10.2 Rekenkundige en meetkundige rijen >

Op de GR

Opmerking:

Op de GR kun je rijen invoeren.
Dat kan zowel met een directe als met een recursieve formule. De GR berekent de term van de rij die je wilt hebben.
Zonodig kun je ook een tabel met termen van de rij te zien krijgen.
In de volgende opgaven moet uitzoeken hoe je rijen op de GR invoert.
Beschrijf steeds hoe je de GR gebruikt.

We bekijken nog eens de rij $b$ van opgave 7.

Voer de rij in op de GR. Controleer of je het goed hebt gedaan door enkele termen op de GR te bekijken.

Op haar achttiende wil Esther een wereldreis maken.

Bereken met de GR hoeveel geld er dan beschikbaar is op de rekening.

We bekijken de rij $u$ met de recursieve formule:
${\begin{cases} u (0) = 2 \\ u (1) = 1 \\ u (n) = u (n - 1) + 2 u (n - 2) (n = 2, 3, 4, \dots) \end{cases}$ .

Bereken zonder GR $u (2)$ en $u (3)$ .

Voer deze rij in op je GR.
Om de berekening te kunnen beginnen, moeten er nu twee termen ingevoerd worden, $u (0)$ en $u (1)$ . Zoek uit hoe dat moet.

Bereken $u (20)$ met de GR.

Bekijk nu de rij $v (n) = 2^{n}$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , ... .

Vergelijk de rijen $u$ en $v$ op de GR en geef een directe formule voor de rij $u$ in de vorm:
${\begin{cases} u (n) = ... als n even \\ u (n) = ... als n oneven \end{cases}$ .

De rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , ... begint als volgt: $2$ , $6$ , $18$ , $54$ , $162$ , ... .
Neem aan dat de regelmaat zich voortzet.

Bepaal een recursieve betrekking voor deze rij. Voer de betrekking in op de GR en kijk of de eerste termen kloppen.

Bereken $a_{18}$ met de GR. Schrijf je werkwijze op.

Dezelfde opdrachten als a en b, maar nu voor de rij $100$ , $103$ , $106$ , $109$ , $112$ , ... .

Rekenkundige rijen

Bekijk de rij bouwsels in de figuur hieronder.
$a_{n}$ is het aantal blokjes in het $n$ -de bouwsel in de rij.
Zo is $a_{0} = 7$ , $a_{1} = 11$ , $a_{2} = 15$ en $a_{3} = 19$ .

De volgende term in rij $a$ krijg je door bij de voorgaande steeds hetzelfde getal op te tellen . Een rij waarbij dit het geval is, noemen we een rekenkundige rij. Het getal dat je erbij op moet tellen om de volgende term in de rij te krijgen, heet het verschil van de rij.

Wat is het verschil van de rij $a$ ?

Geef een directe formule voor de rij $a_{n}$ en ook een recursieve.

Je kunt ook alleen de blauwe bouwsels bekijken. Het aantal blokken dat je voor de opvolgende blauwe bouwsels nodig hebt is: $11$ , $19$ , … .

Is deze rij rekenkundig? Zo ja, wat is het verschil?

De bouwsels passen mooi in elkaar, zie de figuur hiernaast.

Bereken $a_{0} + a_{1} + ... + a_{9} + a_{10}$ .

We definiëren $b_{n} = a_{0} + a_{1} + ... + a_{n - 1} + a_{n}$ .
Er geldt: $b_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ .

Toon dit aan.

Is de rij $b$ met $b_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ rekenkundig?

Een rij waarbij de termen ontstaan door bij de voorgaande term een vast getal ( $\neq 0$ ) op te tellen (dit getal kan ook negatief zijn) heet een rekenkundige rij. Dit getal wordt het verschil genoemd.
Het getal waar de rij mee begint wordt de beginterm genoemd.
Een rekenkundige rij $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , ... met beginterm $a$ en verschil $b$ heeft als recursieve betrekking ${\begin{cases} u_{0} = a \\ u_{n} = u_{n - 1} + b (n = 1, 2, 3,...) \end{cases}$ .
De directe formule is $u_{n} = a + b \cdot n$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ , ... .

