Recursief en direct

Er zijn voor ons twee belangrijke manieren om rij getallen
a 0 , a 1 , a 2 , ... vast te leggen.

  1. Met een directe formule, bijvoorbeeld:
    a n = n 2 , n = 0 , 1 , 2 , ...

  2. Met een indirecte of recursieve formule, bijvoorbeeld:
    { a 0 = 0 a n = a n 1 + 2 n 1 , n = 1 , 2, 3,... .

De termen van een rij zijn de getallen a 0 , a 1 , a 2 , ... .
Het rangnummer van a n is n .
Met een directe formule reken je de termen direct uit, met een recursieve formule kun je ze term voor term vanaf het begin berekenen.

Rekenkundig en meetkundig

Een rij waarbij de termen ontstaan door bij de voorgaande term een vast getal ( 0 ) op te tellen (dit getal kan ook negatief zijn) heet een rekenkundige rij. Dit getal wordt het verschil genoemd.
Het getal waar de rij mee begint wordt de beginterm genoemd.
Een rekenkundige rij u 0 , u 1 , u 2 , ... met beginterm a en verschil b heeft als recursieve betrekking { u 0 = a u n = u n 1 + b ( n = 1 , 2 , 3 ,... ) .
De directe formule is u n = a + b n , n = 0 , 1 , 2 , 3 , ... .

Een rij waarbij de termen ontstaan door de voorgaande term met een vast positief getal ( 1 ) te vermenigvuldigen heet een meetkundige rij. Dit vaste getal wordt de reden of verhouding genoemd.
Een meetkundige rij u 0 , u 1 , u 2 ... met beginterm a en reden r heeft als recursieve betrekking { u 0 = a u n = r u n 1 ( n = 1 , 2 , 3 ,... ) .
De directe formule is u n = a r n , n = 0 , 1 , 2 , ... .

Verschilrij

Bij een rij a 0 , a 1 , a 2 , ... kun je de verschillen tussen de opvolgende termen bekijken. Dat is de rij a 1 a 0 , a 2 a 1 , a 3 a 2 , ... .... . Deze rij heet de verschilrij van a . Meestal wordt de verschilrij v genoemd. Er geldt:
v n = a n a n 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ...)
Merk op dat de rij a begint met rangnummer 0 en de verschilrij v met rangnummer 1 .

Het Σ -teken

Gegeven een rij getallen u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n .
Dan i = 0 n u i = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n .
Voorbeeld
i = 0 4 i 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30

De somrij

Bij een rij a 0 , a 1 , a 2 , ... kunnen we een rij van sommen maken. Dat is de rij s 0 = a 0 , s 1 = a 0 + a 1 , s 2 = a 0 + a 1 + a 2 , ... .
Deze rij heet de somrij van a .
Er geldt: s n = i = 0 n a i = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a n .
Een recursieve betrekking voor de rij s 0 , s 1 , s 2 , ... is:
{ s 0 = a 0 s n = s n 1 + a n ( n = 1 , 2 , 3 ,... ) .

Als a 0 . a 1 , a 2 , ... een rekenkundige rij is, dan kan de som van een aantal opvolgende termen bepaald worden met de regel: som van de termen = gemiddelde van begin- en eindterm maal het aantal termen.
In formule: i = 0 n a i = 1 2 ( n + 1 ) ( a 0 + a n ) .

Toenamendiagrammen

Met een interval (van getallen) bedoelen we een stuk van de getallenlijn. Het stuk waarin de getallen x met 1 x 4 liggen, noteren we met [ 1,4 ] .

Bij een functie (of een staafdiagram of...) kun je een toenamendiagram maken.

Hieronder zie een voorbeeld.

De lengte van het staafje bij 1 in de figuur rechts, stelt de toename van de functie op het interval [ 0,1 ] voor, enzovoort.
In het voorbeeld is de stapgrootte 1 : de lengte van het interval waarover je de toename berekent is 1 . Je kunt ook een andere stapgrootte nemen.
Als je het toenamendiagram van een functie kent, kun je daaruit het globale verloop van de grafiek van de functie zelf afleiden.
Ook kun je ongeveer de ligging van de maxima en de minima van de functie bepalen en de buigpunten.

In een buigpunt gaat de grafiek over van hol naar bol of omgekeerd.