Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Bij een vrije val op aarde geldt: $s = 5 t^{2}$ . Hierin is $s$ de valweg in meters en $t$ de valtijd in seconden.
Als je $s$ differentieert, krijg je de valsnelheid $v$ in (m/s):
$v = s^{'} = 10 t$ .
Als je $v$ differentieert, krijg je de versnelling $a$ (in m/s²):
$a = v^{'} = 10$ .

Opmerkingen

In de natuurkunde zijn de letters $s$ , $v$ en $a$ gebruikelijk.
Zij zijn de beginletters van de Latijnse woorden spatium (= ruimte, afstand), velocitas (= snelheid) en acceleratio (= versnelling).
Je krijgt $a$ door $s$ twee keer te differentiëren: $a = {(s^{'})}^{'}$ .
In plaats hiervan schrijven we ook wel: $s^{″}$ .
Bij de vrije val is beginsnelheid $0$ genomen.
Bij de vrije val ziet men af van luchtwrijving.

De afgeleide van de afgeleide van een functie $f$ noemen we de tweede afgeleide van $f$ , notatie: $f^{″}$ .

De vrije val op de maan wordt beschreven door de formule: $s = 0,8 t^{2}$ .

Hoe groot is de valversnelling op de maan?

Op de planeet Mars is de valversnelling $3,6$ m/s².

Geef een formule voor de valweg $s$ als functie van de valtijd $t$ op Mars.

Bereken de tweede afgeleide van de volgende functies.

$y = \frac{1}{30} x^{6}$	$y = 2 x^{2} + 17 x - 2015$
$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$	$y = 4 \sqrt{x} + \frac{1}{2 x}$

Twee sportauto's $A$ en $B$ rijden een rally over een zeer afwisselend parcours. Hieronder is een gedeelte van hun race in beeld gebracht.

Op de horizontale as is de tijd $t$ (in minuten) uitgezet, op de verticale as de afstand vanaf een bevoorradingspost (in eenheden van $250$ meter).
Op het moment $t = 0$ wordt $A$ , die zojuist bijgetankt heeft, ingehaald door $B$ . Voor tijdstippen $t$ tussen $0$ en $3$ wordt de plaats van $A$ gegeven door $s_{A} (t) = t^{2}$ en de plaats van $B$ door $s_{B} (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 4 t$ .

Druk de snelheden $v_{A}$ en $v_{B}$ uit in $t$ .

Op welke tijdstippen tussen $0$ en $3$ reden de auto's precies even hard?

Geef een kort verslag van wat er zich afspeelde rond het tijdstip $t = 2$ .

Geef een formule voor de versnelling van $A$ gedurende het tijdsinterval $[0,3]$ .

Bereken het tijdstip in de periode $[0,3]$ waarop de snelheid $v_{B} (t)$ van $B$ het laagst was.
Hoe groot was de versnelling op dat tijdstip?

Hiernaast staat de tijd-afstand-grafiek van een stukje autorit.

Wanneer reed de auto het hardst?

Wanneer is de versnelling positief, wanneer negatief en wanneer nul?

Hieronder staan de grafieken van de functies $f$ , $g$ , $h$ en $j$ .
Alle vier de functies nemen in $x = 3$ de waarde $2$ aan.
De afgeleide is voor alle vier de functies in $x = 3$ gelijk aan $1$ .
Hoe groot de tweede afgeleide is in $x = 3$ is niet zo eenvoudig te zeggen.

Zeg in elk van de vier gevallen of de tweede afgeleide in $x = 3$ positief, negatief of nul is.

Van een verder onbekende functie $f$ weten we dat $f^{'} (x)$ afneemt op het $x$ -interval $[0,4]$ en toeneemt op het $x$ -interval $[4,6]$ .

Schets een mogelijke grafiek van $f$ op het interval $[0,6]$ .

Wat weet je te vertellen over $f^{″} (x)$ ?

Wat weet je te vertellen over $f^{″} (4)$ ?

