1

Een meer bevat 10.000 m3 water waarin 10 % verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft 1000 m3 verontreiniging en 9000 m3 schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant 1000 m3 water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er 1000 m3 zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.

a

Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week 10 % minder is dan de week ervoor.

Het aantal m3 verontreiniging A neemt per dag exponentieel af.

b

Laat zien dat dit met groeifactor 0,985 (in drie decimalen nauwkeurig) gebeurt.

c

Geef een formule voor A uitgedrukt in t , hierbij is t het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.

Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot 100 m3.

d

Bereken dit aantal dagen, rond af op een geheel aantal.

e

Hoeveel duizenden m3 water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond je antwoord af op een geheel aantal.

2

Bereken exact, schrijf dus voldoende tussenstappen op.

4 log ( 1 32 )

2 log ( 16 4 3 )

4 log ( 1 2 2 )

1 2 log ( 16 4 3 )

3

In een kweek wordt de hoeveelheid bacteriën bijgehouden.
A ( t ) is de hoeveelheid (in microgram) na t dagen.
1 microgram is 10 6 gram.

t

0

1

3

6

A ( t )

1500

2400

6200

25200

a

Ga na dat er sprake is van exponentiele groei.
Bepaal de groeifactor per dag.

b

Wat is de procentuele toename per dag?

c

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per uur in één decimaal.

Een andere bacteriesoort groeit exponentieel in 3 dagen van 200 tot 600 mg.

d

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per dag in één decimaal.

e

Wat is de verdubbelingstijd van deze soort?
Geef je antwoord langs algebraïsche weg in uren, in één decimaal nauwkeurig.

4
figuur 1

Een geluidsbron (boormachine, piano) hoor je doordat die geluidsbron het trommelvlies in je oor in trilling brengt. Geluid is meestal samengesteld uit tonen van verschillende hoogte. De hoogte van een zuivere toon wordt bepaald door zijn trillingsgetal: hoe hoger het trillingsgetal, uitgedrukt in Hertz (Hz), hoe hoger de toon. Het trillingsgetal is het aantal trillingen per seconde. Het trillingsgetal van een aangeslagen stemvork is 440 Hz.
ln de muziek werken we met octaven: het trillingsgetal van de hoogste toon in een octaaf is twee keer zo groot als het trillingsgetal van de laagste toon. Op een piano zitten op een octaaf dertien tonen (acht witte en vijf zwarte toetsen). Een moderne piano is zo gestemd dat de verhouding van de trillingsgetallen van een toon en de volgende toon steeds hetzelfde is. Zo'n piano heet gelijkzwevend gestemd (Bach wohltemperiertes Klavier). De zo ontstane toonladder heet chromatische toonladder.

a
figuur 2

Bereken het verhoudingsgetal dat in bovenstaande tekst genoemd wordt exact en in twee decimalen.

Om verschillende instrumenten in een orkest goed samen te laten spelen moet de absolute hoogte van de tonen vaststaan. Het trillingsgetal van de a (op de notenbalk met een G-sleutel tussen de tweede en derde lijn, zie figuur 2) is 440 Hz.

b

Bereken het trillingsgetal van de centrale c (aangegeven in figuur 1.)

Bij toonladders kun je spreken van exponentiële groei van de trillingsgetallen. De groeifactor is 2 per octaaf.
Bij een orgel bepaalt de lengte van de pijp het trillingsgetal van de toon: de lengte van de pijp is omgekeerd evenredig met het trillingsgetal van de toon die hij voortbrengt, dat wil zeggen: trillingsgetal maal pijplengte is constant. De pijplengte van een orgel groeit daarom per octaaf met factor 1 2 . Zo brengt een orgel de exponentiële functie mooi in beeld.

5

Los de volgende vergelijkingen in x exact op.

  1. log ( 2 ) + log ( x + 5 ) = 1 + log ( 5 )

  2. log ( 2 ) log ( x 9 ) = 2

  3. x log ( 8 x ) = 3

6

Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau 1000 hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op 5 km hoogte is de luchtdruk ongeveer 500 hectopascal.

a

Hoe groot is de luchtdruk op 1 km hoogte?

De luchtdruk op hoogte h km is L ( h ) hectopascal.

b

Geef een formule voor L ( h ) uitgedrukt in h .

