Var}(X_1)={(\text{-}5)}^2\cdot \frac{1}{2}+0^2\cdot \frac{1}{3}+{15}^2\cdot \frac{1}{6}=50$
$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)=2\cdot \text{Var}(X_1)=2\cdot 50=100$

$\text{E}(Y_2)=5\cdot \frac{1}{2}+10\cdot \frac{1}{3}+25\cdot \frac{1}{6}=10$

$\text{E}(Y)=10\cdot \frac{1}{5}+15\cdot \frac{2}{5}+20\cdot \frac{1}{15}+30\cdot \frac{1}{5}+35\cdot \frac{2}{15}=20$

Ja, want $\text{E}(Y)=20$ en $\text{E}(Y_1)=\text{E}(Y_2)=10$.

$\text{Var}(X)={(\text{-}10)}^2\cdot \frac{1}{5}+{(\text{-}5)}^2\cdot \frac{2}{5}+0^2\cdot \frac{1}{15}+{10}^2\cdot \frac{1}{5}+{15}^2\cdot \frac{2}{15}=100$

$Y_1$ en $Y_2$ zijn niet onafhankelijk, want de kansen bij $Y_2$ zijn afhankelijk van de waarde van $Y_1$.