Bij een vrije val op aarde geldt: s = 5 t 2 . Hierin is s de valweg in meters en t de valtijd in seconden.
Als je s differentieert, krijg je de valsnelheid v in (m/s):
v = s = 10 t .
Als je v differentieert, krijg je de versnelling a (in m/s2):
a = v = 10 .

Opmerkingen

  • In de natuurkunde zijn de letters s , v en a gebruikelijk.
    Zij zijn de beginletters van de Latijnse woorden spatium (= ruimte, afstand), velocitas (= snelheid) en acceleratio (= versnelling).

  • Je krijgt a door s twee keer te differentiëren: a = ( s ) .
    In plaats hiervan schrijven we ook wel: s .

  • Bij de vrije val is beginsnelheid 0 genomen.

  • Bij de vrije val ziet men af van luchtwrijving.

De afgeleide van de afgeleide van een functie f noemen we de tweede afgeleide van f , notatie: f .

1

De vrije val op de maan wordt beschreven door de formule: s = 0,8 t 2 .

a

Hoe groot is de valversnelling op de maan?

Op de planeet Mars is de valversnelling 3,6  m/s2.

b

Geef een formule voor de valweg s als functie van de valtijd t op Mars.

2

Bereken de tweede afgeleide van de volgende functies.

y = 1 30 x 6

y = 2 x 2 + 17 x 2015

y = a x 3 + b x 2 + c x + d

y = 4 x + 1 2 x

3

Twee sportauto's A en B rijden een rally over een zeer afwisselend parcours. Hieronder is een gedeelte van hun race in beeld gebracht.

Op de horizontale as is de tijd t (in minuten) uitgezet, op de verticale as de afstand vanaf een bevoorradingspost (in eenheden van 250  meter).
Op het moment t = 0 wordt A , die zojuist bijgetankt heeft, ingehaald door B . Voor tijdstippen t tussen 0 en 3 wordt de plaats van A gegeven door s A ( t ) = t 2 en de plaats van B door s B ( t ) = t 3 3 t 2 + 4 t .

a

Druk de snelheden v A en v B uit in t .

b

Op welke tijdstippen tussen 0 en 3 reden de auto's precies even hard?

c

Geef een kort verslag van wat er zich afspeelde rond het tijdstip t = 2 .

d

Geef een formule voor de versnelling van A gedurende het tijdsinterval [ 0,3 ] .

e

Bereken het tijdstip in de periode [ 0,3 ] waarop de snelheid v B ( t ) van B het laagst was.
Hoe groot was de versnelling op dat tijdstip?

4

Hiernaast staat de tijd-afstand-grafiek van een stukje autorit.

a

Wanneer reed de auto het hardst?

b

Wanneer is de versnelling positief, wanneer negatief en wanneer nul?

5

Hieronder staan de grafieken van de functies f , g , h en j .
Alle vier de functies nemen in x = 3 de waarde 2 aan.
De afgeleide is voor alle vier de functies in x = 3 gelijk aan 1 .
Hoe groot de tweede afgeleide is in x = 3 is niet zo eenvoudig te zeggen.

Zeg in elk van de vier gevallen of de tweede afgeleide in x = 3 positief, negatief of nul is.

6

Van een verder onbekende functie f weten we dat f ( x ) afneemt op het x -interval [ 0,4 ] en toeneemt op het x -interval [ 4,6 ] .

a

Schets een mogelijke grafiek van f op het interval [ 0,6 ] .

b

Wat weet je te vertellen over f ( x ) ?

c

Wat weet je te vertellen over f ( 4 ) ?

De volgende beweringen zijn equivalent:

  • f ( x ) > 0 voor alle x tussen a en b .

  • f ( x ) is stijgend op [ a , b ] .

De volgende beweringen zijn equivalent:

  • f ( x ) < 0 voor alle x tussen b en c .

  • f ( x ) is dalend op [ b , c ] .

Als f ( x ) > 0 op [ a , b ] en f ( x ) < 0 op [ b , c ] , dan is f ( x ) maximaal als x = b , dan heeft de grafiek van f een buigpunt met eerste coördinaat b .

Als f ( x ) < 0 op [ a , b ] en f ( x ) > 0 op [ b , c ] , dan is f ( x ) minimaal als x = b , dan heeft de grafiek van f een buigpunt met eerste coördinaat b .

Opmerking:

We zeggen dat een functie g van teken wisselt in b als g ( x ) < 0 op een interval met rechter eindpunt b en g ( x ) > 0 op een interval met linker eindpunt b of andersom.
Dus kort gezegd: een functie f heeft een buigpunt in het punt met eerste coördinaat b als f van teken wisselt in b .

7

Gegeven f ( x ) < 0 op [ a , b ] en f ( x ) > 0 op [ b , c ] .

a

Schets een mogelijke grafiek van f .

b

Welke conclusie kun je trekken omtrent f ( b ) en omtrent de grafiek van f bij het punt met eerste coördinaat b ?

8

Gegeven is de functie f : x x 3 12 x .

a

Teken de grafiek van f op de GR.

Voor negatieve x geldt: f ( x ) < 0 en voor positieve x geldt: f ( x ) > 0 .

b

Hoe zie je dat aan de grafiek?

c

Ga dat ook na met behulp van de formule voor f ( x ) .

d

Welk buigpunt heeft de grafiek van f dus?

e

Wat is de minimale helling van de grafiek van f ?

9

Zeg van de functies f , g , h en k hiernaast of de eerste afgeleide functie positief of negatief is.
Doe dat ook voor de tweede afgeleide.

10

Gegeven is de functie f : x 1 4 x 4 4 x 3 .

Bereken langs algebraïsche weg op welk interval de grafiek van f afnemend dalend is.

11

Gegeven is de functie f : x 1 5 x 5 2 x 3 + 5 x + 2 .
Hiernaast staat de grafiek.

De functie heeft vier extreme waarden.

a
Bereken de waarden van x waarvoor die bereikt worden exact.

De grafiek van f heeft drie buigpunten.

b

Bereken de eerste coördinaten van die punten exact.

c

Bepaal met behulp van de grafiek en de voorgaande onderdelen waar de grafiek van f afnemend dalend is.

d

Geef een vergelijking van de raaklijn in het buigpunt ( 0,2 ) .

De raaklijn in een buigpunt van de grafiek noemen we een buigraaklijn.
Zo is de lijn y = 5 x + 2 een buigraaklijn aan de grafiek van de functie f : x 1 5 x 5 2 x 3 + 5 x + 2 , zie opgave 83d.

12

Hiernaast staat de grafiek van de functie f : x 1 4 x 4 1 20 x 5 .

a

Bereken exact voor welke x de waarden van f ( x ) extreem zijn.

b

Bereken de eerste coördinaat van de buigpunten van de grafiek van f .

Opmerking:

Als f ( b ) = 0 , hoeft de grafiek van f geen buigpunt te hebben in het punt met eerste coördinaat b , zie opgave 84.
Zoals eerder opgemerkt moet de tweede afgeleide van teken wisselen in b .

13

Gegeven de functie y = a x 3 + b x 2 + c x + d met a 0 .

Toon langs algebraïsche weg aan dat de grafiek van y een buigpunt heeft in het punt met eerste coördinaat b 3 a .