Een bacteriekolonie verdubbelt elk uur. Op een gegeven moment zijn er 500 bacteriën.
Hoelang duurt het voordat de kolonie is uitgegroeid tot 3000 bacteriën?
Het beantwoorden van deze vraag komt neer op het oplossen van de vergelijking 2 t = 6 .
Met dit soort vragen houden we ons in deze paragraaf bezig.

1
a

Leg uit dat bovenstaande vraag neerkomt op het oplossen van de vergelijking 2 t = 6 .

b

Ga na dat de gezochte waarde van t ligt tussen 2,5 en 2,6 .

c

Met een tabel op de GR kun je ook bepalen of t ligt tussen 2,50 en 2,51 of tussen 2,51 en 2,52 enzovoort.
Doe dat.

De exacte oplossing van de vergelijking 2 t = 6 noemen we 2 log ( 6 )
en die van 5 t = 10 noemen we 5 log ( 10 ) .

2
a

Wat is de betekenis van 3 log ( 81 ) ?

b

Hoe groot is 3 log ( 81 ) dus?

Opmerking:

Logaritmen kun je dus onmiddellijk vertalen naar exponenten. Hieronder staan zes rekenzinnen, drie met logaritmen en drie met exponenten. Elke rekenzin met logaritme betekent hetzelfde als de rekenzin met exponenten die ernaast staat.

3 log ( 729 ) = 6

3 6 = 729

9 log ( x ) = 1,5

9 1,5 = x

p log ( 100 ) = 2

p 2 = 100

3
a

Bepaal de positieve getallen x en p hierboven exact.

b

Los exact op voor x > 0 :

2 log ( x ) = 8

8 log ( x ) = 2

2 log ( 8 ) = x

8 log ( 2 ) = x

x log ( 2 ) = 8

x log ( 8 ) = 2

4

Om de betekenis te kennen van 1 log ( 100 ) , vragen we ons af voor welk getal t geldt: 1 t = 100 .

Welk getal is dat?

g t = x is gelijkwaardig met g log ( x ) = t .
We nemen de getallen g en x positief en g 1 .

5

1 2 log ( 4 ) = 2 , want ( 1 2 ) 2 = 4 .
Bepaal zo ook de volgende logaritmen zonder rekenmachine.

1 2 log ( 1 8 )

1 2 log ( 32 )

1 2 log ( 1 )

1 1 2 log ( 2 3 )

1 1 2 log ( 4 9 )

1 1 2 log ( 2 1 4 )

0,1 log ( 10 )

0,1 log ( 0,001 )

0,1 log ( 10 )

g log ( 1 )

g log ( g )

g log ( 1 g )

g log ( g 3 )

g log ( 1 g )

g log ( g 7 )

Nieuwe getallen

Soms komen logaritmen mooi uit. Zo is 3 log ( 9 ) geen nieuw getal: het is een andere schrijfwijze voor het getal 2 .
Meestal komen logaritmen niet mooi uit. Zo kenden we het getal 3 log ( 10 ) nog niet. En het is wel even wennen aan nieuwe getallen. Zoiets heb je al eerder ervaren, namelijk toen je in de tweede of derde klas kennis maakte met wortels; en al op de basisschool toen je voor het eerst met breuken ging werken. Eigenlijk is er nu weer hetzelfde aan de hand. Vergelijk maar eens de vragen over breuken, wortels en logaritmen in de volgende opgave.

6

Welke getallen zijn geheel, welke niet?

12 3 , 11 3 , 8 3 , 7 3 , 3 log ( 9 ) , 3 log ( 8 )

Opmerking:

De functies [MAAL 3 ] en [DEEL DOOR 3 ] zijn elkaars inverse (zie ook hoofdstuk 1). Dat betekent het volgende.


In woorden

Als je op een getal eerst de ene functie laat werken en daarna op de uitkomst de andere functie, dan krijg je het oorspronkelijke getal terug.


In machientjestaal

x [MAAL 3 ] [DEEL DOOR 3 ] x
x [DEEL DOOR 3 ] [MAAL 3 ] x


In formuletaal

( x 3 ) : 3 = x
( x : 3 ) 3 = x

7

Bereken zonder rekenmachine:

2015 3 3

π 3 3

2015 3 3

π 3 3

8

[ 3 -de MACHTSWORTEL] en [TOT DE MACHT 3 ] zijn elkaars inverse.

a

Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal.

b

Bereken exact zonder rekenmachine:

( 2015 3 ) 3

( π 3 ) 3

2015 3 3

π 3 3

9

[ 3 TOT DE MACHT _] en [ 3 LOG VAN _] zijn elkaars inverse.

a

Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal.

b

Bereken exact zonder rekenmachine:

3 log ( 3 2015 )

3 log ( 3 π )

3 3 log ( 2015 )

3 3 log ( π )

Algemeen
g g log ( x ) = x en g log ( g x ) = x .
g heet het grondtal van de logaritme.

10

We controleren deze twee formules nog eens voor drie gevallen die mooi uitkomen.

a

Bereken zonder rekenmachine:

2 log ( 8 )

2 log ( 1 4 )

0,1 log ( 10 )

2 2 log ( 8 )

2 2 log ( 1 4 )

0,1 0,1 log ( 10 )

b

Bereken zonder rekenmachine:

2 5

2 ‐3

0,1 2

2 log ( 2 5 )

2 log ( 2 ‐3 )

0,1 log ( 0,1 2 )

11

Het grondtal van een logaritme kan niet elk getal zijn.

a

Probeer maar eens uit te rekenen wat 1 log ( 7 ) , 0 log ( 7 ) en ‐7 log ( 7 ) zouden moeten zijn. Waarom lukt dat niet?

Ook kun je niet van elk getal de logaritme nemen.

b

Probeer maar eens uit te rekenen wat 2 log ( 4 ) en 2 log ( 0 ) zouden moeten zijn.
Waarom lukt dat niet?

Afspraak
g log ( x ) bestaat alleen als x > 0 en g > 0 en g 1 .

John Napier

John Napier, ook bekend onder de naam John Neper (Edinburgh, 1550-1617), was een Schotse wiskundige die vooral naam heeft gemaakt met zijn uitvinding van de logaritmen. John studeerde enige tijd aan de St Andrews universiteit maar verbleef ook geruime tijd in andere landen van Europa. Hij was een overtuigd protestant en vooral gepassioneerd door de theologie. In 1593 publiceerde hij een religieus werk met de titel Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John dat in het Nederlands, Frans en Duits werd vertaald zodat hij ook bekend werd op het vasteland. De wiskunde beoefende hij voornamelijk als een liefhebberij.
Bron: Wikipedia