7.1  Exponentiële groeiprocessen >
1

Kanker is een van de belangrijkste doodsoorzaken. Een kwaadaardig gezwel ontstaat als een normale lichaamscel verandert in een tumorcel, die gaat zich dan op eigen houtje delen. Bij de eerste deling ontstaan twee tumorcellen, bij de volgende deling vier, daarop acht, dan zestien, enzovoort.

a

Hoeveel tumorcellen zijn er na de vijfde en na de zesde deling?

b

Na hoeveel delingen zijn er meer dan 2000 tumorcellen?

c

Zoek met je rekenmachine uit na hoeveel delingen er meer dan een miljoen tumorcellen zijn.

Zeg dat een tumorcel een inhoud heeft van 1 miljoenste mm3.

d

Ga na dat er dan na veertig delingen een tumor is van meer dan 1 dm3.
En daarmee valt niet te leven; de patiënt is daarvoor al overleden.

2

Op een gegeven moment (tijdstip 0 ) zijn er in een kweek 1000 bacteriën. We veronderstellen dat de bacteriën zich gemiddeld elk uur delen.

a

Hoeveel bacteriën zijn er na t uur?

(hint)
Maak een tabel.

b

Wat is de groeifactor per half uur?
Geef een formule voor het aantal bacteriën na t halve uren.

c

Wat is de groeifactor per kwartier?
Geef een formule voor het aantal bacteriën na t kwartieren.

3

Hoe snel een bacteriekolonie groeit (bij ideale laboratoriumomstandigheden) hangt af van de soort. Gistermiddag schatte een bioloog het aantal bacteriën in een kolonie om 12.00 uur op 500 en om 16.00 uur op 4500 .

a

Welk [MAAL] -machientje rekent het aantal bacteriën 2 uur later uit?

b

Hoeveel bacteriën waren er om 14.00 uur?

c

Hoeveel bacteriën waren er om 13.00 uur? En om 15.00 uur? En om 17.00 uur?

d

Geef een formule voor het aantal bacteriën t uur na 12 uur.

4

Jaren geleden, in het tijdperk van de gulden waren er tijden van hoge inflatie. Daarom werd er in die tijd ook een hoge rente op een spaarrekening gegeven.
We volgen de groei van het kapitaal op een spaarrekening waarop jaarlijks 10 % rente wordt bijgeschreven.
Het beginkapitaal is 1000 gulden.
Het kapitaal na t jaren sparen is K ( t ) gulden.

a

Vul de tabel in.

t

0

1

2

3

4

K ( t )

b

Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal in een jaar?

c

Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal in twee jaar?

d

Bereken (bijvoorbeeld met de knop [ x y ] van je rekenmachine) K ( 10 ) , de grootte van het kapitaal na 10 jaar.

e

Geef een formule voor K ( t ) uitgedrukt in t .

5

Hoe dieper je onder water komt, des te donkerder het wordt. Licht dat op water valt wordt gedeeltelijk geabsorbeerd. Hoe troebeler het water, hoe minder licht het doorlaat. In zeewater bijvoorbeeld, is de hoeveelheid licht op 1 meter diepte ongeveer 75 % van de hoeveelheid licht dat op het wateroppervlak valt.
De hoeveelheid licht op 2 meter diepte is 75 % van 75 % van de oorspronkelijke hoeveelheid licht die op het water valt.

a

Hoeveel procent is dat?

y is de hoeveelheid licht (in procenten van de oorspronkelijke hoeveelheid) op x meter diepte.

b

Vul de tabel in en teken de bijbehorende grafiek.

x

0

1

2

3

4

y

100

75

c

Geef de formule voor y uitgedrukt in x .

d

Ga na dat de hoeveelheid licht op 8 meter diepte 10 % van de oorspronkelijke hoeveelheid is.

De exponentiële groeifuncties in de voorgaande opgaven vertonen alle dezelfde eigenschap:
de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper) krijg je door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen. Deze factor noemen we de groeifactor.

Exponentiële groei kan razend snel gaan, dat zie je bijvoorbeeld in opgave 1 In maart 2014 brak de besmettelijke ziekte ebola uit in West-Afrika. In september van dat jaar begon men zich ernstig zorgen te maken zoals blijkt uit onderstaand bericht op Nos.nl.dinsdag 23 sep 2014, 11:24 (Update: 23-09-14, 15:53)
Door redacteur gezondheidszorg Rinke van den Brink
Als er niet heel snel ingegrepen wordt gaat de groei van ebola exponentieel door en zullen er begin november meer dan 20.000 mensen besmet zijn. Dat staat in een artikel van het Ebola Response Team van de WHO dat vandaag verschenen is in de New England Journal of Medecine (NEJM).
In een artikel op internet van 14-10-2014 staat het volgende.
Zolang er geen maatregelen genomen worden, en zolang het aantal zieken relatief klein is vergeleken met het totale bevolkingsaantal, zal het aantal patiënten exponentieel blijven stijgen. In de begindagen van de huidige ebola-epidemie gebeurde dit a rato van een verdubbeling om de twintig dagen. Bron: http://www.express.be/business/nl/economy/hoe-snel-verspreidt-ebola-zich/208525.htm

6

De groeifactor per meter van de hoeveelheid licht in opgave 5 is 0,75 .

