1

a

$7,03$ ; $7,003$

b

$2$ keer

c

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 6 x + 4 = 6$ als $x = 1$ , dus $6$ keer zo snel.

2

a

Bij een grote waarde van $r$ , want dan komt er een grotere 'schil' bij.

b

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$

c

Als $r = 2$ , dan $\frac{d V}{d r} = 16 π$ , dus de toename van $V$ is $16 π$ keer de toename van $r$ , dus $16 π \cdot 0,025 = 0,4 π$ .

3

a

$A = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$

b

$A$ neemt $\frac{d A}{d x} = 20 - 2 x$ keer zoveel toe als $x$ , in dit geval dus $(20 - 2 x) \cdot 0,05 = 1 - 0,1 x$ .

c

$A$ is maximaal bij die waarde van $x$ waarbij de toename omslaat in een afname, dus als $1 - 0,1 x = 0$ .

4

a

Stelling van Pythagoras: $y^{2} = 900 - x^{2} = 500$ , dus $w = 20 \cdot 500 = 10.000$ .

b

$y^{2} = 900 - x^{2}$ , dus $w = x \cdot y^{2} = 900 x - x^{3}$ .

c

Als $\frac{d w}{d x} = 0$ , dus als $x = 10 \sqrt{3}$ . (Dezelfde redenering als in opgave 29c.)

d

$Δ w = \frac{d w}{d x} \cdot 0,1$

5

a

$u = 3$ , $y = 9$

b

$\frac{d u}{d x} = 2$ als $x = 1$ en $\frac{d y}{d u} = 6$ als $u = 3$ .

c

$2 \cdot 6 = 12$ keer zo snel.

d

Als $x = 2$ , dan $u = 6$ en $y = 36$ .
$\frac{d u}{d x} = 4$ en $\frac{d y}{d u} = 12$ , dus $\frac{d y}{d x} = 4 \cdot 12 = 48$ .

e

$\frac{d u}{d x} = 2 x$ , $\frac{d y}{d u} = 2 u$ , dus $\frac{d y}{d x} = \frac{d u}{d x} \cdot \frac{d y}{d u} = 2 x \cdot 2 u = 4 x (x^{2} + 2)$ .

6

Van links naar rechts.
De functie is de ketting $x \to u \to y$ , met

$y = u^{2}$ en $u = x^{5} + 1$ , dus $y^{'} = 2 u \cdot 5 x^{4} = 2 (x^{5} + 1) \cdot 5 x^{4}$ .
$y = u^{3}$ en $u = 3 \sqrt{x} + 5$ , dus
$y^{'} = 3 u^{2} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{x}} = {(3 \sqrt{x} + 5)}^{2} \cdot \frac{9}{2 \sqrt{x}}$ .
$y = u^{2}$ en $u = x^{5} + x^{3} + x$ , dus
$y^{'} = 2 u \cdot (5 x^{4} + 3 x^{2} + 1) = 2 (x^{5} + x^{3} + x) (5 x^{4} + 3 x^{2} + 1)$ .
$y = \sqrt{u}$ en $u = x^{2} + 1$ , dus $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2 x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
$y = \frac{1}{u}$ en $u = 3 + x \sqrt{x}$ , dus $y^{'} = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot 1 \frac{1}{2} \sqrt{x} = ‐ \frac{3 \sqrt{x}}{2 {(3 + x \sqrt{x})}^{2}}$ .
$y = \sqrt{u}$ en $u = x + \sqrt{x}$ , dus
$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot (1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x}}} \cdot (1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}})$ .

7

$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2}}} \cdot 2 x$ , je vindt dus ook $y^{'} = 1$ .

8

a

$y^{'} = 2 (2 x + 9) \cdot 2$

b

$y = 4 x^{2} + 36 x + 81$ , dus $y^{'} = 8 x + 36$ .