De rij $t_{0}$ , $t_{1}$ , $t_{2}$ , ... heeft als directe formule $t_{n} = 7 + 3 n$ .

Schrijf de eerste zes termen van de rij op.

Waarschijnlijk heb je wel een vermoeden hoe groot het verschil $t_{n} - t_{n - 1}$ steeds is.

Wat vermoed jij?
Laat door de haakjes in $t_{n} - t_{n - 1}$ weg te werken zien dat je vermoeden juist is.

Geef een recursieve formule voor de rij $t_{0}$ , $t_{1}$ $t_{2}$ , ... .

Een $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , ... begint met $u_{0} = 7$ en de volgende termen in de rij ontstaan door van de vorige term $4$ af te trekken.

Geef een recursieve en een directe formule voor de rij $u_{n}$ .

Laat met behulp van de directe formule zien dat
$u_{n} - u_{n - 1} = ‐ 4$ .

Een rij $v_{0}$ , $v_{1}$ , $v_{2}$ , ... begint met $v_{0} = a$ en de volgende termen in de rij ontstaan door bij de vorige term $b$ op te tellen.

Geef een recursieve betrekking en een directe formule voor de rij $b$ .

Geef zelf drie voorbeelden van een rekenkundige rij. Vermeld steeds het verschil van de rij en geef een recursieve betrekking en een directe formule.

Bij de definitie van een rekenkundige rij staat dat het verschil niet $0$ mag zijn.

Wat voor soort rij krijg je als het verschil wel $0$ is?

Meetkundige rijen

In de figuur hieronder zie je een boom groeien. De stadia die je ziet nummeren we $n = 1, 2, 3$ en $4$ .

Het aantal takken dat er in het $n$ -de stadium bij getekend wordt, noemen we $a_{n}$ , zo is $a_{2}$ het aantal lichtblauwe takken in het tweede stadium, dus $4$ .

Geef een recursieve formule:
${\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n} = ... \end{cases} n = 2,3, ...$
Vul dus in de tweede regel in hoe $a_{n}$ uit $a_{n - 1}$ ontstaat.

Geef een directe formule voor $a_{n}$ .

Bekijk het uitdijend patroon van letters H in de figuur hieronder, ook in de applet groeiende boom te zien.
Het aantal uiteinden bij het bouwsel van stadium $n$ noemen we $b_{n}$ . Je kunt natellen dat $b_{2} = 64$ .

Geef een directe formule voor $b_{n}$ .

De groeiende boom en het uitdijende aantal H's zijn voorbeelden van een zogenaamde fractal.
Op internet kun je veel informatie over fractals vinden. Zie bijvoorbeeld de applet Zelf fractals maken van Henk Reuling.

De rij $s_{0}$ , $s_{1}$ , $s_{2}$ , ... heeft directe formule $s_{n} =$ $5 \cdot 3^{n}$ .

Schrijf de eerste zes termen op van de rij.

Nu is het niet zo dat het verschil $s_{n} - s_{n - 1}$ steeds gelijk is, maar het quotiënt $\frac{s_{n}}{s_{n - 1}}$ is wel steeds gelijk.

Hoe groot is dat quotiënt steeds?

Ook uit de directe formule van de rij kun je afleiden dat het quotiënt $\frac{s_{n}}{s_{n - 1}}$ steeds gelijk is.
Laat dit zien (gebruik de rekenregels voor machten).

Geef ook een recursieve betrekking voor de rij.
Kun je aan de recursieve betrekking ook zien dat het quotiënt van twee opeenvolgende termen steeds gelijk is?

Een rij $w_{n}$ begint met $w_{0} = 7$ en de volgende termen van de rij ontstaan door de voorgaande term met $0,44$ te vermenigvuldigen.