Wat is de groeifactor per uur van de bacteriekolonie in opgave 3?
Wat is de groeifactor per jaar van het kapitaal in opgave 4?

7

Aan water wordt suiker toegevoegd. De suiker lost langzaam op: van de suiker die er op een bepaald moment nog over is, lost in de volgende minuut 20 % op. Om 12.00 uur is 125 gram suiker over. Het aantal grammen suiker dat er t minuten na 12.00 uur over is noemen we A ( t ) .

a

Vul de tabel in.

t

0

1

2

3

4

5

6

7

A

125

b

Wat is de groeifactor per minuut van de hoeveelheid suiker die over is?

c

Geef de formule voor A ( t ) .

d

Hoeveel gram suiker was er 2 minuten voor 12.00 uur over?

e

Ga met je rekenmachine na wanneer op 1 gram na alle suiker is opgelost.

Een hoeveelheid H groeit exponentieel in de tijd t als H gedurende elke tijdseenheid een vaste factor keer zo groot wordt: de groeifactor.
Als de beginhoeveelheid A is en de groeifactor g , dan moet er na elke tijdseenheid met g vermenigvuldigd worden.

t

0

1

2

3

H ( t )

A

A g

A g g

A g g g

Algemeen: H ( t ) = A g t .

8

Een bioloog doet onderzoek naar de invloed van fosfaten in het water op de groei van algen. Om de groei te kunnen bestuderen, heeft hij twee bakken met algen genomen. De ene bak bevat water met veel fosfaten, de andere fosfaatarm water. Van beide bakken bepaalt hij elke week de hoeveelheid algen. De resultaten van de bak met fosfaatrijk water staan hieronder.

Week

0

1

2

3

4

Hoeveelheid

10,0

16,0

25,6

41,0

65,5

a

Laat zien dat hier sprake is van exponentiële groei.

b

Stel een formule op voor de hoeveelheid H ( t ) na t weken.

De bioloog was in de andere bak ook begonnen met hoeveelheid 10,0 . Na vier weken was de hoeveelheid algen gegroeid tot 22,9 .
Ook hier verwachten we dat de groei exponentieel verloopt.
We gaan op zoek naar de groeifactor per week. Die kunnen we vinden door een aantal waarden te proberen.

c

Hoe groot is het oppervlak na vier weken als de hoeveelheid algen elke week 1,3 keer zo groot wordt?
Wordt de hoeveelheid algen elke week meer of minder dan 1,3 keer zo groot?

d

Kies aan de hand van je resultaat bij het vorige onderdeel een nieuwe waarde voor de groeifactor. Ga net zolang door tot je de waarde van de groeifactor op twee decimalen nauwkeurig gevonden hebt.

Tegen de groene algensoep

Fosfaatbelasting en bijbehorende algengroei hebben de binnenwateren troebel gemaakt. Na twintig jaar strijd op vele fronten schijnt hier en daar het zonlicht weer tot op de bodem. De blauwalgen creëren hun eigen favoriete milieu. Ze zorgen bijvoorbeeld voor veel schaduw in het water, waar ze zelf geen last van hebben, maar hun concurrenten wel. Bovendien kunnen deze algen heel zuinig met fosfaat omspringen, ze kunnen goed tegen troebel water en goed tegen kou. Ze zijn niet goed eetbaar voor grazers. Bovendien scheiden ze chemische stoffen af waarvan andere soorten hinder ondervinden. Zo versterkt de algenbloei zichzelf.

Opmerking:

De methode van opgave opgave 8d om de groeifactor te vinden kost wat geduld en rekenwerk. Er is ook een methode om de groeifactor direct te berekenen.
We zochten naar de groeifactor g waarvoor geldt:
10,0 g 4 = 22,9 .
Hieruit volgt: g 4 = 2,29 , dus g = 2,29 1 4 1,23 .

9

Nederland verstedelijkt in een rap tempo. Vooral steden in of bij de Randstad groeien als kool. Zo ook de stad Veenendaal tussen Utrecht en Arnhem. In 1983 telde Veenendaal nog maar 42.320 inwoners. Zes jaar later (in 1989) waren dat er al 47.358 . In 1995 woonden er in Veenendaal 54.023 mensen. (Gegevens op 1 januari; bron Statistisch Jaarboek)
Op 1 mei 2014 waren er 63.322 inwoners bron: CBS.

a

Neemt het aantal inwoners van Veenendaal lineair toe? Waarom wel/niet?

b

Hoeveel keer zo groot is het aantal inwoners van Veenendaal geworden in de periode 83-89? En in de periode 89-95?

c

Kun je uit je antwoord op het vorige onderdeel al afleiden of het aantal inwoners exponentieel groeit? Waarom wel/niet?

Stel dat het aantal inwoners van Veenendaal in de gehele periode 83-89 exponentieel groeide.
We willen de groeifactor g per jaar weten.

d

Bereken g .

