1

a

Positief, want het is de helling in het punt met eerste coördinaat $‐ 1,2$ .

b

De punten zijn groen gekleurd. De punten waar de afgeleide $0$ is zijn aangegeven met een open bolletje.

c

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

d

Met de GR. Je krijgt een dalparabool met top $(0,-3)$ . Bij het stuk dat je niet groen gemaakt hebt, moet de grafiek op de GR onder de $x$ -as liggen.

2

$f^{'} (x) = \frac{2}{5} x - 2$
$\frac{2}{5} x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 5$ $\Leftrightarrow$ $f$ stijgend
$\frac{2}{5} x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 5$ $\Leftrightarrow$ $f$ dalend

3

a

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ ; $g^{'} (x) = 3 x^{2}$ ; $h^{'} (x) = 3 x^{2} + 12$

b

$h^{'} (x) > 0$ voor alle $x$ .

c

Als $‐ 2 < x < 2$ geldt: $f^{'} (x) < 0$ .

d

Ja, zie figuur. Misschien moet je nog opmerken dat de grafiek van $h$ 'boven' die van $g$ ligt voor positieve waarden van $x$ .

4

a

$f^{'} (x) = x^{2} - 12 x + 27$ ;
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x + 27 = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (x - 9) = 0$ , dus in $(3,36)$ en in $(9,0)$ .

b

Dalend als $f^{'} (x) = (x - 3) (x - 9) < 0$ , dus als $3 < x < 9$ ,
stijgend als $f^{'} (x) = (x - 3) (x - 9) > 0$ , dus als $x < 3$ of $x > 9$ .
(Met de GR kun je zien waar de grafiek van de afgeleide boven/onder de $x$ -as ligt.)

c

$f^{'} (x) = x^{2} - 12 x + 27 = {(x - 6)}^{2} - 36 + 27 = {(x - 6)}^{2} - 9$

d

${(x - 6)}^{2} \geq 0$ voor elke $x$ , dus ${(x - 6)}^{2} - 9 \geq ‐ 9$ .
Als $x = 6$ is de helling minimaal, namelijk $‐ 9$ .

5

$f^{'} (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ ; als je de haakjes van $(x^{2} - 5) (x^{2} - 1)$ wegwerkt, krijg je hetzelfde.
$(x^{2} - 5) (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 5 of x^{2} = 1$ $\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{5} of x = \pm 1$ , dus er zijn vier punten met een horizontale raaklijn, namelijk de punten met eerste coördinaat $‐ \sqrt{5}$ , $‐ 1$ , $1$ en $\sqrt{5}$ .

6

a

Nummer 2.

b

1: afnemend dalend; 2: afnemend stijgend; 3: toenemend stijgend; 4: toenemend dalend

c

Een dalende functie heeft een negatieve afgeleide, dus 1 en 4.

d

A bij 4, B bij 3, C bij 1 en D bij 2.

7

a

Voor $0 \leq q \leq 8$ .

b

$M K = \frac{d K}{d q} = 0,015 q^{2} - 0,24 q + 1,6$ ; als jede haakjes van $0,015 {(q - 8)}^{2} + 0,64$ wegwerkt, krijg je hetzelfde.

c

$0,015 {(q - 8)}^{2}$ is groter of gelijk aan $0$ voor elke waarde van $q$ , vanwege het kwadraat.
Uit de grafiek blijkt het dat als volgt: de functie $K$ is stijgend, dus de afgeleide is positief.

d

$0,015 {(q - 8)}^{2} + 1,6$ is minimaal als ${(q - 8)}^{2}$ minimaal is. Dat is voor $q = 8$ .
In de grafiek zie je dat deze minimale helling heeft als $q = 8$ .

8

a

$40$ jaar

b

$22,5$ meter, $11,5$ meter.

c

Nee

d

Ongeveer $20$ jaar

e

Zie figuur

f

$h = 0,55 l - 0,5$

9

a

In $20 - 12 = 8$ uur komt er $34 - 10 = 24$ kg bij, dat is $3$ per uur, dus om $14$ is er $10 + 2 \cdot 3 = 16$ kg.

b

Om $23$ uur is er $34 + 3 \cdot 3 = 43$ kg: om $10$ uur is er $10 - 2 \cdot 3 = 4$ kg.

c

Per uur een afname van $0,6$ kg dus na $19$ uur $50 - 2 \cdot 0,6 = 48,8$ kg.
Na $10$ uur is er $50 + 7 \cdot 0,6 = 54,2$ kg.

10

De door Jaap berekende hoeveelheden liggen op de rechte lijn. In werkelijkheid loopt de grafiek afnemend stijgend, dus in de trant van de kromme lijn. Dus Jaaps berekende hoeveelheid op $t = 5$ is lager en op $t = 12$ is hoger dan de werkelijke hoeveelheid.