Een blauwe vinvis is het grootste dier dat ooit geleefd heeft; hij weegt gemiddeld $100$ ton ( $1$ ton = $1000$ kg). Een bij weegt $0,1$ gram.

In de biologie hebben we te maken met erg zware en erg lichte dieren. Om het hele scala van extreem licht tot uiterst zwaar op één getallenlijn in beeld te brengen gebruiken we een logaritmische schaal (de gewichten zijn in grammen).

Hoeveel bijen zijn samen even zwaar als een blauwe vinvis?

Waarom zetten we de gewichten eigenlijk niet uit op een gewone, lineaire, schaal?

Neem de logaritmische schaal over (neem als eenheid $1$ cm) en geef er op aan: de mens ( $100$ kg), de merel ( $100$ gram), de vlo ( $0,01$ gram).

Bij een lineaire schaal wordt, als je $1$ cm naar rechts gaat, het bijbehorende getal $1$ groter.

Hoe zit dat bij de logaritmische schaal?
Hoeveel cm staat het getal $1000$ rechts van $1$ op de logaritmische schaal?
En $0,00001$ ?

Als je een getal op de logaritmische schaal wil plaatsen, moet je het schrijven als een macht van $10$ .
Op je rekenmachine zit de knop [log]: daarmee vind je de exponent om een getal als macht van $10$ te schrijven. Toets maar eens in: $\log (10)$ , $\log (100)$ , ... .
Stel je wilt $275$ als macht van $10$ schrijven, dus $275 = 10^{\dots}$ .
De exponent is ${}^{10} \log (275)$ $= \log (275) = 2,439$ .
Nu kun je $275$ op de logaritmische schaal plaatsen, namelijk $2,44$ cm rechts van $1$ .

Schrijf $0,02$ als macht van $10$ .
Hoeveel cm links van $1$ staat $0,02$ dus op de logaritmische schaal?

Gebruik de log-knop om het gewicht van een olifant ( $4$ ton) op de logaritmische schaal (van vraag c) aan te geven. Ook van een spreeuw ( $80$ g) en een mensenbaby ( $3$ kg).

Waar staat het getal $16$ op een getallenlijn met eenheid $1$ cm?

Op een lineaire schaal staat $16$ op afstand $16$ cm rechts van $0$ .
Op een logaritmische schaal staat $16$ op afstand $\log (16) = 1,2$ cm rechts van $1$ .

De opeenvolgende machten van $10$ :
..., $10^{‐ 2} = 0,01$ , $10^{‐ 1} = 0,1$ , $10^{0} = 1$ , $10^{1} = 10$ , $10^{2} = 100$ , ... vind je op een logaritmische schaal op regelmatige afstanden van $1$ cm van elkaar.
In plaats van de cm kun je natuurlijk ook een andere eenheid nemen.

De variatie in geluidssterkte is erg groot. Het menselijk oor is gevoelig voor heel zachte geluiden (een speld valt op een wollen vloerkleed) en voor heel harde geluiden (een startend straalvliegtuig). Om het hele bereik op één getallenlijn aan te geven gebruiken we een logaritmische schaal. We nemen het geluid van de vallende speld als basisgeluid (de gehoordrempel): $0$ bel (bel is de eenheid waarin we geluidssterkte uitdrukken).
Een geluid van $1$ bel is $10$ keer zo sterk als het basisgeluid (dat komt dus overeen met $10$ gelijktijdig vallende spelden). Een geluid van $2$ bel is even sterk als dat van $100$ gelijktijdig vallende spelden, enzovoort.

Maak een logaritmische schaal als bij opgave 27 en geef daarop aan:

ademhaling ( $1000$ spelden)
rustige huiskamer ( $10.000$ spelden)
naburig onweer ( $10$ miljoen spelden)
straalvliegtuig (pijngrens: $10^{14}$ spelden)

Om de plaats (= het aantal bel) van een geluid te bepalen moet je de $10$ -logaritme nemen van het equivalente aantal spelden.

Een normaal gesprek op één meter afstand heeft een geluidssterkte van $300.000$ spelden.
Hoeveel bel is dat? Geef een normaal gesprek aan op de logaritmische schaal.

Dicht bij de boxen haalt een popgroep wel een geluidssterkte van $10$ bel.

Geef dat aan op de logaritmische schaal.
Hoeveel keer zo sterk is dat als een naburig onweer?

De klassen V5a en V5b zijn even rumoerig. Apart brengt elk een geroezemoes van $7$ bel voort. De klassen komen bij elkaar in één lokaal.

Hoeveel bel meet het gezamenlijke geroezemoes?

Een bacteriesoort wordt gekweekt op een voedingsbodem. Het aantal bacteriën groeit exponentieel; de groeifactor per dag is $10$ . Op tijdstip $0$ zijn er $1000$ .

Hoeveel zijn er na $2 \frac{1}{2}$ dag?
Geef dat aantal aan op een logaritmische schaal.

Hoeveel bacteriën zijn er $40$ uur vóór tijdstip $0$ ?
Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

Wanneer zijn er een half miljard ( $\frac{1}{2} \cdot 10^{9}$ ) bacteriën? Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

Over het algemeen vertoont een groter organisme een grotere complexiteit. Het ene uiterste is een foraminifeer met maar één soort cel, in een betrekkelijk klein aantal. Het andere uiterste is een walvis met honderd verschillende celtypen.
Hiernaast staan van verschillende organismen het volume en het aantal cellen uitgezet tegen het aantal celtypen. Op de assen zijn logaritmische schalen gebruikt. De grafiek is afkomstig uit De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek.
We bekijken de paddestoel.

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met behulp van de grafiek het aantal celtypen, het volume en het aantal cellen van een paddestoel.

Hoeveel cellen gaan er in één kubieke centimeter?

Uit De maat van het leven is ook de figuur hieronder afkomstig.

In de grafiek is de lengte van de humerus (opperarmbeen) $l$ uitgezet tegen de diameter $d$ (beide in mm) van een groot aantal antilopen van de madok ( $3$ kg) tot de zwarte buffel ( $750$ kg).
Op beide assen is een logaritmische schaal gebruikt, de machten van $10$ hebben gelijke afstand tot elkaar.
Het getal $5$ staat even ver van $1$ als $50$ van $10$ .

Verklaar dat.

$20$ staat even ver van $10$ als $50$ van $100$ .

Verklaar dat.

Welk getal moet midden tussen $10$ en $20$ staan?

Volgens de begeleidende tekst bij het plaatje is het verband tussen $l$ en $d$ : $l = 24,09 d^{0,66}$ . Ook staat er een formule waarbij $d$ uitgedrukt wordt in $l$ .

Geef ook zo'n formule.