8.2 De kettingregel >

Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

In deel 1 van 4ac hebben we in paragraaf 2.6 In stappen berekenen kettingen van functies bekeken.

Voorbeeld 1
Een Hyundai i20 rijdt $1$ op $20$ . Eurobenzine kost $1,70$ per liter (prijzen van 2013). Als je weet hoeveel km ( $R$ ) een reis lang is, kun je berekenen hoeveel liter ( $B$ ) benzine die reis kost. Vervolgens kun de benzinekosten $K$ (in euro) van de reis berekenen. Je hebt de ketting $R \to B \to K$ om uit de lengte van de reis de benzinekosten te berekenen.

Voorbeeld 2

Van een kubus noemen we de ribbe $r$ (in cm), de totale oppervlakte (dus van zes grensvlakken) $O$ (in ${cm}^{2}$ ) en de inhoud $V$ (in ${cm}^{3}$ ).
Er geldt: $O = 6 r^{2}$ en $V = r^{3}$ .
Als je $V$ kent, kun je $r$ uitrekenen en daarmee $O$ .
Je hebt de ketting $V \to r \to O$ om uit de inhoud de oppervlakte te berekenen.

Gegeven is het verband $u = 2 x + 1$ en $y = u^{2}$ . Als je $x$ kent, kun je $u$ berekenen en daaruit $y$ .
Dit geeft de ketting $x \to u \to y$ .

Bereken $y$ als $x = 3$ .
Druk $y$ uit in $x$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Doe hetzelfde voor de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = ‐ 2 x$ en $y = u^{3}$ .

Doe hetzelfde voor de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = 2 x^{2}$ en $y = u^{2}$ .

Voorbeeld
Gegeven is de functie $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .
Dit is de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $y = \frac{1}{u}$ en $u = x^{2} + 1$ .
Van beide schakels $y = \frac{1}{u}$ en $u = x^{2} + 1$ ken je de afgeleide, namelijk $\frac{d y}{d u}$ $= ‐ \frac{1}{u^{2}}$ en $\frac{d u}{d x}$ $= 2 x$ .
Hoe vind je hieruit nu $\frac{d y}{d x}$ ?
Dat is het belangrijkste onderwerp van deze paragraaf.

In opgave 13 hebben we drie kettingen bekeken.

$u = 2 x + 1$ , $y = u^{2}$ , dus $y = 4 x^{2} + 4 x + 1$ ;
$u = ‐ 2 x$ , $y = u^{3}$ , dus $y = ‐ 8 x^{3}$ ;
$u = 2 x^{2}$ , $y = u^{2}$ , dus $y = 4 x^{4}$ .

Voor de eerste ketting geldt: $\frac{d u}{d x} = 2$ , $\frac{d y}{d u} = 2 u$ en $\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$ .

Bereken $\frac{d u}{d x}$ , $\frac{d y}{d u}$ en $\frac{d y}{d x}$ ook voor de andere twee kettingen.

Zie jij een verband tussen de afgeleide van de ketting ( $\frac{d y}{d x}$ ) enerzijds en de afleide van de schakels ( $\frac{d u}{d x}$ en $\frac{d y}{d u}$ ) anderzijds?

Op de grafiek van de functie $f$ in de figuur ligt het punt $(1,2)$ . De raaklijn in dat punt aan de grafiek heeft helling $3$ .

Geef op grond hiervan een schatting van $f (1,002)$ in drie decimalen. Licht je antwoord toe.

Er geldt: $f (x) = ‐ 3 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x + 2$ .

Ga na dat $f (1) = 2$ en $f^{'} (1) = 3$ en bereken met de formule voor $f (x)$ in drie decimalen $f (1,002)$ .

Bij een chemisch proces hangt het rendement $R$ (in procenten) af van de temperatuur $T$ (in graden Celsius). Zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

In figuur 2 kun je voor een bepaalde dag de temperatuur $T$ om $t$ uur aflezen.

Hoe groot is het maximale rendement?

Op welke tijdstippen is het rendement maximaal?

Tussen $8$ uur en $9$ uur steeg de temperatuur van $12,5$ °C tot $15,2$ °C.

Wat gebeurde er toen met het rendement?

Schets de grafiek van $R$ als functie van $t$ .

In drie punten van de $t$ - $T$ -grafiek is de helling gemeten:

$t$	$8$	$12$	$16$
$T$	$12,5$	$17,9$	$17,3$
$T^{'} (t)$	$3,0$	$0,6$	$‐1,8$

Wat betekent $T^{'} (8) = 3,0$ voor de temperatuurverandering rond $8$ uur?

