Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Voorbeeld:

Met de kettingregel differentieer je de functie $y = \sqrt[3]{x^{2} - 3 x}$ als volgt.
De functie is de ketting $x \to x^{2} - 3 x = u \to y = \sqrt[3]{u}$ .
Dus $y^{'} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{u^{2}}} \cdot (2 x - 3) = \frac{2 x - 3}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}}$ .

Voorbeeld

Ook de functie $y = \frac{1}{x^{2} - 3 x}$ kun je met de kettingregel differentiëren.
De functie is de ketting $x \to x^{2} - 3 x = u \to \frac{1}{u} = y$ .
Dus $y^{'} = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot (2 x - 3) = ‐ \frac{(2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ .

Differentieer:

$y = \sqrt[4]{4 x + 3}$

$y = \frac{1}{4 x + 3}$

$y = \sqrt{10 - x^{2}}$

$y = \frac{1}{10 - x^{2}}$

Gegeven zijn de functies $f : x \to x^{2} + 2$ en $g : x \to \frac{4}{x^{2} + 2}$ .

Teken de grafieken van $f$ en $g$ in één figuur.

Bereken $f^{'} (x)$ en $g^{'} (x)$ .

Leid uit $f^{'} (x)$ af waar $f$ daalt en waar $f$ stijgt.
Ga met behulp van $g^{'} (x)$ na waar $g$ daalt en waar $g$ stijgt.

Waar $f$ stijgt, daalt $g$ en omgekeerd. Kun je dat ook uitleggen aan de hand van de formules voor $f$ en $g$ zelf (dus zonder de afgeleiden)?

We herhalen uit hoofdstuk 3 van deel 1 4vwo b.

Functies in samenhang

Gegeven een functie $f$ .

Neem aan: $g (x) = f (a x)$ met $a \neq 0$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ horizontaal met $\frac{1}{a}$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = a \cdot f (x)$ .
De grafiek van $g$ krijg je dan door de grafiek van $f$ verticaal met $a$ te vermenigvuldigen.
Neem aan: $g (x) = f (x + a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar links te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x - a)$ met $a > 0$ .
Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar rechts te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) + a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar boven te schuiven.
Neem aan: $g (x) = f (x) - a$ met $a > 0$ . Je krijgt de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ $a$ eenheden naar beneden te schuiven.

De standaardhyperbool is de grafiek van de functie $y = \frac{1}{x}$ .
Deze grafiek heeft twee asymptoten: de $x$ -as en de $y$ -as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.

Een gebroken lineaire functie is van de vorm: $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ voor zeker getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ . De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als $c = 0$ of $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ).
De asymptoten van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ zoek je als volgt.

De horizontale asymptoot vind je door voor $x$ grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen.
Als $y$ dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot kan voorkomen bij die $x$ waarvoor de noemer $0$ is. Vul voor $x$ waarden in die de noemer bijna $0$ maken; wordt $y$ dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze $x$ .

Hieronder staat de grafiek van een functie $f$ die ontstaat uit de grafiek van de standaardhyperbool $y = \frac{1}{x}$ door eerst te vermenigvuldigen met $‐ 2$ ten opzichte van de $x$ -as, dan horizontaal $1$ eenheid naar rechts te verschuiven en vervolgens $3$ eenheden naar boven.

Geef een formule voor $f (x)$ . Je kunt met de GR controleren of je het goed hebt gedaan.

Geef de asymptoten van de grafiek van $f$ .

Stel exact een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $(0,5)$ .

Welke waarden kan $f (x)$ aannemen?

Bij $f$ maken we een nieuwe functie $g$ als volgt: $g (x) = f (x^{2})$ .

Leg uit hoe je uit de grafiek van $f$ kunt vinden welke waarden $g (x)$ kan aannemen.

De functie $q : x \to \frac{6 x^{2}}{x + 2}$ is een quotiënt van twee eenvoudige functies, namelijk van $t : x \to 6 x^{2}$ en $n : x \to x + 2$ .
Deze functie kun je differentiëren door $q (x)$ eerst te schrijven als: $q (x) = t (x) \cdot \frac{1}{n (x)}$ $= 6 x^{2} \cdot {(x + 2)}^{‐ 1}$ .

Bereken de afgeleide van de functie $x \to {(x + 2)}^{‐ 1}$ .

