Exponentiële groei
  1. Als je de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper of ...) krijgt door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte of ...) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen, spreken we van exponentiële groei.
    De factor waar je per tijdseenheid (of lengte-eenheid of ...) mee vermenigvuldigt, noemen we de groeifactor.

  2. Een hoeveelheid H groeit met factor g per uur.
    Als je met hoeveelheid A begint, dan is de hoeveelheid H na t uur:
    H = A g t .
    Als g > 1 is H stijgend.
    Als 0 < g < 1 , dan is H dalend.

  3. Als een hoeveelheid met 2 % per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 0,98 per uur.
    Als een hoeveelheid met 2 % per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 1,02 per uur.

  4. Stel: een hoeveelheid groeit exponentieel en wordt in 6 uur tijd 5 keer zo groot. Dan geldt voor de groeifactor g per uur: g 6 = 5 .
    Dus g = 5 6 = 5 1 6 , de zesdemachtswortel van 5 .

  5. Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd afneemt. De tijd waarin die hoeveelheid halveert, noemen we de halfwaardetijd van die stof.

  6. Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd toeneemt. De tijd waarin die hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd van die stof.

Definitie van logaritme
  1. De exacte oplossing van de vergelijking 2 t = 6 noemen we 2 log ( 6 ) .
    Algemeen
    g g log ( x ) = x en g log ( g x ) = x

  2. g log ( x ) bestaat alleen als x > 0 en g > 0 en g 1
    g heet het grondtal van de logaritme.

Rekenregels voor logaritmen
  1. g log ( x ) + g log ( y ) = g log ( x y )

  2. g log ( x ) g log ( y ) = g log ( x y )

  3. r g log ( x ) = g log ( x r )

  4. g log ( x ) = a log ( x ) a log ( g ) (overstappen op een ander grondtal namelijk van g op a )

De regels gelden voor alle positieve getallen x , y , a , g en willekeurige getallen r , waarbij a en g niet 1 mogen zijn.

Regel 4 kun je gebruiken om de logaritme van een getal op de GR te benaderen.

Voorbeeld

2 log ( 3 ) = log ( 3 ) log ( 2 ) = 0,477 0,301 = 1,584 .
De knop [log] op de GR is de logaritme met grondtal 10 .

Rekenregels voor machten

We herhalen de regels en voegen er een vijfde aan toe.

  1. a p a q = a p + q

  2. a p : a q = a p q

  3. ( a p ) q = a p q

  4. ( a b ) p = a p b p

  5. g g log ( x ) = x en g log ( g x ) = x

Deze regels gelden voor alle positieve getallen a , b , en willekeurige getallen p en q .
Verder: x > 0 en g > 0 en g 1 .
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Logaritmische schaal

Op een lineaire schaal staan de opeenvolgende gehele getallen op gelijke afstand van elkaar.
Op een logaritmische schaal staan de opeenvolgende machten van 10 op gelijke afstand van elkaar.

Als je één eenheid naar rechts gaat op een lineaire schaal, wordt het getal één groter.
Als je één eenheid naar rechts gaat op een logaritmische schaal, wordt het getal 10 keer zo groot.

Voorbeeld
Het getal 160 staat op de logaritmische schaal log ( 160 ) 2,20 eenheden rechts van 10 0 = 1 .
Als een getal op de logaritmische schaal 2,3 eenheden rechts van 10 0 = 1 staat, dan is dat getal 10 2,3 199,5 .

Opmerking:

Als x 3 = 4 , dan x = 4 3 .
Als 3 x = 4 , dan x = 3 log ( 4 ) .