7

Hieronder staan in één figuur de overlevingsgrafieken van het fruitvliegje, de mens, de zoetwaterpoliep (hydra) en de oester. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt; bij elk van de vier soorten is begonnen met 1000 exemplaren. Op de horizontale as is een lineaire schaal gebruikt; daarop is de relatieve leeftijd uitgezet (de maximale leeftijd van elke soort is gesteld op 1 ).

De mens wordt hoogstens 100 jaar oud.

a

Waar op de horizontale as staat jouw huidige leeftijd?

b

Bij welk van de vier soorten is de sterfte onder de jeugd het grootst?

De grafiek van de mens is maar een gemiddelde. Je zou een aparte grafiek kunnen maken voor ontwikkelingslanden en rijke landen.

c

Hoe zouden die twee grafieken liggen ten opzichte van dit gemiddelde?

d

Welk getal moet er op de verticale as halverwege 1 en 10 staan? En halverwege 100 en 1000 ?

De zoetwaterpoliep kan hoogstens 60 dagen oud worden. We beginnen weer met 1000 exemplaren.
Het aantal dat x dagen of langer leeft, noemen we H ( x ) .

e

Hoe groot is H ( 20 ) ? En H ( 30 ) ?

De grafiek van H is een rechte lijn, dankzij de logaritmische schaal op de verticale as. We zullen nog zien dat H dan een exponentiële functie is van x .

f

Wat is de groeifactor per 20 dagen?
En per dag (in twee decimalen)?
Stel een formule op voor H als functie van x .

8

In het onderstaande artikel uit de Volkskrant is sprake van een enorme groei van de nijlbaars in het Victoriameer. In 25 jaar tijd is het aantal nijlbaarzen toegenomen van 400 in 1960 tot 400 miljoen in 1985. Veronderstel dat er geen maatregelen tegen de nijlbaars zijn getroffen.
Dan zal de groei exponentieel zijn.

a

Bereken hoeveel nijlbaarzen er waren halverwege de periode 1960-1985, dus na 12 jaar.

b

Bereken de groeifactor per jaar en stel een formule op voor het aantal nijlbaarzen N , j jaar na 1960.

c

Met hoeveel procent neemt het aantal nijlbaarzen per jaar toe? En met hoeveel procent per dag? Let op: dagpercentage 1 365 jaarpercentage.

d

In welk jaar waren er 500.000 nijlbaarzen?
Bereken dat aantal langs algebraïsche weg.

9

Oplopende rente
Bank A adverteert met de volgende aanbieding:
1ejaar 3,00 % rente
2ejaar 3,25 % rente
3ejaar 3,40 % rente
4ejaar 3,55 % rente
5ejaar 5,00 % rente
Wie spaargeld inlegt bij bank A voor een periode van 5 jaar, krijgt dus het eerste jaar 3,00 % rente, het tweede jaar 3,25 % en het derde jaar 3,40 % en zo verder.
Neem aan dat bank B een vast rentepercentage per jaar aanbiedt voor een periode van 5 jaar.

Iemand wil een bedrag inleggen bij een bank voor een periode van 5 jaar.

a

Onderzoek bij welk vast rentepercentage per jaar van bank B hij bij beide banken hetzelfde eindbedrag in handen krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

Als op een rekening het eerste jaar 3 % rente uitgekeerd wordt en in het tweede jaar 5 %, dan levert dit niet hetzelfde eindbedrag op als wanneer er zowel in het eerste als in het tweede jaar 4 % rente uitgekeerd wordt. In het eerste geval is de jaarlijkse groeifactor immers 1,03 1,05 .
Om precies hetzelfde resultaat te bereiken, zou je voor de jaarlijkse groeifactor het zogenoemde meetkundig gemiddelde moeten nemen. Het meetkundig gemiddelde van twee positieve getallen a en b is a b .
In Wikipedia wordt over het meetkundig gemiddelde de volgende bewering gedaan: de logaritme van het meetkundig gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde van de afzonderlijke logaritmen. In formule wordt dit voor de getallen a en b :
log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) 2 .
Met behulp van de rekenregels voor logaritmen kun je laten zien dat bovenstaande formule geldt voor alle positieve getallen a en b .

b

Laat zien dat de formule log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) 2 juist is.