1

a

De grafiek van $f$ ligt tussen de grafieken van $y = x$ en $y = x^{2}$ in.

b

De grafiek van $g$ ligt tussen de grafieken van $y = x$ en $y = x^{\frac{1}{2}}$ .

c

$100^{\frac{3}{2}} = 1000$ en $1000^{\frac{2}{3}} = 100$

d

$(a, b)$ op de grafiek van $f \Leftrightarrow b = a^{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow b^{\frac{2}{3}} = {(a^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = a \Leftrightarrow (b, a)$ op de grafiek van $g$ .

e

Spiegelen in de lijn $y = x$ .

2

a

-

b

$x = 5^{\frac{3}{2}}$ , dus ongeveer $11,2$ .

c

$4^{\frac{3}{2}} = 8$

d

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8$

3

a

$x = 10^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{1000}$

b

$\sqrt[4]{x^{3}} = 10 x \Leftrightarrow x^{\frac{3}{4}} = 10 x \Leftrightarrow x^{‐ \frac{1}{4}} = 10$ , dus $x = 10^{‐ 4} = \frac{1}{10.000}$

c

$\sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$ $\Leftrightarrow x^{\frac{1}{2}} = 10 x^{\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow x^{\frac{1}{6}} = 10$ , dus $x = 10^{6} = 1.000.000$

4

a

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , dus de helling (richtingscoëfficiënt) is $f^{'} (2) = 12$ .

b

Een vergelijking is $y = 12 x + b$ voor een zeker getal $b$ . $(2,8)$ moet voldoen, dus $b = ‐ 16$ . Dus een vergelijking is: $y = 12 x - 16$ .

c

Lijn $O P$ heeft richtingscoëfficiënt $4$ , $3 x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ of $x = ‐ \frac{2}{3} \sqrt{3}$ . Dus in de punten $(‐ \frac{2}{3} \sqrt{3}, ‐ \frac{8}{9} \sqrt{3})$ en $(\frac{2}{3} \sqrt{3}, \frac{8}{9} \sqrt{3})$ .

5

a

${f_{3}}^{'} (x) = 3 x^{2}$ , dus de helling van de raaklijn is: ${f_{3}}^{'} (1) = 3$ .
Als je vanuit $Q$ één eenheid naar links gaat moet je er dus $3$ naar beneden om op de raaklijn te blijven. Je komt dan op de $y$ -as in $(0, ‐ 2)$ .

b

${f_{4}}^{'} (1) = 4$ , dus (zie a) in $(0, ‐ 3)$ .

6

a

${f_{n}}^{'} (1) = n$ , dus je moet vanuit $Q$ $n$ stappen naar beneden als je over de raaklijn naar de $y$ -as gaat. Het snijpunt is dus: $(0, 1 - n)$ .

b

Om vanuit $Q$ over de raaklijn op de $x$ -as te komen, moet je één eenheid naar beneden, dus $\frac{1}{n}$ eenheden naar links, je komt dan in $(1 - \frac{1}{n},0)$ .

7

a

Die is puntsymmetrisch in $O (0,0)$ .

b

Die is (lijn)symmetrisch in de $y$ -as.

8

a

-

b

We rekenen uit wanneer ze even snel groeien.
Dat is als ${f_{1}}^{'} (x) = {f_{2}}^{'} (x)$ $\Leftrightarrow 1 = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ , dus vanaf $x = \frac{1}{2}$ .

c

Dat is vanaf ${f_{2}}^{'} (x) = {f_{3}}^{'} (x)$ $\Leftrightarrow 2 x = 3 x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$ .

9

a

$‐ 1$

b

$f^{'} (3) = ‐ \frac{1}{9}$

c

$f^{'} (4) = ‐ \frac{1}{16}$ ; $f^{'} (a) = ‐ \frac{1}{a^{2}}$

10

a

Werk de haakjes weg.

b

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{5} - 1}{x - 1}$ $=$ $\lim_{x \to 1} x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ , volgens het vorige onderdeel, dus $\lim_{x \to 1} \frac{x^{5} - 1}{x - 1} = 5$ .

c

$3$ , want $x^{3} - 1 =$ $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

11

a

$q$

b

$x^{\frac{3}{5}} = {(p^{5})}^{\frac{3}{5}} = p^{3}$ enzovoort.

c

$\frac{s^{3} - 1}{s^{5} - 1} \cdot \frac{1}{q^{2}} = \frac{\frac{p^{3}}{q^{3}} - 1}{\frac{p^{5}}{q^{5}} - 1} \cdot \frac{1}{q^{2}} = \frac{p^{3} - q^{3}}{p^{5} - q^{5}}$

d

$\lim_{s \to 1} \frac{s^{3} - 1}{s^{5} - 1} \cdot \frac{1}{q^{2}} = \frac{3}{5} q^{‐ 2} = \frac{3}{5} {(a^{\frac{1}{5}})}^{‐ 2} = \frac{3}{5} a^{‐ \frac{2}{5}}$