Bereken $\frac{d}{d x} (6 x^{2} \cdot {(x + 2)}^{‐ 1})$ met behulp van a en de productregel.

Om een functie zoals in opgave 66 te differentiëren, is het rekenwerk nogal ingewikkeld. De zogenaamde quotiëntregel werkt dan handiger. Die bewijzen we in de volgende opgave.

Neem aan de functie

f

is het quotiënt van twee functies

t

n

, dus

f = \frac{t}{n}

.
We differentiëren

f = t \cdot n^{‐ 1}

met de productregel.

Volgens de kettingregel geldt (vul aan):

$\frac{d}{d x}$ $n^{‐ 1}$	$=$	$‐ 1 \cdot n^{‐ 2} \cdot \dots$	dus volgens de productregel
$\frac{d f}{d x}$	$=$	$\dots \cdot n^{‐ 1} + t \cdot ‐ 1 \cdot n^{‐ 2} \cdot \frac{d n}{d x}$	anders geschreven:
$f^{'}$	$=$	$t^{'} \cdot n^{‐ 1} - t \cdot \frac{n^{'}}{n^{2}}$

Ga na dat je dit kunt schrijven als:
$f^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - n^{'} \cdot t}{n^{2}}$ .

Quotiëntregel
Als $f = \frac{t}{n}$ , dan $f^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - n^{'} \cdot t}{n^{2}}$ .

Opmerking:

Let op de volgorde in de teller: $t^{'} \cdot n - n^{'} \cdot t$ .

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ .

Teken de grafiek op de GR.

Bereken $f^{'} (x)$ . Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Zo te zien is de grafiek van $f$ puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong $O$ .

Hoe kun je dat exact bewijzen?

Voor welk geheel getal $n$ geldt:
als $x > n$ , dan $f (x) < 0,01$ ?

Wat is $\lim_{x \to \infty} f (x)$ ?

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ .

Bereken $f^{'} (x)$ .

In welk punt van de grafiek is de raaklijn horizontaal?

Wat is, denk je, $\lim_{x \to \infty} f (x)$ ? En $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ .

Welke lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van $f$ ?

Er geldt: $f (x) = f (‐ x)$ voor alle $x$ .

Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

Symmetrie
Gegeven is een functie $f$ .
Als $f (x) = f (‐ x)$ voor alle $x$ , dan is de $y$ -as symmetrieas van de grafiek van $f$ .
Als $f (‐ x) = ‐ f (x)$ voor alle $x$ , dan is de grafiek van $f$ puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Opmerking:

Zie Rekentechniek voor meer oefening in het differentiëren.

Een geoefend roeier legt in stilstaand water met zijn boot $10$ km/uur af. Veronderstel dat hij $10$ km gaat roeien op een rivier: $5$ km stroomopwaarts en dan $5$ km terug.
Zijn roei-inspanning is constant gedurende de hele tocht.

Op de heenweg heeft de roeier de stroom mee, op de terugweg tegen. De rivier stroomt met een snelheid van $4$ km/uur.

Hoelang doet de roeier over de retourtocht?

Veronderstel nu dat de stroomsnelheid van de rivier $v$ km/uur is. Dan is de totale duur van de retourtocht: $T (v) = \frac{100}{100 - v^{2}}$ uur.

Bewijs dit.

Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

Bereken $T^{'} (v)$ .
Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

Van een verder onbekende functie $f$ is gegeven:
$f (3) = ‐ 1$ en $f^{'} (3) = 2$ .
We maken twee nieuwe functies $g$ en $h$ als volgt:
$g (x) = \frac{x}{f (x)}$ en $h (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

Bereken $g^{'} (3)$ en $h^{'} (3)$ .

Gegeven zijn de functies $f$ , $g$ en $h$ met: $f (x) = \frac{x - 2}{x - 3}$ , $g (x) = x$ en $h (x) = f (x) + g (x)$ .

Geef de asymptoten van de grafiek van $f$ .

Teken de grafieken van $f$ , $g$ en $h$ op de GR.

Naarmate je verder naar 'links' of naar 'rechts' gaat begint de grafiek van $h$ steeds meer op een rechte lijn te lijken.
De grafiek van $h$ heeft een scheve asymptoot.

Welke lijn is dat?

Schrijf $f (x)$ in de vorm: $f (x) = a + \frac{b}{x - 3}$ .

Bereken de extreme waarden van $h$ exact.