7.2  De afgeleide van een machtsfunctie >

Machtsfuncties zijn veelvouden van functies van de vorm y = x α , met α willekeurig. In deze paragraaf zullen een formule afleiden en toepassen voor de hellingfunctie van een machtsfunctie. Dit is al gedaan voor machtsfuncties met α positief geheel, α = 1 en α = 1 2 .

1

We bekijken de functies f : x x 3 2 en g : x x 2 3 .

a

Ga op de GR na hoe de grafiek van f ligt ten opzichte van de grafieken van y = x en y = x 2 .

b

Ga op de GR na hoe de grafiek van g ligt ten opzichte van de grafieken van y = x en y = x 1 2 .

c

Laat door een berekening zien dat het punt ( 100,1000 ) op de grafiek van f ligt en dat het punt ( 1000,100 ) op de grafiek van g ligt.

Als ( a , b ) op de grafiek van f ligt, dan ligt ( b , a ) op de grafiek van  g .

d

Leg dat uit.

e

Hoe ontstaan de grafieken van f en g uit elkaar?

De grafieken van de functies f : x x p q en g : x x q p zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x .
De functies f en g zijn elkaars inverse.

2

We bekijken de functie y = x 2 3 .

a

Teken de grafiek van de functie op de GR.

b

Zoek uit welk getal x ongeveer is als y = 5 .

c

Zoek ook uit hoe groot x is als y = 4 .

Het antwoord bij c komt mooi uit.

d

Controleer zonder rekenmachine dat dit antwoord inderdaad precies klopt.

Voorbeeld:

De vergelijking x 2 x = 10 los je zó op.

x 2 x

=

10

de linkerkant als macht van x schrijven

x 2 1 2

=

10

als x p q = a dan x = a q p

x

=

10 2 5 = 100 5

3

Zoek exact het positieve getal waarvoor geldt:

a

x x 3 = 10

b

x 3 4 = 10 x

c

x = 10 x 3

4

Gegeven is de functie f : x x 3 met daarop P ( 2,8 ) .

a

Bereken exact de helling van de grafiek in het punt P .

b

Stel exact een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt P .

c

Bereken exact in welke punten van de grafiek de raaklijn evenwijdig is aan lijn O P .

5

Voor elk positief geheel getal n is gegeven de functie
f n : x x n met daarop het punt Q ( 1,1 ) .

a

Bewijs exact dat de raaklijn aan de grafiek van f 3 in Q de y -as snijdt in het punt ( 0, 2 ) .

b

In welk punt snijdt de raaklijn in Q aan de grafiek van f 4 de y -as? Bewijs je antwoord.

6

f n en Q zijn als in de vorige opgave.

a

In welk punt snijdt de raaklijn in Q aan de grafiek van f n de y -as?

b

In welk punt snijdt de raaklijn in Q aan de grafiek van f n de x -as?

7

f n als in opgave 13.
Als n even is, is de grafiek (lijn)symmetrisch in de y -as.

a

Hoe zit het met de grafiek van de hellingfunctie f n ?

Als n oneven is, is de grafiek (punt)symmetrisch in de oorsprong.

b

Hoe zit het met de grafiek van de hellingfunctie f n ?

8
a

Teken met window [ 0,1 ] × [ 0,1 ] de grafieken van f n : x x n voor n = 1 , 2 en 3 .

In het begin (bij x = 0 ) groeit f 1 ( x ) het snelst, maar aan het eind (bij x = 1 ) groeit f 3 ( x ) het snelst.

b

Bereken vanaf welke waarde van x f 2 ( x ) sneller groeit dan f 1 ( x ) .

c

Bereken vanaf welke waarde van x f 3 ( x ) sneller groeit dan f 2 ( x ) .

Het volgende is een herhaling uit deel1 4Vb, Inleiding differentiëren.

Laat P ( a , b ) een punt zijn van de grafiek van functie f . Veronderstel dat de grafiek van f glad is in P .
Dan heeft de grafiek een raaklijn in P . De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met Δ y Δ x = y b x a , waarbij Δ x = x a klein gekozen moet worden.
De exacte waarde van de helling is: lim Δ x 0 Δ y Δ x = lim x a y b x a .

In hoofdstuk 6 van 4vb deel2 Inleiding Differentiëren hebben we de afgeleide van de functie f : x 1 x bepaald:
f ( a ) = lim x a 1 x 1 a x a = lim x a a x x a ( x a ) = lim x a 1 x a = 1 a 2 .
Dus: d d x 1 x = 1 x 2 .
In de volgende opgave leiden we nog dat nog eens op een andere manier af. Je kunt deze opgave ook overslaan.

