10.7  Toenamendiagrammen >
1

In de figuur hieronder zie je de uitgaven voor defensie van Nederland in de periode 2004-2014.

De defensieuitgaven nemen de laatste jaren af. Dat zie je in het staafdiagram hierboven. Bij het staafdiagram kun je een zogenaamd toenamendiagram maken. Daarmee is hieronder een begin is gemaakt. De balk bij 2005 geeft de toename van de uitgaven van 2005 ten opzichte van die van 2004 weer, de balk bij 2006 de toename van de uitgaven van 2006 ten opzichte van die van 2005, enzovoort.

a

Neem de figuur over en maak hem af. De tabel hieronder maakt het werk eenvoudiger.
In de tweede rij staat de lengte van de staven, in de derde rij het percentage van de defensieuitgaven ten opzichte van het bbp (bruto binnenlands product).

b

Bereken het bbp (in miljarden euro) in 2010 in één decimaal.

2

Hieronder staan zes grafieken waarin het verloop van de omvang van een bacteriekolonie in de loop van de tijd is weergegeven.

Zeg voor elk van de grafieken of er sprake is van stijging, daling of geen verandering.
Is er sprake van stijging of daling, zeg dan ook of het om toenemende, afnemende of constante stijging of daling gaat.

Het is gebruikelijk om toenamendiagrammen bij lijngrafieken te tekenen met behulp van staafjes in plaats van balkjes.
Hieronder zie een voorbeeld.

De lengte van het staafje bij 1 in de figuur rechts, stelt de toename van de functie op het interval [ 0,1 ] voor, enzovoort.

3

In de figuur staat links de (lijn)grafiek bij de functie y = 12 x , waarbij 2 x 8 en rechts staat het toenamendiagram van een andere functie.

a

Teken een bijbehorend toenamendiagram bij de figuur links. Het eerste staafje komt bij 3 .

Het toenamendiagram rechts hoort bij de (lijn)grafiek van een zekere functie.

b

Is deze functie stijgend of dalend? Toenemend of afnemend?

c

Hoe ziet het toenamendiagram van een lineaire functie eruit?

4

De immigratie van de vier traditionele groepen (Turken, Marokkanen, Surinamers en Antillianen/Arubanen) vertoont al geruime tijd een daling. In de jaren 2000-2004 vormden deze groepen samen nog 15 tot 20 procent van de totale immigratie naar Nederland. Sinds 2010 is dit aandeel gedaald naar 6 tot 8 procent. Geen van deze vier groepen kwam in 2014 in de top 10 van grootste immigrantengroepen voor.
Onder deze vier groepen is de ontwikkeling bij de Turken het meest in het oog springend. Steeds meer Turken verlaten Nederland. In 2014 waren dat er ruim 5 duizend, een verdubbeling ten opzichte van de 2,5 duizend in 2009. Tegelijkertijd neemt het aantal Turken dat naar Nederland komt langzaam af. Het resultaat van deze twee bewegingen is dat het aantal Turken sinds 2012 door migratie per saldo afneemt: er vertrekken meer Turken dan er naar Nederland komen. Aan het begin van dit millennium kwamen er gemiddeld nog 4,5 duizend Turken per jaar door migratie bij. In 2014 nam het aantal met 1,6 duizend af. Een en ander is te zien in figuur 1, afkomstig van www.cbs.nl.

Als je op die site de muis over de balken beweegt, kun je de precieze aantallen bij de staven aflezen. Een deel is in de tabel in figuur 2 verzameld. In de tweede kolom staan de immigratie-, in de derde de emigratiecijfers.

Jarno wil een toenamendiagram bij de grafiek "saldo", (het aantal personen dat emigreert minus het aantal dat immigreert) maken. Hij heeft berekend dat bij de staaf bij 2009 het aantal 257 moet staan.

a

Ga na dat dit juist is.

b

Bereken het aantal dat bij de staaf bij 2010 hoort.

5

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 1 4 x 2 , waarbij 0 x 6 .
Tot nu toe hebben toenamendiagrammen gemaakt met stapgrootte 1 .
Als je bij f een toenamendiagram met stapgrootte 2 maakt, dan komt bij 2 het staafje dat de toename van f op het interval [ 0,2 ] weergeeft, bij 4 een staafje dat de toename van f op het interval [ 2,4 ] weergeeft, enzovoort. Hiernaast staat het diagram.

a

Ga na dat het diagram juist is.

