Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Het product van twee functies

In een badplaats neemt het aantal overnachtingen de laatste jaren gelijkmatig toe. Het bedrag dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven daalt echter.
We bekijken drie functies:

$O (x)$ is het aantal overnachtingen in duizenden, $x$ jaar na 2010,
$U (x)$ is het bedrag (in euro’s) dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven, $x$ jaar na 2010,
$T (x)$ is het totale bedrag in duizenden euro’s dat de overnachtingen opleveren, $x$ jaar na 2010.

Veronderstel dat $O (x) = 4 + 0,25 x$ en $U (x) = 60 - 2 x$ .

Bereken $T (7)$ .

Geef een formule voor $T (x)$ .
Schrijf de formule zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

De grafieken van $O$ en $U$ zijn rechte lijnen.

Welke vorm heeft de grafiek van de productfunctie $T$ ?

In welk jaar ontving de badplaats het meest van de toeristen? Bereken dit jaartal langs algebraïsche weg.

Bepaal $O^{'} (x)$ , $U^{'} (x)$ en $T^{'} (x)$ .

Gegeven zijn twee functies $f$ en $g$ . We noemen de functie $p$ met $p (x) = f (x) \cdot g (x)$ de productfunctie van de functies $f$ en $g$ .
Voorbeeld
Als $f : x \to x - 1$ en $g : x \to x^{2}$ , dan is het product van $f$ en $g$ de functie $p : x \to x^{3} - x$ .
In deze paragraaf zoeken we uit hoe je de afgeleide van $p$ kunt bepalen als je die van $f$ en $g$ kent.
In opgave 22e heb je al gezien dat niet geldt: $p^{'} (x) = f^{'} (x) \cdot g^{'} (x)$ .

Een aardappelteler brengt op 1 juli een partij van $600$ kg aardappelen naar de veiling. Hij verkoopt deze partij voor $€ 0,40$ per kg.

Bereken de opbrengst op 1 juli.

Als hij op 2 juli weer $600$ kg aardappelen zou verkopen, maar er $4$ eurocent per kg meer voor zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?

Als hij op 2 juli $15$ kg extra naar de veiling zou brengen en weer $€ 0,40$ per kg zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?

Op 2 juli brengt de aardappelteler $615$ kg aardappelen naar de veiling en verkoopt deze voor $€ 0,44$ per kg. Hij berekent snel dat de opbrengst $€ 30, -$ hoger zal zijn dan op 1 juli.

Welke berekening heeft de aardappelteler gemaakt? Wat vind jij van deze berekening?

De productregel

We bekijken de oppervlakte $O$ van een rechthoek met afmetingen $b$ en $l$ . De lengte $l$ en de breedte $b$ variëren in de tijd en de oppervlakte $O$ dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = \frac{1}{2}$ , $l = 15$ en $l^{'} = 0$ . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)

Hoe groot is dan $O^{'}$ ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = 0$ , $l = 15$ en $l^{'} = 2$ .

Hoe groot is dan $O^{'}$ ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = \frac{1}{2}$ , $l = 15$ en $l^{'} = 2$ .
Voor dit geval berekent Anneke: $O^{'} = 23 \frac{1}{2}$ .

Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?

We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 24.
$b$ , $l$ en $O$ bekijken we als functie van de tijd $t$ .
De tijd $t$ groeit met $Δ t$ . De breedte groeit met $Δ b$ , de lengte met $Δ l$ en de oppervlakte met $Δ O$ .

Laat zien dat: $Δ O = Δ b \cdot l + b \cdot Δ l + Δ b \cdot Δ l$ .

Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als $Δ l$ en $Δ b$ klein zijn?

Laat zien dat: $\frac{Δ O}{Δ t} = \frac{Δ b}{Δ t} \cdot l + b \cdot \frac{Δ l}{Δ t} + \frac{Δ b}{Δ t} \cdot Δ l$ .

Naarmate $Δ t$ dichter bij $0$ komt, nadert $\frac{Δ O}{Δ t}$ naar $O^{'}$ , $\frac{Δ b}{Δ t} \cdot l$ naar $b^{'} \cdot l$ , $b \cdot \frac{Δ l}{Δ t}$ naar $b \cdot l^{'}$ en $\frac{Δ b}{Δ t} \cdot Δ l$ naar $0$ .

Dus $O^{'} = l^{'} \cdot b + l \cdot b^{'}$ .

Ga na dat Anneke in opgave 24c de juiste waarde voor $O^{'}$ had gevonden.

Productregel
Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ . De functie $p = f \cdot g$ is de productfunctie van $f$ en $g$ .
Dan: $p^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ .

Voorbeeld:

De functie $p : x \to (x^{2} + 1) \sqrt{x}$ is het product van de functies $f : x \to x^{2} + 1$ en $g : x \to \sqrt{x}$ .
Dus $p^{'} (x) = 2 x \cdot \sqrt{x} + (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .
De functie $c : x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ heeft als afgeleide
$c^{'} (x) = 1 \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
NB. De afgeleide van de functie $x \to \sqrt{x^{2} + 1}$ is
$x \to \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ (volgens de kettingregel).

Differentieer de volgende functies met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.

$f : x \to (x^{2} + 3) (2 x - 5)$	$g : x \to {(1 + 4 x)}^{2}$
$h : x \to (5 x + 2) \cdot \sqrt{x}$	$k : x \to (\frac{3}{x} + x) \cdot \sqrt{x}$
$m : x \to (\sqrt{x} + 3) (\frac{1}{x} + 3)$	$n : x \to (2 x + 1) \cdot \sqrt{x^{2} + 2 x}$

$f$ is de functie met $f (x) = (x^{5} - 1) (x^{5} + 1)$ .

Differentieer $f$ op twee manieren.

Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.
Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.

Doe hetzelfde voor de functie $g$ met $g (x) = (1 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$G K$ zijn de gemiddelde kosten in duizenden euro's van een bepaald artikel. Er geldt: $G K = \sqrt{q + \frac{4}{q}}$ , met $q$ het aantal geproduceerde artikelen in honderdtallen.
De grafiek staat hiernaast.

Toon aan: $G K^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{q + \frac{4}{q}}} \cdot (1 - \frac{4}{q^{2}})$ .

Bereken exact bij welk aantal artikelen de gemiddelde kosten minimaal zijn. Hoe groot zijn dan de kosten per stuk?

Een formule voor de marginale kosten is: $M K = G K + q \cdot G K^{'}$ .

Toon dat aan.