Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

In deze paragraaf wordt de kennis die je in 4V hebt opgedaan, opgefrist.

Een voorwerp beweegt. De afgelegde weg wordt gegeven door $s (t) = t^{2}$ ; $t$ in seconden, $s$ in meters.

Bereken de gemiddelde snelheid van het voorwerp op het tijdsinterval $[1,3]$ .

Bereken exact de snelheid van het voorwerp op het tijdstip $t = 2$ .

Wat is de gemiddelde snelheid van het voorwerp tussen de tijdstippen $t = p - 1$ en $t = p + 1$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Wat is de snelheid op het tijdstip $t = p$ ?

Opmerking:

Het antwoord van opgave 1c en d zijn hetzelfde. Dit is typisch voor een kwadratische functie.

Hiernaast staat de grafiek van een functie $f$ met daarop het punt $P (1,2)$ . Vlakbij $P$ liggen op de grafiek de punten $R (1,01; 2,016)$ en $Q (0,99; 1,982)$ .

Hoe groot schat jij op grond van deze drie punten dat $\frac{d f}{d x}$ is in het punt $P$ ?

Stel dat $f$ de snelheidsfunctie voorstelt bij een of andere beweging.

Hoe groot schat jij op grond van de punten $P$ , $Q$ en $R$ dat de afgelegde weg is tussen de tijdstippen $0,99$ en $1,01$ ?

In deze opgave stelt $t$ de tijd voor vanaf een zeker tijdstip; $s$ stelt de afgelegde afstand voor vanaf dat tijdstip en $v$ stelt de snelheid voor. Hierbij zijn $s$ en $v$ beide functies van $t$ .

In het hoofdstuk 6 Inleiding differentiëren van 4Vb heb je gezien dat je $v$ vindt door $s$ te differentiëren; dus $\frac{d s}{d t} = v$ .

Stel dat $s = 1 \frac{1}{2} t$ .

Geef een formule voor $v$ .

Stel dat $v = 1 \frac{1}{2} t$ .

Geef een formule voor $s$ .

Een kogel wordt op tijdstip $t = 0$ met grote snelheid in een bak met een of andere vloeistof geschoten. De kogel wordt door de vloeistof steeds verder afgeremd. $v$ is de snelheid waarmee de kogel beweegt, $s$ is de afstand die de kogel in de vloeistof aflegt. Hierbij zijn $v$ en $s$ functies van $t$ . Hieronder staan de globale grafieken van $s$ en $v$ .

Veronderstel dat geldt: $s = \sqrt{t}$ .

Maak op de GR een tabel van $v = \frac{s (t + 0,001) - s (t)}{0,001}$ voor de tijdstippen $t = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ en $4$ .

Maak op de GR een tabel voor het product $v \cdot s$ .

Leg uit hoe je aan de tabel van het vorige onderdeel kunt zien dat $v$ omgekeerd evenredig is met $s$ .
Wat is de evenredigheidsconstante?

Ga na dat je antwoord uit c in overeenstemming is met $\frac{d \sqrt{t}}{d t} = \frac{1}{2 \sqrt{t}}$ .

Als de grafiek van een functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$ een raaklijn heeft, dan geldt: $f^{'} (a) =$

de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $(a, f (a))$ ,
hoeveel keer zo snel $f (x)$ toeneemt als $x$ bij $x = a$ ,
de groeisnelheid van $f (x)$ bij $x = a$ ,
$\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ ,
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ bij $x = a$ ,
$\frac{d y}{d x}$ bij $x = a$ .

In het hoofdstuk Inleiding differentiëren hebben we de volgende regels voor differentiëren afgeleid en gebruikt.

$\frac{d x^{n}}{d x} = n \cdot x^{n - 1}$
voor alle positieve gehele getallen $n$ , $n = ‐ 1$ en $n = \frac{1}{2}$
de somregel
voor functies $f$ en $g$ geldt: $\frac{d}{d x} (f + g) = \frac{d}{d x} f + \frac{d}{d x} g$
de veelvoudregel
voor een functie $f$ en een getal $c$ geldt:
$\frac{d}{d x} (c \cdot f) = c \cdot \frac{d}{d x} f$

De laatste twee regels kun je ook zo opschrijven.

Als $s = f + g$ , dan $s^{'} = f^{'} + g^{'}$
Als $h = c \cdot f$ , dan: $h^{'} = c \cdot f^{'}$

Gebruik bovenstaande regels om de volgende functies te differentiëren.

$f : x \to 1 + 2 x + x^{2}$	$g : x \to 2 \sqrt{x} + \sqrt{2}$
$h : x \to {(2 x + 2)}^{2}$	$j : x \to x + \frac{2}{x}$

Een ladder van $10$ meter staat verticaal tegen een muur.
De voet van de ladder wordt met constante snelheid van $\frac{1}{2}$ m/s over de grond weggetrokken. We rekenen de tijd $t$ in seconden en de hoogte $h$ van de top van de ladder in meters.

Wanneer neemt $h$ het snelst af en wanneer het minst snel? Niet rekenen!

Geef een formule voor $h$ als functie van $t$ .

Teken op de GR de grafiek van $h$ als functie van $t$ .

Bepaal met de GR de groeisnelheid van $h$ als $t = 12$ .
Schrijf op welke methode je hebt gevolgd.

Van een rechthoekige driehoek hebben de rechthoekszijden richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ en $‐ 2$ . De hoogte is $4$ .

Hoe breed is de driehoek aan de basis (op hoogte $0$ )?

We bekijken de breedte $b$ van de driehoek als functie van de hoogte $h$ .

Stel een formule op voor $b$ als functie van $h$ .

Wat is de groeisnelheid van $b$ als $h = 2$ ?

Herhaling
Er zijn verschillende manieren om de helling van de grafiek in een punt, zeg met $x = 2$ , te bepalen.

Bereken $\frac{Δ y}{Δ x}$ voor een kleine waarde van $Δ x$ , bijvoorbeeld voor $Δ x = 0,001$ .
Op de GR gaat dat met (Y1(2.001)-Y1(2))/0.001.
Teken nauwkeurig de raaklijn aan de grafiek en lees de helling af.
Pas de regels voor differentiëren toe. Dat kan bijvoorbeeld bij veeltermfuncties.

Alleen op de laatste manier kun je de helling exact bepalen.

Opmerking:

Met de GR kun je de raaklijn aan een grafiek in een gegeven punt tekenen. Ook kun je de afgeleide in een punt benaderen.
Zoek uit hoe dat op jouw rekenmachine gaat.

Teken op de GR de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = x - 2 \sqrt{x}$ .

Los exact op: $f (x) = 0$ .

Teken nauwkeurig de raaklijn aan de grafiek in het punt $(4,0)$ .

Stel exact een vergelijking op van die raaklijn.

Onderzoek welke waarden $y^{'}$ kan aannemen.