Gegeven is de functie g : x 1 3 x 2 , op het interval [ 0,6 ] .

b

Maak een toenamendiagram bij deze functie met stapgrootte 1 1 2 .

Bekijk het toenamendiagram met stapgrootte 2 van de functie h : x 1 4 x 2 + 5 op het interval [ 0,6 ] .

c

Waarom is dit hetzelfde als dat van de functie f ?

d

Teken een functie met hetzelfde toenamendiagram als f , maar een andere dan die, die een constante verschilt van f .

6

Een slak kruipt langs een lantaarnpaal naar boven. Eerst klimt hij vijf minuten met een vaste snelheid. Daarna rust hij vijf minuten uit. Tijdens deze vijf minuten glijdt de slak met een constante snelheid naar beneden, die half zo groot is als zijn klimsnelheid. Na de vijf minuten rust klimt de slak weer verder naar boven, weer met dezelfde constante klimsnelheid als in de eerste vijf minuten. Daarna volgen weer vijf minuten rust, waarin de slak opnieuw met halve snelheid naar onderen glijdt; enzovoort. Hieronder staat het toenamendiagram van de hoogte van de slak met stapgrootte 10 minuten.

a

Teken de tijd-hoogte-grafiek van de slak op het tijdsinterval [ 0,60 ] , begin bij t = 0 op hoogte 0 .

Een tweede slak kruipt tegelijkertijd in een tweede lantaarnpaal omhoog. Hij klimt, zonder te rusten, met een vaste snelheid omhoog. Het toenamendiagram met stapgrootte 10 is precies hetzelfde als het toenamendiagram van de eerste slak.

b

Teken in hetzelfde plaatje als bij a de tijd-hoogte-grafiek van de tweede slak.

Uit het toenamendiagram van een functie kun je het globale verloop van de grafiek van die functie afleiden. Je kunt er niet het precieze verloop uit afleiden.

7

Toen Thatcher begin 1979 als premier aan de macht kwam, voerde ze snoeiharde bezuinigingen uit. Hierdoor steeg de werkeloosheid hard.
In de figuur is de werkloosheid in Groot-Brittannië tussen 1978 en 1997 in beeld gebracht.

Er zijn twee jaren dat de werkloosheid zich op een hoogtepunt bevindt.

a

Welke jaren zijn dat? Hoe hoog was in die jaren de werkloosheid?

b

In welke jaren bereikt de werkloosheid een minimum? Hoe groot is het aantal werklozen dan?

c

In welk jaar stijgt de werkloosheid het hardst? Hoe hard? Wanneer daalt hij het hardst? Hoe hard?

Stel dat je een toenamendiagram zou tekenen bij de werkloosheid met stapgrootte van 1 jaar.

d

In welke periodes (van jaren) is de toename positief?

We bekijken de periodes waarin de toenamen positief zijn.

e

Zeg bij elke periode in welk jaar zich het langste staafje bevindt en ook hoe lang dat staafje is.

We bekijken de periodes waarin de toenamen negatief zijn.

f

Geef weer in elk van deze periodes het jaar waarin het staafje het langst is; zeg ook hoe lang.

Een punt op een grafiek waarin de grafiek overgaat van bol naar hol of van hol naar bol wordt een buigpunt genoemd. In een buigpunt is de toename maximaal of minimaal in zijn directe omgeving.

8

In een viskwekerij is een nieuwe vijver aangelegd. Als er geen vis wordt gevangen of wordt bijgezet, zal de visstand zich in de loop der jaren uitbreiden volgens onderstaande grafiek.

a

Teken het toenamendiagram met stapgrootte van 1 jaar.

De viskweker zal een aantal jaren wachten alvorens in de vijver te gaan “oogsten”. Vanaf het jaar dat hij gaat oogsten wil hij elk jaar eenzelfde hoeveelheid vis vangen, liefst zo veel mogelijk. Het oogsten vindt steeds plaats aan het eind van het jaar. Na elke vangst breidt de visstand zich weer uit volgens de bovenstaande grafiek.

b

Welk advies zou jij de viskweker geven over hoeveel jaar hij moet wachten alvorens te oogsten en over de hoeveelheid vis die hij dan moet gaan oogsten?

c

Op welk moment heeft de grafiek een buigpunt?