Het is $8$ uur.

Wat gebeurt er ongeveer met de temperatuur $T$ als de tijd $t$ met $0,01$ uur toeneemt?

Bij de bijbehorende temperaturen is in de $T$ - $R$ -grafiek de helling gemeten.

$T$	$12,5$	$17,9$	$17,3$
$R$	$89,4$	$87,8$	$89,5$
$R^{'} (T)$	$0,5$	$‐0,9$	$‐0,5$

Toon aan dat om $8$ uur het rendement steeg met een snelheid van $1,5$ % per uur.

Om $12$ uur nam het rendement af.

Hoe snel (in % per uur)?

Nam het rendement om $16$ uur toe of af? Hoe snel?

Welk verband is er tussen $R^{'} (t)$ , $R^{'} (T)$ en $T^{'} (t)$ ?

In deze opgave ging het om de ketting $t \to T \to R$ .
Als de temperatuur $T$ op een bepaald moment $t$ toeneemt met $3$ °C per uur en het rendement $R$ bij die temperatuur $T$ toeneemt met $0,5$ % per °C, dan neemt $R$ toe
met $3 \cdot 0,5 = 1,5$ % per uur.
Dus: als $T^{'} (t) = 3$ en $R^{'} (T) = 0,5$ , dan $R^{'} (t) = 3 \cdot 0,5 = 1,5$ .
Dit volgt uit het feit dat $R^{'} (t) \approx \frac{Δ R}{Δ T} \cdot \frac{Δ T}{Δ t} \approx R^{'} (T) \cdot T^{'} (t)$ .
Dit is een voorbeeld van de kettingregel.

Kettingregel
Gegeven is de ketting $x \to u \to y$ , dus $u$ is een functie van $x$ en $y$ is een functie van $u$ . Dan is $y$ ook een functie van $x$ en:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ofwel:
$y^{'} (x) = y^{'} (u) \cdot u^{'} (x)$ .

Voorbeeld:

Gevraagd wordt de afgeleide van de functie $f : x \to \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

De functie $f$ is de ketting: $x \to u \to y$ , met $u (x) = x^{2} + 1$ en $y (u) = \frac{1}{u}$ . Er geldt: $u^{'} (x) = 2 x$ en $y^{'} (u) = ‐ \frac{1}{u^{2}}$ ,
dus $y^{'} (x) = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot 2 x = ‐ \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Voorbeeld
Gevraagd wordt de afgeleide van de functie
$g : x \to {(x^{3} + 4 x)}^{10}$ .

De functie $g$ is de ketting: $x \to u \to y$ , met $u (x) = x^{3} + 4 x$ en $y (u) = u^{10}$ .
$u^{'} (x) = 3 x^{2} + 4$ en $y^{'} (u) = 10 u^{9}$ , dus
$y^{'} (x) = y^{'} (u) \cdot u^{'} (x) = 10 (3 x^{2} + 4) {(x^{3} + 4 x)}^{9}$ .

Differentieer, vereenvoudigen hoeft niet.

$f : x \to {(x + \frac{1}{x})}^{3}$	$g : x \to \frac{1}{x^{10}}$
$h : x \to \frac{1}{2 x + 1}$	$k : x \to \frac{2}{1 - 2 x}$

Ga na dat je $g^{'} (x)$ kunt vereenvoudigen tot $‐ 10 x^{‐ 11}$ .
Dus de regel dat de afgeleide van de functie $x \to x^{n}$ gelijk is aan $x \to n \cdot x^{n - 1}$ , is ook juist voor $n = ‐ 10$ .

Voor elk getal $a$ geldt:
$\frac{d}{d x} x^{a} = a \cdot x^{a - 1}$ , in het bijzonder: $\frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

We laten zien hoe je de regel hierboven bewijst voor bijvoorbeeld $a = \frac{1}{3}$ .
Bekijk de ketting $x \to u \to y$ , met $u = x^{\frac{1}{3}}$ en $y = u^{3}$ .
Dan geldt: $y = x$ , dus $\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = 1$ ; we weten: $\frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$ , dus $\frac{d u}{d x}$ $= \frac{1}{3 u^{2}}$ $= \frac{1}{3} x^{‐ \frac{2}{3}}$ .

