10.6  De somrij van een meetkundige rij >
1

We bekijken de meetkundige rij: 1 , r , r 2 , ..., r n
en de somrij daarvan s n = i = 0 n r i = 1 + r + r 2 + ... + r n .
Zo is s 10 = 1 + r + r 2 + ... + r 10 .

a

Vereenvoudig r s 10 s 10 .

Uit a volgt dat s 10 = r 11 1 r 1 .

b

Ga dat na.

c

Bereken nu exact 1 + 1 2 + 1 4 + ... + 1 1024 .

d

Bereken met behulp van het vorige onderdeel exact
2 + 1 + 1 2 + ... + 1 512 .

Wat je in opgave 46 gezien hebt, geldt algemener.

Gegeven is de meetkundige rij: 1 , r , r 2 , ..., r n .
De somrij van die rij is s n = i = 0 n r i = 1 + r + r 2 + ... + r n .
Een directe formule voor s n is: s n = r n + 1 1 r 1 .

2

We gaan de formule even testen.

Kies r = 1

a

Controleer of de formule juist is voor n = 8 en voor n = 9 , dus ga na of i = 0 8 ( 1 ) i = ( 1 ) 9 1 1 1 en i = 0 9 ( 1 ) i = ( 1 ) 10 1 1 1 .

Kies r = 1 2 .

b

Controleer of de formule juist is voor n = 3 en voor n = 4 .

Voor r = 1 levert de formule onzin op.

c

Waarom?

r = 1 is dus een uitzondering.

d

Hoe moet de formule voor r = 1 luiden:
1 + r + r 2 + ... + r n = ... ?

3
a

Bereken exact 1 + 2 + 4 + ... + 512 + 1024 .

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 + 2048 kun je op twee manieren exact berekenen.
Eerst door op te merken dat elke term van de rij 2 keer zo groot is als die uit a.

b

Wat vind je zo als uitkomst?

c

Weet je nog een andere manier? Zoja, voer die uit.

Gegeven is de meetkundige rij met beginterm a en reden r :
a , a r , a r 2 , ..., a r n .
De somrij s n = i = 0 n a r i = a + a r + a r 2 + ... + a r n van die rij is:
s n = a r n + 1 1 r 1 .

4

De uitkomst van de som 9 + 0,9 + 0,09 + ... + 0,00000009 kun je waarschijnlijk zo geven.

Geef die.
Gebruik ook de formule om de uitkomst te bepalen. Klopt die met jouw uitkomst?

5

We gaan een stuk van een meetkundige rij sommeren.
Bereken ( 1,5 ) 10 + ( 1,5 ) 11 + ... + ( 1,5 ) 20 op twee manieren.

a

Door hem als de somrij van een meetkundige rij met beginterm ( 1,5 ) 10 zien.

b

Door twee somrijen met beginterm 1 van elkaar af te trekken.

6

Bekijk nog eens voorstel 1 voor het zakgeld van Anne uit opgave 26.

Bereken de totale hoeveelheid zakgeld die Anne volgens voorstel 1 in een jaar ontvangt.

7

Hieronder zie je in figuur 0 tot en met 3, de eerste vier stadia in het ontstaan van de zeef van Sierpinski. Rechts daarvan zie je de zeef in een vergevorderd stadium. De zeef van Sierpinski is een voorbeeld van een fractal.

De blauwe driehoek waar we mee starten in figuur 0 heeft oppervlakte 1 . De witte driehoek in figuur 1 noemen we van orde 1 . De witte driehoekjes die er in figuur 2 bijkomen noemen we van orde 2 , enzovoorts.

a

Hoe groot is de oppervlakte van de witte driehoek van orde 1 ?

b

Wat is de oppervlakte van een witte driehoek van orde 2 ?
En hoeveel driehoeken zijn er van orde 2 ?
Dezelfde vragen voor driehoeken van orde 3 .

c

Wat is de oppervlakte van een witte driehoek van orde n ? En hoeveel driehoeken van orde n zijn er?

d

Geef een formule voor de totale oppervlakte van de witte driehoekjes van orde n ; laat zien dat die een meetkundeige rij vormen met reden 3 4 .

e

Wat is de totale oppervlakte van het witte deel in het n -de stadium van de zeef van Sierpinski?

f

In welk stadium is de oppervlakte van het blauwe gebied voor het eerst kleiner dan 0,000001 ?

Je kunt de Zeef van Sierpinski in een applet bekijken.