De somregel, de kettingregel.

-

Een parabool.

$y=6x^2+17x+5$, dus $y^{\prime }=12x+17$.

Nee, want dan zou het antwoord op vraag b $6$ moeten zijn.

$y=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$, dus $y^{\prime }=2ac\cdot x+ad+bc$.

Als je de haakjes van $a\cdot y_2+c\cdot y_1$ wegwerkt, krijg je hetzelfde antwoord als in a.

De groeisnelheid is $16\cdot \frac{1}{4}=4$.

De groeisnelheid is $8\cdot 3=24$.

Als je een product door een getal deelt, moet je één van beide factoren daardoor delen.

Als $\text{Δ}x$ tot $0$ nadert, nadert $\frac{\text{Δ}{y}_2}{\text{Δ}x}$ naar $\frac{\text{d}{y}_2}{\text{d}x}$, $\frac{\text{Δ}{y}_1}{\text{Δ}x}$ naar $\frac{\text{d}{y}_2}{\text{d}x}$ en $\frac{\text{Δ}{y}_1}{\text{Δ}x}\cdot \text{Δ}{y}_2$ naar
$\Delta y_2\cdot \frac{\text{d}{y}_1}{\text{d}x}=0\cdot \frac{\text{d}{y}_1}{\text{d}x}=0$

-

-

Differentieer de ketting: $x\to y_1+y_2=u\to u^2$.
Haakjes wegwerken levert: $2y_1\cdot {y_1}^{\prime }+2y_2\cdot {y_1}^{\prime }+2y_1\cdot {y_2}^{\prime }+2y_2\cdot {y_2}^{\prime }$.

${y_1}^2$ met de kettingregel differentiëren geeft: $2y_2\cdot {y_1}^{\prime }$ en ${y_1}^2$ differentiëren geeft: $2y_2\cdot {y_2}^{\prime }$.

De termen $2y_1\cdot {y_1}^{\prime }$ en $2y_2\cdot {y_2}^{\prime }$ vallen tegen elkaar weg; deel vervolgens beide kanten door $2$.

$y^{\prime }=(4x^3+1)\sqrt{x}+(x^4+x)\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y^{\prime }=1\cdot \sqrt{x+9}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+9}}$

$y^{\prime }=10x\cdot (4x^3+1)+(5x^2+1)\cdot 12x^2$

Haakjes uitwerken geeft: $y=20x^5+4x^3+5x^2+1$.
Deze functie differentiëren geeft: $y^{\prime }=100x^4+12x^2+10x$.

Haakjes uitwerken van het antwoord in a geeft: $100x^4+12x^2+10x$.
Beide geeft hetzelfde resultaat.

$y^{\prime }=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=5x^4$

-

$u^{\prime }=x\cdot y^{\prime }+y$

$v^{\prime }=3\cdot y^{\prime }$

Met de veelvoudregel.

$z^{\prime }=y^{\prime }\cdot y+y\cdot y^{\prime }=2\cdot y\cdot y^{\prime }$

De ketting is: $x\to y\to y^2=z$, dus $z^{\prime }=2y\cdot y^{\prime }$.

$y^{\prime }=2x\sqrt{3x-2}+(x^2+2)\cdot \frac{1}{2\sqrt{3x-2}}\cdot 3$, dus de helling van de raaklijn is $y^{\prime }(1)=6\frac{1}{2}$ ; $y(1)=3$, dus de raaklijn gaat door $(\mathrm{1,3})$.
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $y=6\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$.

-

Voor de andere rechthoekszijde $y$ van de getekende driehoek
$y=\sqrt{225-x^2}$, dus $C=x\cdot (7+\sqrt{225-x^2})$.

$C^{\prime }(x)=7+\sqrt{225-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{225-x^2}}$

$x=12$

$C^{\prime }(12)=0$ exact.

$z^{\prime }={y_1}^{\prime }\cdot y_2+y_1\cdot {y_2}^{\prime }$

$y^{\prime }=z^{\prime }\cdot y_3+z\cdot {y_3}^{\prime }=$ ${y_1}^{\prime }\cdot y_2\cdot y_3+$ $y_1\cdot {y_2}^{\prime }\cdot y_3+$ $y_1\cdot y_2\cdot {y_3}^{\prime }$

$y^{\prime }=2x\cdot (x^3+2)\cdot (x^4+3)+(x^2+1)\cdot 3x^2\cdot (x^4+3)+(x^2+1)\cdot (x^3+2)\cdot 4x^3$

$y(0)=6$ en $y^{\prime }(0)=0$, dus de raaklijn is de horizontale lijn op hoogte $6$.
Een vergelijking is: $y=6$.

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ $=\mathrm{‐}1\cdot (1+x)(1+x^2)+(1-x)\cdot 1\cdot (1+x^2)+(1-x)(1+x)\cdot 2x$, dus
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ $=\mathrm{‐}4$ als $x=1$.

$y=(1-x)(1+x)(1+x^2)=(1-x^2)(1+x^2)=1-x^4$, dus
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ $=\mathrm{‐}4x^3$, dus $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ $=\mathrm{‐}4$ als $x=1$.

De eerste coördinaten van die punten zijn $1$, $2$, $3$ en $4$.
$y^{\prime }=$
$(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-3)$.
$y^{\prime }(1)=\mathrm{‐}6$, $y^{\prime }(2)=2$, $y^{\prime }(3)=\mathrm{‐}2$, $y^{\prime }(4)=6$.

Controleer je schets met de GR.

$3$, er wordt drie keer van teken gewisseld.

$f^{\prime }(x)=\sqrt{6-x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{6-x}}\cdot \mathrm{‐}1$ $=\frac{2(6-x)-x}{2\sqrt{6-x}}$ $=\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}$

$f^{\prime }(x)=0\iff \frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}=0\iff 12-3x=0\iff x=4$