$r^{11}-1$

$r\cdot s_{10}-s_{10}=(r-1)\cdot s_{10}=r^{11}-1$, deel nu beide kanten door $r-1$.

Dat is $s_{10}$ met $r=\frac{1}{2}$, dus $\frac{\frac{1}{2048}-1}{\frac{1}{2}-1}=2-\frac{1}{1024}=1\frac{1023}{1024}$.

Dat is het dubbele, dus $2\frac{1023}{512}=3\frac{511}{512}$.

Voor oneven $n$ moet de formule $0$ en voor even $n$ moet de formule $1$ geven. Als $n$ oneven is, dan is volgens de formule ${\left(\mathrm{‐}1\right)}^{n+1}=1$, dus $s_n=\frac{1-1}{\mathrm{‐}1-1}=0$;
als $n$ even is, dan ${\left(\mathrm{‐}1\right)}^{n+1}=\mathrm{‐}1$, dus volgens de formule is $s_n=\frac{\mathrm{‐}1-1}{\mathrm{‐}1-1}=1$.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1\frac{7}{8}$ en $s_n=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{16}-1}=1\frac{7}{8}$; $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=1\frac{15}{16}$ en $s_n=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{32}-1}=1\frac{15}{16}$.

Bij de directe formule voor $s_n$ moet je door $0$ delen.

$1+r+r^2+\mathrm{...}+r^n=n+1$

$\frac{2048-1}{2-1}=2047$

$4094$

$2+4+8+\mathrm{...}+512+1024+2048=$ $\left(1+2+4+8+\mathrm{...}+512+1024\right)+2048-1=$ $2047+2048-1=4094$

Dan krijg je ${\left(\mathrm{1,5}\right)}^{10}\cdot \frac{{\left(\mathrm{1,5}\right)}^{11}-1}{\mathrm{0,5}}$.

Dan krijg je: $\frac{{\left(\mathrm{1,5}\right)}^{21}-1}{\mathrm{0,5}}-\frac{{\left(\mathrm{1,5}\right)}^{10}-1}{\mathrm{0,5}}$, en dat is hetzelfde.

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{16}$ , $3$ ; $\frac{1}{64}$ , $9$.

${\left(\frac{1}{4}\right)}^n$, $3^{n-1}$

${\left(\frac{1}{4}\right)}^n\cdot 3^{n-1}=\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-1}$

$\frac{1}{4}\cdot \frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-1}{\frac{3}{4}-1}=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^n$

In het $49$-ste stadium.