9

Hiernaast staat een toenamendiagram van de functie f . Op de grafiek van de functie f ligt het punt ( 0, 3 ) .

a

Neem de tabel over en vul hem in met behulp van het toenamendiagram.

x

5

4

3

2

2

0

1

2

3

f ( x )

3

b

Teken een mogelijke grafiek van f , maak er een vloeiende lijn van.

Zo te zien heeft de grafiek van f twee buigpunten en een minimum.

c

Kun je dit ook aan het toenamendiagram zien?

10

In 1960 zijn er zo'n 170.000 motoren in Nederland. Op dat moment begint het aantal motoren langzaam te dalen. Die daling wordt de eerste jaren steeds groter. Vanaf 1967 neemt de daling van het aantal motoren weer af. In 1972 en 1973 bereikt het aantal motoren in Nederland een dieptepunt: er zijn dan nog maar 70.000 motoren in Nederland. Dan begint er een licht herstel: het aantal motoren begint weer langzaam te stijgen; aanvankelijk steeds sneller, maar later vlakt die groei weer af. Van 1982 tot 1986 is het aantal motoren nagenoeg constant: ± 122.000 stuks. Vanaf 1986 treedt weer een lichte groei op van het aantal motoren. Die groei neemt in de loop van de jaren explosieve vormen aan. In 1994 zijn er tenslotte ± 305.000 motoren in Nederland.

Teken zo nauwkeurig mogelijk de grafiek van het aantal motoren in Nederland tussen 1960 en 1994.

11

Gegeven is de functie f : x x 2 2 x .
We gaan hierbij een toenamendiagram maken met stapgrootte 1 .

a

Neem over en vul in.
Toename op [ 0,1 ] is f ( 1 ) f ( 0 ) = ... ,
toename op [ 1,2 ] is f ( 2 ) f ( 1 ) = ... ,
toename op [ 2,3 ] is f ( 3 ) f ( 2 ) = ... ,

De toename op [ n 1, n ] is f ( n ) f ( n 1 ) .
De rij van toenamen noemen we t , dus t n = f ( n ) f ( n 1 ) .

b

Toon aan: t n = 2 n 3

De toppen van de staven van het toenamendiagram liggen op een rechte lijn.

c

Welke lijn? En waarom?

12

De voeding van een melkkoe bestaat vooral uit ruwvoer, zoals gras en hooi. Om een melkkoe meer melk te laten geven, wordt deze bijgevoerd met krachtvoer. In een onderzoek van het Wageningen University & Research Centre is geëxperimenteerd met de hoeveelheid krachtvoer die een koe dagelijks krijgt en de invloed ervan op de melkproductie. De resultaten zijn weergegeven in een toenamendiagram. Zie de figuur. Je kunt hierin bijvoorbeeld zien dat de melkproductie met 0,93 kg per dag toeneemt als de hoeveelheid krachtvoer toeneemt van 1 naar 2 kg per dag.

Bij een bepaalde hoeveelheid krachtvoer is de melkproductie van een koe maximaal. Met behulp van het toenamendiagram kan geschat worden welke hoeveelheid krachtvoer dat is.

a

Bepaal deze hoeveelheid (in kg per dag) met behulp van het toenamendiagram. Licht je antwoord toe.

Krachtvoer is duur en daarom zal een melkveehouder zuinig zijn met de hoeveelheid krachtvoer die hij zijn koeien geeft. De melkveehouder wil de extra kosten van het krachtvoer wel terugverdienen met de opbrengst van de extra melkproductie. Op een bepaald moment is de melkprijs € 0,29 per kg en de prijs van krachtvoer € 0,20 per kg. Een melkveehouder overweegt de hoeveelheid krachtvoer voor een koe te verhogen van 5 kg per dag naar 6 kg per dag.

b

Laat zien dat dit niet verstandig is. Gebruik het toenamendiagram.

13

Hieronder staan dertien grafieken en dertien toenamendiagrammen.

Bepaal voor elke grafiek welk toenamendiagram erbij hoort.