12

$y = x^{‐ 7}$ , dan $y^{'} = ‐ 7 x^{‐ 8}$ ,
$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{‐ \frac{1}{2}}$ , dan $y^{'} = ‐ \frac{1}{2} x^{‐ 1 \frac{1}{2}} = ‐ \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$ ,
$y = x^{4} \sqrt[5]{x^{2}} = x^{4 \frac{2}{5}}$ , dan $y^{'} = 4 \frac{2}{5} x^{3 \frac{2}{5}} = 4 \frac{2}{5} x^{3} \sqrt[5]{x^{2}}$ ,
$y = x^{\frac{2}{5}}$ , dan $y^{'} = \frac{2}{5} x^{‐ \frac{3}{5}}$ ,
$y = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ , dan $y^{'} = \frac{1}{3} x^{‐ \frac{2}{3}}$ $= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ ,
$y = \frac{1}{x \sqrt[4]{x}} = x^{‐ 1 \frac{1}{4}}$ , dan $y^{'} = ‐ 1 \frac{1}{4} x^{‐ 2 \frac{1}{4}} = ‐ \frac{5}{4 x^{2} \sqrt[4]{x}}$

13

$\frac{d}{d x} x^{‐ \frac{2}{5}} = ‐ \frac{2}{5} x^{‐ 1 \frac{2}{5}}$
$\frac{d}{d a} \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{d}{d a} a^{‐ \frac{1}{2}} = ‐ \frac{1}{2} a^{‐ 1 \frac{1}{2}} = ‐ \frac{1}{2 a \sqrt{a}}$
$\frac{d}{d t} (\sqrt{t} \cdot \sqrt[3]{t}) = \frac{d}{d t} t^{\frac{5}{6}} = \frac{5}{6} t^{‐ \frac{1}{6}} = \frac{5}{6 \sqrt[6]{t}}$
$\frac{d}{d u} (u^{2} \sqrt{u}) = \frac{d}{d u} u^{2 \frac{1}{2}}$ $= 2 \frac{1}{2} u^{1 \frac{1}{2}} = 2 \frac{1}{2} u \sqrt{u}$
$\frac{d}{d z} {(z^{2})}^{3} = \frac{d}{d z} z^{6} = 6 z^{5}$
$\frac{d}{d x} \sqrt{x^{0,6}} = \frac{d}{d x} x^{0,3} = 0,3 x^{‐ 0,7}$

14

a

$y = ‐ \frac{1}{9} x + \frac{2}{3}$

b

$A (6,0)$ en $B (0, \frac{2}{3})$

c

Klopt.

d

De oppervlakte is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{2}{3} = 2$ .

15

De raaklijn heeft vergelijking $y = ‐ \frac{1}{p^{2}} x + \frac{2}{p}$ .
De snijpunten met de assen zijn $A (2 p,0)$ en $B (0, \frac{2}{p})$ .
Het midden van $A B$ is het raakpunt.
De oppervlakte van driehoek $A B O$ is $\frac{1}{2} \cdot 2 p \cdot \frac{2}{p} = 2$ .

16

$y^{'} = 4 x - 3$	$y^{'} = 2 x - \frac{4}{x^{3}}$
$y = 2 x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ , dus $y^{'} = ‐ 3 x^{‐ 2 \frac{1}{2}} = \frac{‐ 3}{x^{2} \sqrt{x}}$	$y = \frac{1}{2} x^{‐ 2 \frac{1}{2}}$ , dus $y^{'} = ‐ \frac{5}{4} x^{‐ 3 \frac{1}{2}} = \frac{‐ 5}{4 x^{3} \sqrt{x}}$

17

Het punt op de grafiek is $P (8,32)$ . De helling van de raaklijn is: $y^{'} (8) = \frac{5}{3} \cdot 8^{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} \cdot 4 = \frac{20}{3}$ , dus een vergelijking van de raaklijn is: $y = \frac{20}{3} x + b$ voor zeker getal $b$ . Het punt $P$ ligt op de raaklijn, dus $b = 32 - 8 \cdot 6 \frac{2}{3} = ‐ 21 \frac{1}{3}$ .
Een vergelijking is: $y = 6 \frac{2}{3} x - 21 \frac{1}{3}$ .

18

a

-

b

$f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x \sqrt{x}}$ en $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow$ $x \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow$ $x = \sqrt[3]{16}$ .