9

Hieronder staat de grafiek van f : x 1 x .

Om f ( 3 ) te vinden, halen we een truc uit: we vermenigvuldigen de grafiek met raaklijn verticaal met factor 9 (ten opzichte van de x -as). Dan krijg je de grafiek van de functie g : x 9 x .

a

Hoe groot is g ( 3 ) gelet op de symmetrie van de grafiek van  g ?

De helling van de grafiek van g is ook 9 keer zo groot als de helling van de grafiek van f . Dus: g ( 3 ) = 9 f ( 3 ) = 1 .

b

Hoe groot is f ( 3 ) dus?

c

Op dezelfde manier vind je f ( 4 ) . Hoe groot is die?
En f ( a ) ?

Als f : x 1 x , dan f ( x ) = 1 x 2 .

In de volgende twee opgaven bewijzen we: als y = x s , dan y = s x s 1 voor het geval s = 3 5 .

10

x 5 1 = ( x 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 )

a

Toon dat aan.

b

Bereken lim x 1 x 5 1 x 1 .

c

Bereken op soortgelijke wijze lim x 1 x 3 1 x 1 .

Uit de vorige onderdelen volgt:
lim x 1 x 3 1 x 5 1 = lim x 1 ( x 3 1 x 1 x 1 x 5 1 ) = 3 5 .

11

We berekenen de helling van y = x 3 5 in het punt met eerste coördinaat a . Dat is lim x a x 3 5 a 3 5 x a .
We berekenen deze limiet door x 3 5 a 3 5 x a anders te schrijven.
We noemen x 1 5 = p en a 1 5 = q .

a

Vul in: als x a , dan p ... .

b

Laat zien dat je x 3 5 a 3 5 x a kunt schrijven als: p 3 q 3 p 5 q 5 .

Dus lim x a x 3 5 a 3 5 x a = lim p q p 3 q 3 p 5 q 5 .
Om deze limiet te berekenen herschrijven we die nog eens. We schrijven voor p q = s .

c

Laat zien: lim p q p 3 q 3 p 5 q 5 = lim s 1 ( s 3 1 s 5 1 1 q 2 ) .

d

Laat zien dat uit het voorgaande volgt:
lim x a x 3 5 a 3 5 x a = 3 5 a 2 5 .

De afleiding in opgave 19 kun je ook voor andere gebroken exponenten houden. We concluderen:

Als f : x x s , dan f ( x ) = s x s 1 voor alle getallen s uit .

Opmerking:

is de verzameling van alle gehele getallen en breuken. Zonder dat te bewijzen vermelden we nog dat de regel geldt voor alle mogelijke getallen.

Voorbeeld:
  1. Om de functie y = x 3 4 te differentiëren schrijven we eerst: y = x 3 4 .
    De afgeleide is: y = 3 4 x 1 4 = 3 4 x 4 .

  2. Om de functie y = 1 x x te differentiëren schrijven we eerst: y = x 1 1 2 .
    De afgeleide is: y = 1 1 2 x 2 1 2 = 3 2 x 2 x .

12

Bepaal de afgeleide functie van de volgende functies.

y = x 7

y = 1 x

y = x 4 x 2 5

y = x 2 5

y = x 3

y = 1 x x 4

13

Bereken

d d x x 2 5

d d a 1 a

d d t ( t t 3 )

d d u ( u 2 u )

d d z ( z 2 ) 3

d d x x 0,6

14

We bekijken de raaklijn aan de grafiek van y = 1 x in het punt ( 3, 1 3 ) .

a

Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Deze raaklijn snijdt de x -as in A en de y -as in B .

b

Bereken exact de coördinaten van A en B .

c

Laat zien: het raakpunt ( 3, 1 3 ) is het midden van A B .

d

Bereken de oppervlakte van driehoek A B O .

15

Beantwoord dezelfde vragen als in de vorige opgave voor de raaklijn aan de grafiek van y = 1 x in het punt ( p , 1 p ) .

16

Met som- en de veelvoudregel kun je nu ook de afgeleide van de volgende functies bepalen.

y = 2 x 2 3 x

y = x 2 + 2 x 2

y = 2 x x 2

y = 1 2 x 2 x

17

Gegeven is de machtsfunctie y = x 5 3 .

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat 8 .

18

Gegeven is de functie f : x x + 8 x .

a

Teken de grafiek op de GR.

De grafiek heeft een horizontale raaklijn.

b

Bepaal de eerste coördinaat van het bijbehorend punt exact.