Voorbeeld:

De afgeleide van de functie $f : x \to x^{2} \sqrt{x}$ vind je door $x^{2} \sqrt{x}$ te schrijven als $x^{2 \frac{1}{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 2 \frac{1}{2} x^{1 \frac{1}{2}} = 2 \frac{1}{2} x \sqrt{x}$ .
De functie $g : x \to \frac{1}{x \sqrt{x}}$ kun je schrijven als $g : x \to x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ , dus $g^{'} (x) = ‐ 1 \frac{1}{2} x^{‐ 2 \frac{1}{2}} = ‐ \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{x}}$ .
De functie $h : x \to \sqrt{x^{2} + 1}$ is de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = x^{2} + 1$ en $y = \sqrt{u}$ .
Dus $h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2 x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
De afgeleide van de functie $k : x \to \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 x^{2}}$ vind je door de afgeleide van de functie $p : x \to \sqrt{x^{2} + 1}$ en van de functie $q : x \to \frac{1}{2 x^{2}}$ te bepalen en die vervolgens op te tellen (je past de somregel toe).
De afgeleide van $p$ hebben we al bepaald, zie boven, en de afgeleide van $q$ vind je door $\frac{1}{2 x^{2}}$ te schrijven als $\frac{1}{2} x^{‐ 2}$ , dus $q^{'} (x) = ‐ x^{‐ 3}$ en $k^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x^{3}}$ .

Opmerking:

Het is dus zaak dat je de rekenregels voor machten die in het vorige hoofdstuk herhaald zijn, kunt toepassen.

Differentieer, vereenvoudigen hoeft niet.

$f : x \to \sqrt[3]{2 x + 1}$	$g : x \to \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x + 2}$
$h : x \to \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$	$k : x \to 2 x \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$

Een producent weet uit ervaring dat bij een productie van $q$ stuks per week de totale kosten (in euro's) bij benadering gelijk zijn aan $4 q^{1,25}$ . Hij verkoopt zijn producten voor $40$ euro per stuk. De totale winst is het verschil van de totale opbrengst en de totale kosten.

Bereken langs algebraïsche weg de maximale totale winst per week.

Van een plaat van $10$ dm breed, kun je een V-vormige goot maken, zie figuur. De capaciteit van de goot $C$ is de oppervlakte van de doorsnede.

Wannneer is $C$ groter, als $x = 3$ of $x = 4$ ?

Druk $h$ en vervolgens $C$ uit in $x$ .

Laat zien dat je $C$ kunt schrijven als $C = \sqrt{25 x^{2} - x^{4}}$ en geef een formule voor $\frac{d C}{d x}$ .

Bereken exact bij welke waarde van $x$ de capaciteit maximaal is.

Voorbeeld:

De kettingregel kun je ook op een ketting van meer dan twee schakels toepassen.
Als je de ketting $x \to u \to v \to y$ hebt, geldt: $\frac{d v}{d x} = \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ en $\frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ , dus $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .
We passen dit toe op de functie: $f : x \to {({(x^{2} + 1)}^{3} + 2)}^{4}$ .
Dit is de ketting $x \to u \to v \to y$ met $u = x^{2} + 1$ , $v = u^{3} + 2$ en $y = v^{4}$ , dus $\frac{d y}{d x} = 4 v^{3} \cdot 3 u^{2} \cdot 2 x =$
$24 {(u^{3} + 2)}^{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot x$ $= 24 {({(x^{2} + 1)}^{3} + 2)}^{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot x$ .

Een zwemmer bevindt zich op tijdstip $t = 0$ op plek $Z$ , $4$ hm uit de kust. Zijn vriendin zit op het strand op plek $V$ . Die situatie is hiernaast getekend. De zwemmer zwemt recht naar de kust, naar plek $P$ . De afstand $P V$ bedraagt $3$ hm. Hij zwemt met een constante snelheid van $0,5$ hm per minuut. We rekenen de tijd $t$ in minuten.
Hoek $Z P V$ is recht.

Bereken de afstand $V Z$ op tijdstip $t = 6$ .

De afstand $Z P$ noemen we $a$ (in hm) en de afstand $Z V$ noemen we $c$ (in hm). Je kunt de berekening bij onderdeel a in drie stappen uitvoeren: stappen: $t \to a \to b \to c$ , met $a = 4 - 0,5 t$ , $b = 9 + a^{2}$ en $c = \sqrt{b}$ .
Dit is een ketting van drie functies.

Bereken de afgeleide van elk van de drie schakels:
$\frac{d a}{d t}$ , $\frac{d b}{d a}$ en $\frac{d c}{d b}$ .

Bereken $\frac{d c}{d t}$ door het product van $\frac{d a}{d t}$ , $\frac{d b}{d a}$ en $\frac{d c}{d b}$ te berekenen en uit te drukken in $t$ .