Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Hiernaast staat de grafiek van een of andere functie $f$ . In het punt met eerste coördinaat $‐ 1,2$ is de raaklijn aan de grafiek getekend.

Is $f^{'} (‐ 1,2)$ positief of negatief? Licht je antwoord toe.

De grafiek van $f$ staat ook op het werkblad.

Kleur de punten van de grafiek waar de afgeleide positief is; geef ook de punten aan waar de afgeleide $0$ is.

Een formule voor de functie $f$ is: $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ en los de vergelijking $f^{'} (x) = 0$ exact op.

Teken de grafiek van $f^{'}$ op de GR en ga hiermee na of je antwoord op b hiermee in overeenstemming is.

Aan de afgeleide van een functie kun je zien of de functie daalt of stijgt. Daar waar de afgeleide (de helling) positief is, stijgt de functie; daar waar de afgeleide negatief is, daalt de functie. Dat is met " $+$ " en " $-$ " aangegeven in het plaatje.
In de punten waar de afgeleide $0$ is, is een horizontaal raaklijntje getekend.

Als $f^{'} (x) > 0$ voor alle $x$ met $a < x < b$ , dan is $f$ stijgend op het interval $[a, b]$ .
Als $f^{'} (x) < 0$ voor alle $x$ met $a < x < b$ , dan is $f$ dalend op het interval $[a, b]$ .
Als $f^{'} (x) = 0$ voor alle $x$ met $a < x < b$ , dan is $f$ constant op het interval $[a, b]$ .

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{5} x^{2} - 2 x + 6$ .
Beantwoord de volgende vragen met behulp van $f^{'} (x)$ .

Op welk $x$ -interval is $f$ stijgend?
Op welk $x$ -interval is $f$ dalend?
Controleer je antwoorden met de grafiek op de GR.

In het plaatje staan de grafieken van drie derdegraadsfuncties: $f : x \to x^{3} - 12 x$ , $g : x \to x^{3}$ en $h : x \to x^{3} + 12 x$ .

Bereken de afgeleide functies $f^{'} (x)$ , $g^{'} (x)$ en $h^{'} (x)$ .

Leg uit hoe je aan $h^{'} (x)$ kunt zien dat de functie $h$ overal stijgend is.

Leg uit hoe je aan $f^{'} (x)$ kunt zien dat de grafiek van $f$ dalend is op het $x$ -interval $[‐ 2,2]$ .

Weet je nu welke van de drie de grafiek van $f$ is? En welke de grafiek van $h$ is?

$f : x \to \frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 27 x$
Er zijn twee punten op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is.

Bereken de coördinaten van die punten exact.

Op welk $x$ -interval is $f$ dalend? Op welke $x$ -intervallen is $f$ stijgend?

Laat zien dat $f^{'} (x) = {(x - 6)}^{2} - 9$ .

Leg uit hoe je aan deze laatste formule kunt zien dat de helling $f^{'} (x)$ het kleinst is als $x = 6$ .
Hoe groot is die kleinste helling?

Hiernaast staat de grafiek van de vijfdegraadsfunctie:
$f : x \to \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{3} + 5 x + 2$ .

Er geldt: $f^{'} (x) = (x^{2} - 5) (x^{2} - 1)$ . Hieruit volgt dat de grafiek van $f$ vier punten met een horizontale raaklijn heeft.

Laat dat zien en bereken de eerste coördinaat van elk van deze punten.

In De Volkskrant van 4 maart 2016 staat: De stijging van de (melk)productie vlakt af.
In figuur 1 staan vier grafieken.

figuur 1

Neem aan: langs de $x$ -as de tijd is uitgezet en langs de $y$ -as de melkproductie.

Welk van de vier grafieken past bij de kop uit de Volkskrant?

Op elk van de grafieken is één van de volgende vier termen toenemend stijgend, afnemend stijgend, toenemend dalend, afnemend dalend van toepassing.

Welke term hoort bij welke grafiek?

Bij de vier grafieken hierboven horen vier functies. Twee van de vier functies hebben een negatieve afgeleide.

Welke? Licht je antwoord toe.

In figuur 2 staan de grafieken van de afgeleide van de functies uit figuur 1, maar in een andere volgorde.

figuur 2

Welke grafiek uit figuur 2 hoort bij welke uit figuur 1?