Geef een recursieve betrekking en een directe formule voor de rij $w_{n}$ en laat zien dat uit de directe formule volgt dat het quotiënt $\frac{w_{n}}{w_{n - 1}}$ steeds gelijk is.

Een rij $x_{n}$ begint met $x_{0} = a$ en de volgende termen van de rij ontstaan door de voorgaande term met $r$ te vermenigvuldigen.

Geef een recursieve betrekking en een directe formule voor de rij $x_{n}$ .

In de voorgaande twee opgaven heb je voorbeelden van een meetkundige rij gezien.

Een rij waarbij de termen ontstaan door de voorgaande term met een vast positief getal ( $\neq 1$ ) te vermenigvuldigen heet een meetkundige rij. Dit vaste getal wordt de reden of verhouding genoemd.
Een meetkundige rij $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , ... met beginterm $a$ en reden $r$ heeft als recursieve betrekking ${\begin{cases} u_{0} = a \\ u_{n} = r u_{n - 1} (n = 1, 2, 3,...) \end{cases}$ .
De directe formule is $u_{n} = a \cdot r^{n}$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , ... .

Geef zelf drie voorbeelden van een meetkundige rij. Vermeld steeds de reden van de rij en geef een recursieve betrekking en een directe formule.

Bij de definitie van een meetkundige rij staat dat de reden niet $1$ mag zijn.

Wat voor soort rij krijg je als reden wel $1$ is?

Ook staat er dat de reden positief moet zijn. Geef een voorbeeld van een rij met een negatieve reden.

Rekenkundig of meetkundig

Van een rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... weten we dat $a_{1} = 3$ en $a_{6} = 96$ .

Neem aan dat $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... een rekenkundige rij is.

Geef een recursieve betrekking en een directe formule.

Neem aan dat $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... een meetkundige rij is.

Geef een recursieve betrekking en een directe formule.

De laatste jaren is de huizenprijs sterk gestegen. In 1975 was de gemiddelde prijs van een koophuis € $46.600$ . In 1995 was die gemiddelde prijs € $108.600$ .

Stel dat de gemiddelde huizenprijzen vanaf 1975 een rekenkundige rij vormen.

Wat was dan de gemiddelde prijs voor een koophuis in 1990?
Wat zou dan de gemiddelde prijs van een koophuis in het jaar 2005 geweest zijn?

Stel dat de gemiddelde huizenprijzen vanaf 1975 een meetkundige rij vormen.

Wat was dan de gemiddelde prijs voor een koophuis in 1990?
Wat zou dan de gemiddelde prijs van een koophuis in het jaar 2005 geweest zijn?

In de jaarlijkse onderhandelingen over de hoogte van het zakgeld doet Anne de volgende voorstellen aan haar ouders.
Voorstel 1
Anne begint de eerste week met één eurocent zakgeld. Elke volgende week wordt haar zakgeld verdubbeld; de tweede week krijgt ze dus twee eurocent, de derde week vier eurocent, enzovoorts.
Voorstel 2
De eerste week krijgt Anne $4$ euro zakgeld. Elke volgende week komt er $1$ euro bij. De tweede week krijgt ze dus $5$ euro, de derde week $6$ euro, enzovoorts.
Lachend gaan Annes ouders akkoord met voorstel 1.

Welk voorstel lijkt jou op het eerste gezicht het voordeligst voor de ouders van Anne? (Niet gaan rekenen.)

Het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 1 noemen we $u (n)$ en het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 2 noemen we $v (n)$ .

Voer in je GR een directe formule in voor $u (n)$ en ook een formule voor $v (n)$ .
Begin bij $n = 1$ .

In welke week is het bedrag dat Anne ontvangt volgens voorstel 1 voor het eerst groter dan volgens voorstel 2?
Maak een tabel op je GR.

Vanaf welke week ontvangt Anne volgens voorstel 1 meer dan $100.000$ euro?

Bepaal met de GR het bedrag dat Anne volgens de voorstellen ontvangt in week $52$ .