1

Een blauwe vinvis is het grootste dier dat ooit geleefd heeft; hij weegt gemiddeld 100 ton ( 1 ton = 1000 kg). Een bij weegt 0,1 gram.

In de biologie hebben we te maken met erg zware en erg lichte dieren. Om het hele scala van extreem licht tot uiterst zwaar op één getallenlijn in beeld te brengen gebruiken we een logaritmische schaal (de gewichten zijn in grammen).

a

Hoeveel bijen zijn samen even zwaar als een blauwe vinvis?

b

Waarom zetten we de gewichten eigenlijk niet uit op een gewone, lineaire, schaal?

c

Neem de logaritmische schaal over (neem als eenheid 1 cm) en geef er op aan: de mens ( 100 kg), de merel ( 100 gram), de vlo ( 0,01 gram).

Bij een lineaire schaal wordt, als je 1 cm naar rechts gaat, het bijbehorende getal 1 groter.

d

Hoe zit dat bij de logaritmische schaal?
Hoeveel cm staat het getal 1000 rechts van 1 op de logaritmische schaal?
En 0,00001 ?

Als je een getal op de logaritmische schaal wil plaatsen, moet je het schrijven als een macht van 10 .
Op je rekenmachine zit de knop [log]: daarmee vind je de exponent om een getal als macht van 10 te schrijven. Toets maar eens in: log ( 10 ) , log ( 100 ) , ... .
Stel je wilt 275 als macht van 10 schrijven, dus 275 = 10 .
De exponent is 10 log ( 275 ) = log ( 275 ) = 2,439 .
Nu kun je 275 op de logaritmische schaal plaatsen, namelijk 2,44 cm rechts van 1 .

e

Schrijf 0,02 als macht van 10 .
Hoeveel cm links van 1 staat 0,02 dus op de logaritmische schaal?

f

Gebruik de log-knop om het gewicht van een olifant ( 4 ton) op de logaritmische schaal (van vraag c) aan te geven. Ook van een spreeuw ( 80 g) en een mensenbaby ( 3 kg).

Waar staat het getal 16 op een getallenlijn met eenheid 1 cm?

  1. Op een lineaire schaal staat 16 op afstand 16 cm rechts van 0 .

  2. Op een logaritmische schaal staat 16 op afstand log ( 16 ) = 1,2 cm rechts van 1 .

De opeenvolgende machten van 10 :
..., 10 2 = 0,01 , 10 1 = 0,1 , 10 0 = 1 , 10 1 = 10 , 10 2 = 100 , ... vind je op een logaritmische schaal op regelmatige afstanden van 1 cm van elkaar.
In plaats van de cm kun je natuurlijk ook een andere eenheid nemen.

2

De variatie in geluidssterkte is erg groot. Het menselijk oor is gevoelig voor heel zachte geluiden (een speld valt op een wollen vloerkleed) en voor heel harde geluiden (een startend straalvliegtuig). Om het hele bereik op één getallenlijn aan te geven gebruiken we een logaritmische schaal. We nemen het geluid van de vallende speld als basisgeluid (de gehoordrempel): 0 bel (bel is de eenheid waarin we geluidssterkte uitdrukken).
Een geluid van 1 bel is 10 keer zo sterk als het basisgeluid (dat komt dus overeen met 10 gelijktijdig vallende spelden). Een geluid van 2 bel is even sterk als dat van 100 gelijktijdig vallende spelden, enzovoort.

a

Maak een logaritmische schaal als bij opgave 27 en geef daarop aan:

  1. ademhaling ( 1000 spelden)

  2. rustige huiskamer ( 10.000 spelden)

  3. naburig onweer ( 10 miljoen spelden)

  4. straalvliegtuig (pijngrens: 10 14 spelden)

Om de plaats (= het aantal bel) van een geluid te bepalen moet je de 10 -logaritme nemen van het equivalente aantal spelden.

b

Een normaal gesprek op één meter afstand heeft een geluidssterkte van 300.000 spelden.
Hoeveel bel is dat? Geef een normaal gesprek aan op de logaritmische schaal.

Dicht bij de boxen haalt een popgroep wel een geluidssterkte van 10 bel.

c

Geef dat aan op de logaritmische schaal.
Hoeveel keer zo sterk is dat als een naburig onweer?

De klassen V5a en V5b zijn even rumoerig. Apart brengt elk een geroezemoes van 7 bel voort. De klassen komen bij elkaar in één lokaal.

d

Hoeveel bel meet het gezamenlijke geroezemoes?

3

Een bacteriesoort wordt gekweekt op een voedingsbodem. Het aantal bacteriën groeit exponentieel; de groeifactor per dag is 10 . Op tijdstip 0 zijn er 1000 .

a

Hoeveel zijn er na 2 1 2 dag?
Geef dat aantal aan op een logaritmische schaal.

b

Hoeveel bacteriën zijn er 40 uur vóór tijdstip 0 ?
Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

c

Wanneer zijn er een half miljard ( 1 2 10 9 ) bacteriën? Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

4

Over het algemeen vertoont een groter organisme een grotere complexiteit. Het ene uiterste is een foraminifeer met maar één soort cel, in een betrekkelijk klein aantal. Het andere uiterste is een walvis met honderd verschillende celtypen.
Hiernaast staan van verschillende organismen het volume en het aantal cellen uitgezet tegen het aantal celtypen. Op de assen zijn logaritmische schalen gebruikt. De grafiek is afkomstig uit De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek.
We bekijken de paddestoel.

a

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met behulp van de grafiek het aantal celtypen, het volume en het aantal cellen van een paddestoel.

b

Hoeveel cellen gaan er in één kubieke centimeter?

5

Uit De maat van het leven is ook de figuur hieronder afkomstig.

In de grafiek is de lengte van de humerus (opperarmbeen) l uitgezet tegen de diameter d (beide in mm) van een groot aantal antilopen van de madok ( 3 kg) tot de zwarte buffel ( 750 kg).
Op beide assen is een logaritmische schaal gebruikt, de machten van 10 hebben gelijke afstand tot elkaar.
Het getal 5 staat even ver van 1 als 50 van 10 .

a

Verklaar dat.

20 staat even ver van 10 als 50 van 100 .

b

Verklaar dat.

c

Welk getal moet midden tussen 10 en 20 staan?

Volgens de begeleidende tekst bij het plaatje is het verband tussen l en d : l = 24,09 d 0,66 . Ook staat er een formule waarbij d uitgedrukt wordt in l .

d

Geef ook zo'n formule.