1

a

De functie is de ketting $x \to u = 4 x + 3 \to y = u^{\frac{1}{4}}$ .
Dus $y^{'} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{u^{3}}} \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt[4]{{(4 x + 3)}^{3}}}$ .

b

De functie is de ketting $x \to 4 x + 3 = u \to \frac{1}{u} = y$ .
Dus $y^{'} = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot 4 = ‐ \frac{4}{{(4 x + 3)}^{2}}$ .

c

De functie is de ketting $x \to 10 - x^{2} = u \to \sqrt{u} = y$ .
Dus $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot ‐ 2 x = ‐ \frac{x}{\sqrt{10 - x^{2}}}$ .

d

De functie is de ketting $x \to 10 - x^{2} = u \to \frac{1}{u} = y$ .
Dus $y^{'} = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot ‐ 2 x = \frac{2 x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$ .

2

a

Controleer met de GR.

b

$f^{'} (x) = 2 x$ ; $g$ is de ketting $x \to x^{2} + 2 = u \to \frac{4}{u} = g (x)$ .
Dus $g^{'} (x) = ‐ \frac{4}{u^{2}} \cdot 2 x = ‐ \frac{8 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

c

$f^{'} (x) > 0$ als $x > 0$ , dus $f$ stijgt als $x > 0$ en anders daalt $f$ .
$g^{'} (x) > 0$ als $x < 0$ , dus $g$ stijgt als $x < 0$ en anders daalt $g$ .

d

Ja, het zijn op een factor $4$ na omgekeerden van elkaar.

3

a

$f (x) = ‐ \frac{2}{x - 1} + 3$

b

$x = 1$ en $y = 3$

c

$f^{'} (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ , dus de helling van de raaklijn is $f^{'} (0) = 2$ , dus een vergelijking van de raaklijn is: $y = 2 x + 5$ .

d

Alle waarden met uitzondering van $3$ .

e

$g (x)$ kan alle waarden aannemen die $f (x)$ aanneemt als je voor $x$ waarden groter of gelijk aan $0$ invoert, dus $g (x) < 3$ en $g (x) \geq 5$ .

4

a

$‐ 1 \cdot {(x + 2)}^{‐ 2} \cdot 1$

b

$\frac{d}{d x} (6 x^{2} \cdot {(x + 2)}^{‐ 1}) = 12 x \cdot \frac{1}{x + 2} + 6 x^{2} \cdot ‐ \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{12 x}{x + 2} - \frac{6 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

5

Zie hieronder:

$\frac{d}{d x}$ $n^{‐ 1}$	$=$	$‐ 1 \cdot n^{‐ 2} \cdot$ $\frac{d n}{d x}$	dus volgens de productregel:
$\frac{d f}{d x}$	$=$	$\frac{d t}{d x} \cdot n^{‐ 1} + t \cdot ‐ 1 \cdot n^{‐ 2} \cdot \frac{d n}{d x}$

Dat laatste vind je door de twee termen onder een noemer te brengen:
$f^{'} = \frac{t^{'} \cdot n}{n^{2}} + \frac{‐ n^{'} \cdot t}{n^{2}}$ .

6

a

-

b

$f^{'} (x) = \frac{6 (x^{2} + 1) - 2 x \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{6 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

c

Dan moet $f (‐ x) = ‐ f (x)$ voor alle waarden van $x$ . En dat is hier zo, want
$f (‐ x) = \frac{‐ 6 x}{{(‐ x)}^{2} + 1} = \frac{‐ 6 x}{x^{2} + 1} = ‐ f (x)$ .

d

Voor alle waarden van $n$ groter dan $600$ .
(Los bijvoorbeeld de vergelijking $\frac{6 x}{x^{2} + 1} = 0,01$ op met kruislings vermenigvuldigen en de abc-formule.)

e

$0$

7

a

$f^{'} (x) = \frac{2 x (x^{2} + 1) - 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

b

$(0, ‐ 1)$

c

$1$ ; $1$

d

De lijn $y = 1$ .

e

De $y$ -as is symmetrieas van de grafiek.

8

a

Heen $\frac{5}{10 - 4}$ en terug $\frac{5}{10 + 4}$ , in totaal $\frac{5}{10 - 4} + \frac{5}{10 + 4} = \frac{50}{42} = 1 \frac{4}{21}$ uur.

b

De heenweg duurt: $\frac{5}{10 - v}$ en de terugweg $\frac{5}{10 + v}$ .
Dus $T (v) = \frac{5}{10 - v} + \frac{5}{10 + v}$ $= \frac{5 (10 + v)}{(10 - v) (10 + v)} + \frac{5 (10 - v)}{(10 - v) (10 + v)} =$ $\frac{100}{100 - v^{2}}$ .

c

Hoe groter $v$ , des te groter $v^{2}$ , des te kleiner $100 - v^{2}$ , des te groter $T (v)$ .

d

$T^{'} (v) = \frac{0 - ‐ 2 v \cdot 100}{{(100 - v^{2})}^{2}} = \frac{200 v}{{(100 - v^{2})}^{2}}$ .
Dus $T^{'} (v)$ is positief voor elke waarde van $v > 0$ , dus is $T$ een stijgende functie, dat wil zeggen: hoe groter $v$ , hoe groter $T$ .

9

$g^{'} (x) = \frac{1 \cdot f (x) - f^{'} (x) \cdot x}{{(f (x))}^{2}}$ , dus $g^{'} (3) = \frac{f (3) - f^{'} (3) \cdot 3}{{(f (3))}^{2}} = \frac{‐ 1 - 2 \cdot 3}{1} = ‐ 7$ .
$h^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) \cdot x - 1 \cdot f (x)}{x^{2}}$ , dus $h^{'} (3) = \frac{f^{'} (3) \cdot 3 - f (3)}{9} = \frac{7}{9}$ .

10

a

horizontale asymptoot: $y = 1$ ; verticale asymptoot: $x = 3$

b

-

c

De lijn $y = x + 1$ .

d

$f (x) = \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} = 1 + \frac{1}{x - 3}$ , je moet dus $a = b = 1$ nemen.

e

$h (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 3}$ , dus $h^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ , dus de raaklijn aan de grafiek van $h$ is horizontaal als ${(x - 3)}^{2} = 1$ , dus als $x = 2$ of als $x = 4$ .
$h (2) = 2$ is een maximum en $h (4) = 6$ is een minimum.