9

a

$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{9 x}} \cdot 9$

b

$y = 3 \sqrt{x}$ , dus $y^{'} = 3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

10

a

$y^{'} = 5 + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x}} \cdot (2 x - 4)$

b

$y^{'} = 5 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x}} \cdot (2 x - 4)$

c

$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{9 x}} \cdot 9 - \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x}} \cdot (2 x - 4)$

d

$y^{'} = 4 {(x^{3} + x)}^{3} \cdot (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2} + x)}^{2} (2 x + 1)$

11

a

$y = \sqrt{100 - x^{2}}$

b

$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^{2}}} \cdot ‐ 2 x = ‐ \frac{x}{\sqrt{100 - x^{2}}}$

c

Als $x = \sqrt{100 - x^{2}}$ , dus (kwadrateren) $x^{2} = 100 - x^{2}$ , dus $x =$ $5 \sqrt{2}$ .

d

$0$

e

Die gaat naar $‐ \infty$ .

f

-

12

a

-

b

$f (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .
Dus $x = 3$ of $x = ‐ 1$ .

c

Als de minimale waarde voor $x$ wordt aangenomen, dan $f^{'} (x) = 0$ .
$f^{'} (x) = \frac{3}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (2 x - 2)$ , dus
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (2 x - 2) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$ of $2 x - 2 = 0$ , dus $x = ‐ 1$ of $x = 3$ of $x = 1$ .
Met de grafiek van onderdeel a zie je dat de minimale waarde $f (1) = ‐ 1$ is.

d

$x^{2} - 2 x - 3 = {(x - 1)}^{2} - 4$ (kwadraatafsplitsen)

e

De waarden die ${(x - 1)}^{2} - 4$ zijn symmetrisch ten opzichte van $x = 1$ , dus die van $f (x)$ ook.
In formule: $f (1 - a) = f (1 + a)$ voor alle waarden van $a$ , want $f (1 - a) = f (1 + a) = \frac{1}{64} {(a^{2} - 4)}^{3}$ .

f

Die zijn tegengesteld, want een lijn en zijn spiegelbeeld in een verticale lijn hebben tegengestelde hellingen.

13

a

Het midden van het grondvlak noemen we $M$ . Pas de stelling van Pythagoras toe in driehoek $T A M$ : de hoogte van de piramide is: $T M = \sqrt{3^{2} - {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{7}$ .

b

$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{7} = 1 \frac{1}{3} \sqrt{7}$

c

$\frac{1}{3} \sqrt{9 - \frac{1}{2} x^{2}} \cdot x^{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{9 - \frac{1}{2} x^{2}} \cdot \sqrt{x^{4}} = \sqrt{x^{4} - \frac{1}{18} x^{6}}$

d

Als $f (x) = \sqrt{x^{4} - \frac{1}{18} x^{6}}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} - \frac{1}{18} x^{6}}} \cdot (4 x^{3} - \frac{1}{3} x^{5})$ en $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - \frac{1}{3} x^{5} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} x^{3} (12 - x^{2}) = 0$ , dus de inhoud is maximaal als $x = 2 \sqrt{3}$ .

14

a

$x \to x^{2} + 1 = u \to \sqrt{u} + 1 = v \to v^{3} = y$

b

$\frac{d u}{d x}$ $= 2 x$ ; $\frac{d v}{d u}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ ; $\frac{d y}{d v}$ $= 3 v^{2}$

c

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 3 v^{2} = 2 x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 3 {(1 + \sqrt{x^{2} + 1})}^{2}$

15

a

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x}}} \cdot (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 1)$

b

$\frac{d y}{d x} = y^{'} = 4 {({(x^{2} + 1)}^{3} + 1)}^{3} \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 2 x$

c

$\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{1}{2 \sqrt{3 + {(2 - x)}^{5}}} \cdot 5 {(2 - x)}^{4} \cdot ‐ 1$

16

a

$3 : 4 + 4 : 8 = 1,25$ , dus $1$ uur en $1$ kwartier.

b

$\frac{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}{4} = 1,25$ , dus ook $1$ uur en $1$ kwartier.

c

$\frac{\sqrt{13}}{4} + \frac{2}{8} \approx 1,15$ , dus ongeveer $0,1 \cdot 60 = 6$ minuten tijdwinst.

d

$60 (\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{4} + \frac{4 - x}{8}) = 15 \sqrt{x^{2} + 9} + 30 - 7,5 x$

e

-

f

$\frac{d t}{d x}$ $= \frac{15 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - 7,5$

g

$\frac{15 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - 7,5 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 9} = 2 x \Rightarrow x^{2} + 9 = 4 x^{2}$ , dus $x = \sqrt{3}$ .