Een fabrikant van wegwerpaanstekers heeft een onderzoek laten uitvoeren naar het verband tussen de productie en de kosten. Het onderzoek leverde de volgende formule op: $K = 0,005 q^{3} - 0,12 q^{2} + 1,6 q$ . Hierbij is $q$ de productie in duizendtallen en $K$ de kosten in duizenden euro. Hieronder staat de bijbehorende grafiek.

Lees uit de grafiek af voor welke waarden van $q$ de kosten $K$ afnemend stijgend zijn.

Er geldt: $M K = 0,015 {(q - 8)}^{2} + 0,64$ .

Toon dat aan.

De marginale kosten zijn bij elke productie positief.

Hoe volgt dat uit de formule?
Hoe blijkt dat uit de grafiek?

Er is een productie waarbij de marginale kosten minimaal zijn.

Hoe bepaal je die met de formule?
Hoe lees je die af uit de grafiek?

Naast de vier soorten groeisnelheid die hierboven genoemd worden, heb je ook nog constante groeisnelheid. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn.

De hoogte van een boom hangt af van zijn leeftijd. Hieronder staat hoe hoog een fijnspar (alias de kerstboom) gemiddeld is op verschillende leeftijden.

leeftijd (jaar)	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
hoogte (meter)	$5$	$10,5$	$16$	$20,5$	$24,5$	$28$

In een bos zijn de meeste bomen langer dan $20$ meter.

Hoelang is het minstens geleden dat ze werden geplant?

Hoe hoog is een fijnspar van $45$ jaar ongeveer? En van $22$ jaar?

In een ander bos is er een aantal jaren na de eerste aanplant een tweede gevolgd. Het hoogteverschil tussen de bomen in de eerste en in de tweede aanplant is nu ongeveer $9$ meter.

Kun je hieruit de leeftijd van de bomen afleiden?

Hoe groot is het leeftijdsverschil ongeveer?

Omdat de groei van de fijnspar geleidelijk verloopt, kun je van de groei een doorlopende grafiek schetsen.

Doe dat; zet de leeftijd af op de horizontale as en de hoogte op de verticale as.

We gaan ervan uit dat de groeisnelheid op het leeftijdsinterval $[10,30]$ constant is.

Geef een formule voor het verband tussen de hoogte $h$ van de boom in meters en de leeftijd $l$ in jaren.

In opgave 44b heb je de hoogte van een boom van $45$ en $22$ jaar moeten schatten. Waarschijnlijk ben je er bij de berekening van uitgegaan dat de groeisnelheid het interval $[40,50]$ en $[20,30]$ constant is.

Bij constante groeisnelheid is er een lineair verband tussen de hoeveelheid en de tijd: de grafiek is een rechte lijn. Als je bij zo’n groei de twee punten van de grafiek kent, kun je een derde punt van de grafiek berekenen. Als het derde punt tussen de twee bekende punten in ligt, spreken we bij de berekening van interpolatie.
Als het derde punt buiten de twee bekende punten in ligt, spreken we van extrapolatie.

Een goedje groeit gelijkmatig. Om $12$ uur is er $10$ kg, om $20$ uur is er $34$ kg.

Bereken met interpolatie de hoeveelheid van het goedje om $14$ uur. Schrijf je berekening op.

Bereken met extrapolatie de hoeveelheid om $23$ en om $10$ uur. Schrijf je berekening op.

Een ander goedje groeit ook gelijkmatig. Na $17$ uur is er $50$ kg en na $22$ uur is er $47$ kg.
Hier is dus sprake van negatieve groei.

Bereken de hoeveelheid na $19$ uur met interpolatie en na $10$ uur met extrapolatie.

Een goedje groeit in de tijd. Op tijdstip $t = 1$ is de hoeveelheid $h = 2$ en op tijdstip $t = 7$ is de hoeveelheid $h = 4$ . Jaap gaat ervan uit dat er sprake is van constante groeisnelheid en berekent hieruit de hoeveelheid op andere tijdstippen met inter- en extrapoleren.
Als de groeisnelheid niet constant is zit hij ernaast. Neem aan dat er sprake is van afnemende stijging.

Is de door Jaap berekende hoeveelheid op $t = 5$ groter of kleiner dan de werkelijke hoeveelheid? En op $t = 12$ ?
Licht je antwoorden toe.