1

a

$h = 0 \Leftrightarrow 20 t - 5 t^{2} = 0 \Leftrightarrow 5 t (t - 4) = 0$ , dus op $t = 0$ en $t = 4$ is de pijl op de grond. Dus $4$ seconden.

b

De grafiek is een parabool (want $h$ is een kwadratische functie van $t$ , dus op $t = 2$ is de pijl op zijn hoogste punt; $h (2) = 20$ meter.

c

$0$

d

$\frac{h (1 \frac{1}{2}) - h (1)}{1 \frac{1}{2} - 1} = 7,5$ m/s.

e

$\frac{h (1,001) - h (1)}{0,001} = 9,995$ m/s

f

$10$ m/s?

g

$v (t) = 20 - 10 t$ , dus $v (10) = 10$ .

2

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x$ ;
$g (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 3$ , dus $g^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x + 6$ ;
$h (x) = 8 x$ , dus $h^{'} (x) = 8$ ;
$k (x) = 8$ , dus $k^{'} (x) = 0$ .

3

a

$6$ euro

b

Teken de lijn door $O (0,0)$ en het punt van de grafiek bij $q = 5$ . Deze snijdt de grafiek in een punt waarbij $q = 3$ , dus bij $3000$ stuks.

c

Teken de lijn door $O (0,0)$ en het punt van de grafiek bij $q = 2$ en de lijn door $O (0,0)$ en $q = 5$ . De eerste lijn is steiler, dus de gemiddelde kosten bij $2000$ stuks zijn hoger.

d

Teken de lijn door $O (0,0)$ die de grafiek aan de onderkant raakt. Dit gebeurt in een punt bij $q = 4$ , dus bij $4000$ stuks

e

Teken de raaklijnen in de bijbehorende punten. Bij $q = 2$ loopt hij minder steil, dus bij $2000$ stuks.

4

a

$M K = \frac{d K}{d q} = 1 \frac{1}{2} q^{2} - 8 q + 12$

b

$\frac{K}{q} = \frac{1}{2} q^{2} - 4 q + 12$

c

$M K (q) = G K (q) \Leftrightarrow 1 \frac{1}{2} q^{2} - 8 q + 12 = \frac{1}{2} q^{2} - 4 q + 12$ $\Leftrightarrow q^{2} - 4 q = 0$ , dus $q = 0$ of $q = 4$ . Komt overeen met het antwoord uit opgave 3d.

5

a

-

b

-

6

Voor $n = 0$ is de vraag of $f^{'} (x) = 0 \cdot x^{0 - 1}$ als $f (x) = x^{0}$ . Dat is zo, want $f (x) = x^{0} = 1$ is constant dus $f^{'} (x) = 0 = 0 \cdot x^{0 - 1}$ .
Als $n = 1$ , dan $f (x) = x^{1} = x$ , dus $f^{'} (x) = 1 = x^{0}$ .

7

a

-

b

$f^{'} (x)$ $= ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .

c

Als $n = ‐ 1$ , dan $x^{n} = x^{‐ 1} = \frac{1}{x}$ , en $n \cdot x^{n - 1} = ‐ x^{‐ 2} = ‐ \frac{1}{x^{2}}$ , klopt dus.

8

$f^{'} (x) = ‐ 1$ ;
$g^{'} (x) = 0$ ;
$h^{'} (x) = 4 - \frac{1}{x^{2}}$ ;
$k^{'} (x) = 5 x^{4} + 4 x - \frac{1}{x^{2}}$ .

9

a

Breedte: $x + 12$ , lengte $16 + \frac{1200}{x}$ .

b

$O (x) = (12 + x) (16 + \frac{1200}{x})$ ; haakjes wegwerken geeft het gevraagde resultaat.

c

$O^{'} (x) = 16 - \frac{14.400}{x^{2}}$ , dus $O^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{14.400}{16}$ , dus $O (x)$ is extreem als $x = \frac{120}{4} = 30$ . Met de GR blijkt dit een minimum te zijn.
De afmetingen zijn $42$ bij $56$ meter.

10

a

$x^{4} - 2 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow$ $x = 0 of x = \pm \sqrt{2}$ .

b

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow$ $4 x (x^{2} - 1) = 0$ $\Leftrightarrow x = 0 of x = \pm 1$ .

c

$f (2) = 8$ en $f^{'} (2) = 24$ , dus de raaklijn is de lijn door het punt $(2,8)$ met helling $24$ . Een vergelijking is: $y = 24 x - 40$ .

11

a

De onder- en bovenkant samen dragen $2 π x^{2}$ bij aan $O$ en de mantel (de 'zijkant') $2 π x h$ . Er geldt: $π x^{2} h = 1$ , dus $h = \frac{1}{π x^{2}}$ , dus de mantel heeft oppervlakte $2 π x h = 2 π x \cdot \frac{1}{π x^{2}} = \frac{2}{x}$ .

b

$\frac{d O}{d x} = ‐ \frac{2}{x^{2}} + 4 π x$

c

$\frac{d O}{d x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{2}} = 4 π x$ $\Leftrightarrow x^{3} = \frac{2}{4 π} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{2 π}}$

12

a

Grafiek 4 hoort bij model A want de helling is constant,
grafiek 1 hoort bij model B want de helling neemt voortdurend af,
grafiek 3 hoort bij model C want de helling neemt eerst toe en dan af maar blijft positief,
grafiek 2 hoort bij model D want de helling neemt eerst toe en dan af en wordt negatief.

b

$M O = ‐ 0,03 q^{2} + 2 b \cdot q$ , $M O = 0$ als je hierin voor $q = q_{\max}$ invult. Dus $‐ 0,03 {q_{\max}}^{2} + 2 b \cdot q_{\max} = 0$ . Dus $q_{\max} = 66,7 b$ , want $q_{\max} \neq 0$ . De grafiek is dus een rechte lijn.