Voorbeeld:

Met de kettingregel differentieer je de functie y = x 2 3 x 3 als volgt.
De functie is de ketting x x 2 3 x = u y = u 3 .
Dus y = 1 3 u 2 3 ( 2 x 3 ) = 2 x 3 3 ( x 2 3 x ) 2 3 .

Voorbeeld

Ook de functie y = 1 x 2 3 x kun je met de kettingregel differentiëren.
De functie is de ketting x x 2 3 x = u 1 u = y .
Dus y = 1 u 2 ( 2 x 3 ) = ( 2 x 3 ) ( x 2 3 x ) 2 .

1

Differentieer:

a

y = 4 x + 3 4

b

y = 1 4 x + 3

c

y = 10 x 2

d

y = 1 10 x 2

2

Gegeven zijn de functies f : x x 2 + 2 en g : x 4 x 2 + 2 .

a

Teken de grafieken van f en g in één figuur.

b

Bereken f ( x ) en g ( x ) .

c

Leid uit f ( x ) af waar f daalt en waar f stijgt.
Ga met behulp van g ( x ) na waar g daalt en waar g stijgt.

d

Waar f stijgt, daalt g en omgekeerd. Kun je dat ook uitleggen aan de hand van de formules voor f en g zelf (dus zonder de afgeleiden)?

We herhalen uit hoofdstuk 3 van deel 1 4vwo b.

Functies in samenhang

Gegeven een functie f .

  • Neem aan: g ( x ) = f ( a x ) met a 0 .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f horizontaal met 1 a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = a f ( x ) .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f verticaal met a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x + a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar links te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar rechts te schuiven.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x ) + a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar boven te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x ) a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar beneden te schuiven.


De standaardhyperbool is de grafiek van de functie y = 1 x .
Deze grafiek heeft twee asymptoten: de x -as en de y -as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.

Een gebroken lineaire functie is van de vorm: y = a x + b c x + d voor zeker getallen a , b , c en d . De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als c = 0 of a c = b d ).
De asymptoten van y = a x + b c x + d zoek je als volgt.

  1. De horizontale asymptoot vind je door voor x grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen.
    Als y dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.

  2. De verticale asymptoot kan voorkomen bij die x waarvoor de noemer 0 is. Vul voor x waarden in die de noemer bijna 0 maken; wordt y dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze x .

3

Hieronder staat de grafiek van een functie f die ontstaat uit de grafiek van de standaardhyperbool y = 1 x door eerst te vermenigvuldigen met 2 ten opzichte van de x -as, dan horizontaal 1 eenheid naar rechts te verschuiven en vervolgens 3 eenheden naar boven.

a

Geef een formule voor f ( x ) . Je kunt met de GR controleren of je het goed hebt gedaan.

b

Geef de asymptoten van de grafiek van f .

c

Stel exact een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( 0,5 ) .

d

Welke waarden kan f ( x ) aannemen?

Bij f maken we een nieuwe functie g als volgt: g ( x ) = f ( x 2 ) .

e

Leg uit hoe je uit de grafiek van f kunt vinden welke waarden g ( x ) kan aannemen.

4

De functie q : x 6 x 2 x + 2 is een quotiënt van twee eenvoudige functies, namelijk van t : x 6 x 2 en n : x x + 2 .
Deze functie kun je differentiëren door q ( x ) eerst te schrijven als: q ( x ) = t ( x ) 1 n ( x ) = 6 x 2 ( x + 2 ) 1 .

a

Bereken de afgeleide van de functie x ( x + 2 ) 1 .

b

Bereken d d x ( 6 x 2 ( x + 2 ) 1 ) met behulp van a en de productregel.

Om een functie zoals in opgave 66 te differentiëren, is het rekenwerk nogal ingewikkeld. De zogenaamde quotiëntregel werkt dan handiger. Die bewijzen we in de volgende opgave.

5
Neem aan de functie f is het quotiënt van twee functies t en n , dus f = t n .
We differentiëren f = t n 1 met de productregel.

Volgens de kettingregel geldt (vul aan):

d d x n 1

=

1 n 2

dus volgens de productregel

d f d x

=

n 1 + t 1 n 2 d n d x

anders geschreven:

f

=

t n 1 t n n 2

Ga na dat je dit kunt schrijven als:
f = t n n t n 2 .

Quotiëntregel
Als f = t n , dan f = t n n t n 2 .

Opmerking:

Let op de volgorde in de teller: t n n t .

6

Gegeven is de functie f : x 6 x x 2 + 1 .

a

Teken de grafiek op de GR.

b

Bereken f ( x ) . Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Zo te zien is de grafiek van f puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong O .

c

Hoe kun je dat exact bewijzen?

d

Voor welk geheel getal n geldt:
als x > n , dan f ( x ) < 0,01 ?

e

Wat is lim x f ( x ) ?

7

Gegeven is de functie f : x x 2 1 x 2 + 1 .

a

Bereken f ( x ) .

b

In welk punt van de grafiek is de raaklijn horizontaal?

c

Wat is, denk je, lim x f ( x ) ? En lim x f ( x ) .

d

Welke lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van f ?

Er geldt: f ( x ) = f ( x ) voor alle x .

e

Wat betekent dit voor de grafiek van f ?

Symmetrie
Gegeven is een functie f .
Als f ( x ) = f ( x ) voor alle x , dan is de y -as symmetrieas van de grafiek van f .
Als f ( x ) = f ( x ) voor alle x , dan is de grafiek van f puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Opmerking:

Zie Rekentechniek voor meer oefening in het differentiëren.

8

Een geoefend roeier legt in stilstaand water met zijn boot 10  km/uur af. Veronderstel dat hij 10  km gaat roeien op een rivier: 5  km stroomopwaarts en dan 5  km terug.
Zijn roei-inspanning is constant gedurende de hele tocht.

Op de heenweg heeft de roeier de stroom mee, op de terugweg tegen. De rivier stroomt met een snelheid van 4  km/uur.

a

Hoe lang doet de roeier over de retourtocht?

Veronderstel nu dat de stroomsnelheid van de rivier v  km/uur is. Dan is de totale duur van de retourtocht: T ( v ) = 100 100 v 2  uur.

b

Bewijs dit.

c

Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

d

Bereken T ( v ) .
Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

9

Van een verder onbekende functie f is gegeven:
f ( 3 ) = 1 en f ( 3 ) = 2 .
We maken twee nieuwe functies g en h als volgt:
g ( x ) = x f ( x ) en h ( x ) = f ( x ) x .

Bereken g ( 3 ) en h ( 3 )

10

Gegeven zijn de functies f , g en h met: f ( x ) = x 2 x 3 , g ( x ) = x en h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) .

a

Geef de asymptoten van de grafiek van f .

b

Teken de grafieken van f , g en h op de GR.

Naarmate je verder naar 'links' of naar 'rechts' gaat begint de grafiek van h steeds meer op een rechte lijn te lijken.
De grafiek van h heeft een scheve asymptoot.

c

Welke lijn is dat?

d

Schrijf f ( x ) in de vorm: f ( x ) = a + b x 3 .

e

Bereken de extreme waarden van h exact.