Procenten en groeifactoren

Een bacteriekolonie groeit met $10$ % per dag. Op een bepaald moment ( $t = 0$ ) is er $15$ mg aanwezig.

Stel een formule op voor het aantal $A$ mg bacteriën na $t$ dagen.

Bereken de verdubbelingstijd van het aantal bacteriën in één decimaal.

Een andere bacteriekolonie groeit ook exponentieel en neemt in $3$ dagen toe van $5,1$ tot $7,2$ mg.

Bereken de verdubbelingstijd van deze kolonie in twee decimalen.

Hoeveel keer zo duur wordt een product als de prijs toeneemt met: $15$ %, $1,5$ %, $247$ %, $0,24$ %?
En als de prijs afneemt met: $15$ %, $1,5$ %, $99$ %, $0,24$ %?

Met hoeveel procent neemt de prijs toe of af, als het product $3$ keer zo duur wordt? Als het $0,75$ keer zo duur wordt? Als het $1,075$ keer zo duur wordt? En als het $0,15$ keer zo duur wordt?

In een winkelstraat voeren twee concurrenten een actie. De een verhoogt zijn prijzen eerst met $10$ % en geeft vervolgens $10$ % korting. De ander geeft $10$ % korting en verhoogt dan zijn prijzen met $10$ %.

Is de eerste winkelier even duur gebleven als hij voor de actie was?
En de tweede?
Wie van de twee is na de actie het duurst?

Iemand koopt een pakket aandelen. Het eerste jaar stijgen de aandelen met $20$ %, het tweede jaar met $7,3$ %, het derde jaar dalen ze met $18$ % en het vierde jaar stijgen ze weer met $4,4$ %.

Met hoeveel procent is het pakket in vier jaar gestegen (in één decimaal)?

Van een nieuwe generatie zoetwaterpoliepen sterft de helft in het eerste levensjaar. Van de dieren die het tweede jaar halen, sterft weer de helft. Van de dieren die het derde jaar halen, sterft ook weer de helft. Enzovoort.

Welk deel haalt het vierde jaar? En welk deel het zesde jaar?

Na hoeveel jaar is nog $\frac{1}{10.000}$ deel over?
Geef je antwoord in één decimaal.

Hoe oud kan een poliep eigenlijk worden?

Vergelijkingen met logaritmen

Voorbeeld:

Voor welke $x$ geldt $2 + {}^{3} \log (x) = 4,5$ ?

$2 + {}^{3} \log (x)$	$=$	$4,5$	Min $2$
${}^{3} \log (x)$	$=$	$2,5$	Definitie toepassen
$x$	$=$	$3^{2,5} \approx 15,59$

Voorbeeld
Voor welke $x$ geldt: $\log (2) + \log (x) = 2$ ?

$\log (2) + \log (x)$	$=$	$2$	Hoofdregel toepassen
$\log (2 x)$	$=$	$2$	Definitie toepassen
$2 x$	$=$	$10^{2}$ , dus $x = 50$ .

Voorbeeld
Voor welke $x$ geldt: $\log (2) - \log (x) = 2$ ?

$\log (2) - \log (x)$	$=$	$2$	Regel 2 toepassen
$\log (\frac{2}{x})$	$=$	$2$	Definitie toepassen
$\frac{2}{x}$	$=$	$10^{2}$ , dus $x = \frac{1}{50}$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$5 -$ ${}^{2} \log (x)$ $= 1$	$3 + \log (x) = 3,5$
$\frac{1}{2} \cdot$ ${}^{5} \log (1 + x)$ $= 1$	$2 + 2 \cdot \log (2 x + 2) = 0$

Hoe erg wij een ramp vinden, hangt af van drie factoren:

het aantal slachtoffers $S$ dat er bij de ramp valt te betreuren,
het aantal kilometers $K$ dat ons van de plaats van de ramp scheidt,
het aantal jaren $J$ dat tussen ons en de ramp ligt.

De schrijver Battus heeft een formule verzonnen om de "ergheid" $E$ van een ramp te berekenen, als je de waarden van $S$ , $K$ en $J$ kent: $E = \log (\frac{1000 \cdot S}{K \cdot J})$ .

