Het product van twee functies
1

In een badplaats neemt het aantal overnachtingen de laatste jaren gelijkmatig toe. Het bedrag dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven daalt echter.
We bekijken drie functies:

  • O ( x ) is het aantal overnachtingen in duizenden, x jaar na 2010,

  • U ( x ) is het bedrag (in euro’s) dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven, x jaar na 2010,

  • T ( x ) is het totale bedrag in duizenden euro’s dat de overnachtingen opleveren, x jaar na 2010.

Veronderstel dat O ( x ) = 4 + 0,25 x en U ( x ) = 60 2 x .

a

Bereken T ( 7 ) .

b

Geef een formule voor T ( x ) .
Schrijf de formule zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

De grafieken van O en U zijn rechte lijnen.

c

Welke vorm heeft de grafiek van de productfunctie T ?

d

In welk jaar ontving de badplaats het meest van de toeristen? Bereken dit jaartal langs algebraïsche weg.

e

Bepaal O ( x ) , U ( x ) en T ( x ) .

Gegeven zijn twee functies f en g . We noemen de functie p met p ( x ) = f ( x ) g ( x ) de productfunctie van de functies f en g .
Voorbeeld
Als f : x x 1 en g : x x 2 , dan is het product van f en g de functie p : x x 3 x .
In deze paragraaf zoeken we uit hoe je de afgeleide van p kunt bepalen als je die van f en g kent.
In opgave 22e heb je al gezien dat niet geldt: p ( x ) = f ( x ) g ( x ) .

2

Een aardappelteler brengt op 1 juli een partij van 600 kg aardappelen naar de veiling. Hij verkoopt deze partij voor 0,40 per kg.

a

Bereken de opbrengst op 1 juli.

b

Als hij op 2 juli weer 600 kg aardappelen zou verkopen, maar er 4 eurocent per kg meer voor zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?

c

Als hij op 2 juli 15 kg extra naar de veiling zou brengen en weer 0,40 per kg zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?

Op 2 juli brengt de aardappelteler 615 kg aardappelen naar de veiling en verkoopt deze voor 0,44 per kg. Hij berekent snel dat de opbrengst 30, hoger zal zijn dan op 1 juli.

d

Welke berekening heeft de aardappelteler gemaakt? Wat vind jij van deze berekening?

De productregel
3

We bekijken de oppervlakte O van een rechthoek met afmetingen b en l . De lengte l en de breedte b variëren in de tijd en de oppervlakte O dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 1 2 , l = 15 en l = 0 . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)

a

Hoe groot is dan O ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 0 , l = 15 en l = 2 .

b

Hoe groot is dan O ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 1 2 , l = 15 en l = 2 .
Voor dit geval berekent Anneke: O = 23 1 2 .

c

Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?

4

We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 24.
b , l en O bekijken we als functie van de tijd t .
De tijd t groeit met Δ t . De breedte groeit met Δ b , de lengte met Δ l en de oppervlakte met Δ O .

a

Laat zien dat: Δ O = Δ b l + b Δ l + Δ b Δ l .

b

Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als Δ l en Δ b klein zijn?

c

Laat zien dat: Δ O Δ t = Δ b Δ t l + b Δ l Δ t + Δ b Δ t Δ l .

Naarmate Δ t dichter bij 0 komt, nadert Δ O Δ t naar O , Δ b Δ t l naar b l , b Δ l Δ t naar b l en Δ b Δ t Δ l naar 0 .

Dus O = l b + l b .

d

Ga na dat Anneke in opgave 24c de juiste waarde voor O had gevonden.

Productregel
Gegeven zijn de functies f en g . De functie p = f g is de productfunctie van f en g .
Dan: p = f g + f g .

Voorbeeld:
  1. De functie p : x ( x 2 + 1 ) x is het product van de functies f : x x 2 + 1 en g : x x .
    Dus p ( x ) = 2 x x + ( x 2 + 1 ) 1 2 x .

  2. De functie c : x x 2 + 1 heeft als afgeleide
    c ( x ) = 1 x 2 + 1 + x x x 2 + 1 .
    NB. De afgeleide van de functie x x 2 + 1 is
    x x x 2 + 1 (volgens de kettingregel).

5

Differentieer de volgende functies met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.

f : x ( x 2 + 3 ) ( 2 x 5 )

g : x ( 1 + 4 x ) 2

h : x ( 5 x + 2 ) x

k : x ( 3 x + x ) x

m : x ( x + 3 ) ( 1 x + 3 )

n : x ( 2 x + 1 ) x 2 + 2 x

6

f is de functie met f ( x ) = ( x 5 1 ) ( x 5 + 1 ) .

a

Differentieer f op twee manieren.

  1. Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.

  2. Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.

b

Doe hetzelfde voor de functie g met g ( x ) = ( 1 1 x ) ( 1 + 1 x ) .

7

G K zijn de gemiddelde kosten in duizenden euro's van een bepaald artikel. Er geldt: G K = q + 4 q , met q het aantal geproduceerde artikelen in honderdtallen.
De grafiek staat hiernaast.

a

Toon aan: G K = 1 2 q + 4 q ( 1 4 q 2 ) .

b

Bereken exact bij welk aantal artikelen de gemiddelde kosten minimaal zijn. Hoe groot zijn dan de kosten per stuk?

Een formule voor de marginale kosten is: M K = G K + q G K .

c

Toon dat aan.