Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Hoe goed het economisch met een land gaat, kun je zien aan het zogenaamde bnp, het bruto nationaal product. Dat is wat de inwoners van een land tezamen in een jaar verdienen. Een groot land zal in het algemeen een groter bnp hebben dan een klein land. Maar dat is niet altijd zo. Daarom is het beter te kijken naar het bruto nationaal product per hoofd van de bevolking. In 1990 was het bnp van India $315 \cdot 10^{9}$ dollar; India telde toen $900$ miljoen inwoners. In 1990 was het bnp van Nederland $240 \cdot 10^{9}$ dollar; Nederland telde $15$ miljoen inwoners.

Bereken van beide landen het bnp per hoofd van de bevolking.

Van een zeker land blijft het bnp constant, terwijl de bevolking toeneemt zoals hiernaast is te zien.

Schets de grafiek van het bnp per hoofd van de bevolking.

Het bnp in jaar $x$ noemen we $B (x)$ , het aantal inwoners $A (x)$ .

Geef hiermee een formule voor het bnp per hoofd van de bevolking in jaar $x$ .

Gegeven zijn twee functies $f$ en $g$ . Dan is de quotiëntfunctie $q$ van $f$ en $g$ de functie met $q (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ .

In deze paragraaf zie je hoe je de afgeleide van het quotiënt van $f$ en $g$ kunt vinden als je de afgeleide van $f$ en $g$ kent.

Gegeven zijn de functies $f : x \to x^{2} + x + 1$ en $g : x \to x$ .
De functie $q : x \to \frac{f (x)}{g (x)}$ is de quotiëntfunctie van $f$ en $g$ .

Geef formules voor $f^{'} (x)$ , $g^{'} (x)$ en $q^{'} (x)$ .

(hint)

q^{'} (x)

te bepalen, moet je

q (x)

eerst herschrijven.

Geldt: $q^{'} (x) = \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ ?

De quotiëntregel afleiden

Gegeven zijn de functies $f$ , $g$ en $h$ met $f (x) = 2 x + 1$ ,
$g (x) = x^{2} + 1$ en $h (x) = x^{3} + 2 x$ .

Differentieer de functies $\frac{1}{f}$ , $\frac{1}{g}$ en $\frac{1}{h}$ .

De afgeleide van de functie $g : x \to \frac{1}{n (x)}$ is: $g^{'} : x \to ‐ \frac{n^{'} (x)}{{(n (x))}^{2}}$ . Nu kunnen we de afgeleide van de functie $q$ met $q (x) = \frac{t (x)}{n (x)}$ met de productregel differentiëren. Als volgt.
$q (x) = t (x) \cdot \frac{1}{n (x)}$ , dus $q^{'} (x) = t^{'} (x) \cdot \frac{1}{n (x)} + t (x) \cdot ‐ \frac{n^{'} (x)}{{(n (x))}^{2}}$ .
Dit kun je herschrijven als:
$q^{'} (x) = t^{'} (x) \cdot \frac{n (x)}{{(n (x))}^{2}} + t (x) \cdot ‐ \frac{n^{'} (x)}{{(n (x))}^{2}} = \frac{t^{'} (x) \cdot n (x) - t (x) \cdot n^{'} (x)}{{(n (x))}^{2}}$ .

Quotiëntregel
Als $q = \frac{t}{n}$ , dan $q^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - t \cdot n^{'}}{n^{2}}$ .

Opmerking:

Let op de volgorde:
afgeleide teller × noemer MIN afgeleide noemer×teller
het geheel gedeeld door het kwadraat van de noemer.

Voorbeeld:

Als $f : x \to \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x \cdot 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .
Als $g : x \to \frac{x^{2}}{2 x - 1}$ , dan $g^{'} (x) = \frac{2 x \cdot (2 x - 1) - 2 \cdot x^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

De quotiëntregel toepassen

Bekijk de functies $f$ en $g$ in het voorbeeld hierboven.

Laat zien dat $f^{'} (x) = \frac{4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ en $g^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

Hieronder staan de grafieken van $f$ en $g$ .

Bereken exact de coördinaten van de punten waar de raaklijn aan de grafiek van $f$ respectievelijk $g$ horizontaal is.

Differentieer de volgende functies.

$f : x \to \frac{x + 1}{x - 1}$	$g : x \to \frac{x - 1}{x + 1}$
$h : x \to \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$	$k : x \to \frac{1}{x^{4} + 3 x^{2}}$
$m : x \to \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2}}$	$n : x \to \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Een geneesmiddel wordt door een injectie in het bloed gebracht. De concentratie $c$ (in gewichtsprocenten) na $t$ minuten is te benaderen met de formule $c = \frac{240 t}{t^{2} + 40 t + 100}$ .
Er geldt: $c^{'} (t) = \frac{‐ 240 t^{2} + 24.000}{{(t^{2} + 40 t + 100)}^{2}}$ .

Toon dat aan.

Bereken $c^{'} (0)$ .
Wat zegt dit getal over de concentratie meteen na de injectie?

Hoe groot is de maximale concentratie?
Na hoeveel minuten wordt deze bereikt?

De patiënt mag pas alleen gelaten worden als de concentratie is gezakt tot $1$ %.

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal hoeveel minuten na de injectie dat het geval is.

De fabrikant uit de vorige opgave brengt een nieuw geneesmiddel in de handel. Voor dit nieuwe geneesmiddel geldt de formule: $d (t) = \frac{200 t}{{(t + 10)}^{2}}$ , waarbij $d (t)$ de concentratie na $t$ minuten in gewichtsprocenten is.
De fabrikant vergelijkt in een reclamefolder het nieuwe middel met dat van de vorige opgave:

de concentratie neemt aanvankelijk minder snel toe,
de concentratie bereikt een hoger maximum,
de concentratie is eerder gezakt tot $1$ %.

Ga na of de fabrikant de waarheid spreekt.

Gegeven is de functie $y = \frac{20}{3 + {(x + 2)}^{2}}$ .
De grafiek staat hiernaast.

Bereken op twee manieren de coördinaten van de top van de grafiek:

met differentiëren,
met redeneren.