Stel dat een hoeveelheid exponentieel groeit en dat de hoeveelheid in 6 uur tijd 5 keer zo groot wordt. Dan geldt voor de groeifactor g per uur: g 6 = 5 .
Dus g = 5 6 , de zesdemachtswortel van 5 .
5 6 = 5 1 6

10

De prijzen stijgen gemiddeld met 2 % per jaar.

a

Met hoeveel procent stijgen de prijzen in 10 jaar (in één decimaal nauwkeurig)?

Een luchtballon loopt langzaam leeg, elke dag met 3 %.
Op een gegeven moment ( t = 0 ) zit er 2 liter lucht in.

b

Geef een formule voor de hoeveelheid lucht H in de ballon (in liter) na t dagen.

c

Hoeveel procent lucht verdwijnt er per week uit de ballon (in één decimaal nauwkeurig).

Een hoeveelheid groeit 70 % per week.

d

Bereken in één decimaal nauwkeurig met hoeveel procent de hoeveelheid per dag groeit.

Als een hoeveelheid met 2 % per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 0,98 per uur.
Als een hoeveelheid met 2 % per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 1,02 per uur.

11

Een belegger ziet zijn beleggingen in 4 jaar groeien van 110 miljoen tot een kwart miljard.

a

Met hoeveel procent per jaar groeit zijn belegd kapitaal?
Neem aan dat de groei exponentieel is.

De prijs van sommige electronica daalt spectaculair. De laatste drie jaar geeft een daling met 1 3 te zien. Neem aan dat de prijs exponentieel daalt.

b

Bereken met hoeveel procent per jaar (in twee decimalen).

Halfwaardetijd
12

In 1986 vond er een explosie plaats in de kerncentrale van Tsjernobyl in de toenmalige Sovjetunie: de grootste kernramp in de geschiedenis. Daarbij kwamen veel radioactieve stoffen vrij. Deze stoffen vervallen: onder het uitzenden van straling veranderen ze in een stof die niet meer radioactief is.
De radioactiviteit neemt dus af. En dat gebeurt exponentieel. Een van de vrijgekomen stoffen in Tsjernobyl was Cesium-137. Van Cesium-137 neemt de radioactiviteit jaarlijks af met 2 %.

a

Geef een formule voor het percentage straling dat er nog over is na t jaar.

b

Bepaal met je rekenmachine hoeveel jaar het ongeveer duurt voordat de straling gehalveerd is.

13

Halfwaardetijd is een begrip uit de natuurkunde. Het geeft aan hoelang het duurt voordat de straling van een radioactieve stof gehalveerd is. Het begrip halfwaardetijd wordt ook wel gebruikt bij andere zaken dan radioactiviteit. Strontium-90 is een radioactieve stof die in grote hoeveelheden is vrijgekomen na de kernramp in Tsjernobyl in 1986. Omdat het gemakkelijk in de botten wordt opgenomen is het gevaarlijk voor mens en dier. Stel dat wij 100 mg strontium-90 hebben. De halfwaardetijd van Strontium-90 is ongeveer 29 jaar; dat wil zeggen dat er na 29 jaar nog ongeveer de helft van over is.

a

Hoeveel mg strontium-90 is er dan nog over na 87 jaar?

b

Hoeveel procent van een hoeveelheid strontium-90 vervalt er jaarlijks?

c

Stel een formule op voor de hoeveelheid strontium-90 na t jaar. Noem die hoeveelheid H .

d

Bereken hoeveel jaar het duurt er nog maar 1 mg strontium-90 over is.

Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd afneemt. De tijd waarin die hoeveelheid halveert, noemen we de halfwaardetijd van die stof.

14

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.
Voor het berekenen van de verdubbelingstijd bij een bepaald groeipercentage bestaat een vuistregel. Deze vuistregel gaat alleen op als het groeipercentage niet al te groot is (tot 10 %).
Hij luidt:
De verdubbelingstijd = 70 groeipercentage .
Stel dat de bevolking van een land elk jaar met 2 % groeit.

a

Hoelang zou het dan volgens de vuistregel duren voordat de bevolking verdubbeld is?

b

Hoeveel keer zo groot wordt de bevolking in de tijd die je bij het vorige onderdeel hebt gevonden? Klopt het ongeveer?

De vuistregel kan ook omgekeerd gebruikt worden.
Stel dat van een ander land de bevolking in 14 jaar verdubbelt.

c

Met hoeveel procent groeit de bevolking van dat land dan jaarlijks volgens de vuistregel?

d

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent de bevolking precies groeit.

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.

15

Volgens een beleggingsfolder kun je je kapitaal in 10 jaar tijd verdubbelen.
Neem aan dat er sprake is van exponentiële groei.

a

Hoeveel procent rendement per jaar heb je dan?

De halfwaardetijd van Radon-222 is 3,8 dagen.

b

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent per uur de hoeveelheid Radon-222 afneemt.

Op www.drugsforum.nl staat: "Toch hoor ik van mensen dat het niet zo is dat na 2 halfwaardetijd de stof volledig uit je bloed is?? Hoe werkt dit dan precies?"

c

Hoeveel is er na twee keer de halfwaardetijd van de stof verdwenen?