Bij de uitbarsting van de Krakatau in 1883 vielen er $36.417$ doden. De Krakatau is een Indonesische vulkaan, op $18.000$ km afstand van Nederland.

Bereken de waarde van $E$ van deze ramp in in het jaar 2020.

In 1993 werd een huis van buitenlanders in Solingen in brand gestoken: $5$ doden. De ergheid van deze ramp in 2000 was: $0,68$ in Arnhem.

Hoe ver ligt Solingen van Arnhem?

In het jaar 1900 gebeurde er een ramp bij Parijs (afstand $500$ km) waarvan de ergheid in 2000 was: $0,5$ .

Bereken het aantal doden bij deze ramp.

Waarom staat in de formule van Battus $S$ in de teller en $K$ in de noemer?

Geluid is een trilling in de lucht die door het gehoororgaan waargenomen wordt. De intensiteit $I$ van geluid wordt uitgedrukt in watt per vierkante meter (W/m²). Uit experimenten blijkt dat geluid met een intensiteit van één biljoenste ( $10^{‐ 12}$ ) W/m² voor jonge mensen nog net hoorbaar is. Dit wordt de gehoorgrens genoemd. Het andere uiterste is de pijngrens: die ligt bij een geluidsintensiteit van $10$ W/m². De geluidsintensiteit van het tikken van een horloge op $1$ meter afstand komt ongeveer overeen met de gehoorgrens; het geluid van een opstijgend straalvliegtuig met de pijngrens.
Uit de intensiteit $I$ leidt men een meer praktische grootheid af, het geluidsdrukniveau $L$ , volgens de formule:
$L = 10 \cdot \log (\frac{I}{I_{0}})$ , waarbij $I_{0}$ de geluidsintensiteit is die hoort bij de gehoorgrens, dus $I_{0} = 10^{‐ 12}$ W/m². De eenheid van geluidsdrukniveau heet decibel, afgekort dB, genoemd naar Alexander Graham Bell, de uitvinder van de telefoon.

Bereken exact de geluidsdrukniveaus die horen bij de gehoorgrens en de pijngrens.

Op een zekere afstand produceren twee personenauto’s elk een geluidsdrukniveau van $80,0$ dB. De geluidsintensiteit is twee maal de geluidsintensiteit van één personenauto.

Bereken de waarde van hun gezamenlijk geluidsdrukniveau in één decimaal nauwkeurig.

Het verkeerslawaai in de buurt van een verkeersweg is onder meer afhankelijk van de afstand tot de weg. Voor afstanden van $20$ tot $1000$ meter gebruikt men de volgende formule:
$L = L_{0} - 10 \cdot \log (2 π R)$ , waarbij

$R$ de afstand tot de as van de weg in meters is,
$L_{0}$ het geluidsdrukniveau van het verkeer op de as van de weg is,
$L$ het geluidsdrukniveau op $R$ meter afstand van de as van de weg is.

Bij een afstand van

R = 20

m behoort een geluidsdrukniveau van

77

dB.

Bereken in meters nauwkeurig welke afstand $R$ behoort bij een geluidsdrukniveau van $74$ dB.

Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden.
In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is $121 °$ C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur hieronder zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. De figuur staat ook op het werkblad.

Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op $1$ miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft. Bij de grafiek in de figuur hoort een formule van de vorm:
$N_{t} = 10^{6} \cdot 2^{‐ r \cdot t}$ . Hierin is $N_{t}$ het aantal bacteriën na $t$ minuten en is $r$ de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.

Met behulp van de figuur kun je berekenen dat de sterftefactor $r$ van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan $2,2$ .

Toon dat met een berekening aan.

De $D$ -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot $10$ % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de $D$ -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de $D$ -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze $D$ -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.

Men heeft ook van andere bacteriën de $D$ -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze $D$ -waarde gelijk aan $2,55$ minuten.
Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met $1$ miljoen bacteriën.

Teken deze overlevingsgrafiek in de figuur op het werkblad. Licht je werkwijze toe.