De volgende beweringen zijn equivalent:

$f^{″} (x) > 0$ voor alle $x$ tussen $a$ en $b$ .
$f^{'} (x)$ is stijgend op $[a, b]$ .

De volgende beweringen zijn equivalent:

$f^{″} (x) < 0$ voor alle $x$ tussen $b$ en $c$ .
$f^{'} (x)$ is dalend op $[b, c]$ .

Als $f^{″} (x) > 0$ op $[a, b]$ en $f^{″} (x) < 0$ op $[b, c]$ , dan is $f^{'} (x)$ maximaal als $x = b$ , dan heeft de grafiek van $f$ een buigpunt met eerste coördinaat $b$ .

Als $f^{″} (x) < 0$ op $[a, b]$ en $f^{″} (x) > 0$ op $[b, c]$ , dan is $f^{'} (x)$ minimaal als $x = b$ , dan heeft de grafiek van $f$ een buigpunt met eerste coördinaat $b$ .

Opmerking:

We zeggen dat een functie $g$ van teken wisselt in $b$ als $g (x) < 0$ op een interval met rechter eindpunt $b$ en $g (x) > 0$ op een interval met linker eindpunt $b$ of andersom.
Dus kort gezegd: een functie $f$ heeft een buigpunt in het punt met eerste coördinaat $b$ als $f^{″}$ van teken wisselt in $b$ .

Gegeven $f^{″} (x) < 0$ op $[a, b]$ en $f^{″} (x) > 0$ op $[b, c]$ .

Schets een mogelijke grafiek van $f$ .

Welke conclusie kun je trekken omtrent $f^{'} (b)$ en omtrent de grafiek van $f$ bij het punt met eerste coördinaat $b$ ?

Gegeven is de functie $f : x \to x^{3} - 12 x$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

Voor negatieve $x$ geldt: $f^{″} (x) < 0$ en voor positieve $x$ geldt: $f^{″} (x) > 0$ .

Hoe zie je dat aan de grafiek?

Ga dat ook na met behulp van de formule voor $f^{″} (x)$ .

Welk buigpunt heeft de grafiek van $f$ dus?

Wat is de minimale helling van de grafiek van $f$ ?

Zeg van de functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ hiernaast of de eerste afgeleide functie positief of negatief is.
Doe dat ook voor de tweede afgeleide.

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3}$ .

Bereken langs algebraïsche weg op welk interval de grafiek van $f$ afnemend dalend is.

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{3} + 5 x + 2$ .
Hiernaast staat de grafiek.

De functie heeft vier extreme waarden.

Bereken de waarden van

x

waarvoor die bereikt worden exact.

De grafiek van $f$ heeft drie buigpunten.

Bereken de eerste coördinaten van die punten exact.

Bepaal met behulp van de grafiek en de voorgaande onderdelen waar de grafiek van $f$ afnemend dalend is.

Geef een vergelijking van de raaklijn in het buigpunt $(0,2)$ .

De raaklijn in een buigpunt van de grafiek noemen we een buigraaklijn.
Zo is de lijn $y = 5 x + 2$ een buigraaklijn aan de grafiek van de functie $f : x \to \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{3} + 5 x + 2$ , zie opgave 83d.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f : x \to \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{20} x^{5}$ .

Bereken exact voor welke $x$ de waarden van $f (x)$ extreem zijn.

Bereken de eerste coördinaat van de buigpunten van de grafiek van $f$ .

Opmerking:

Als $f^{″} (b) = 0$ , hoeft de grafiek van $f$ geen buigpunt te hebben in het punt met eerste coördinaat $b$ , zie opgave 84.
Zoals eerder opgemerkt moet de tweede afgeleide van teken wisselen in $b$ .

Gegeven de functie $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ met $a \neq 0$ .

Toon langs algebraïsche weg aan dat de grafiek van $y$ een buigpunt heeft in het punt met eerste coördinaat $‐ \frac{b}{3 a}$ .